高?！敖洕鷶祵W”教學中宏觀思維培育探研

李年華 李紅敏

摘要：“經濟數學”是許多高校經濟和金融類專業的學生必須學習的課程，而其中的微積分不僅是后續其他課程學習的基礎，也是培養學生宏觀思維的重要渠道。教師在講解微積分知識時，應詳細介紹數學史，從目錄出發使知識系統化、框架化，擴展某些特殊章節，使學生利用宏觀思維理解導數，教授學生求解不定積分時的觀察法，使學生在求解不定積分時善于利用對偶思想，從而啟發學生利用宏觀思維鞏固所學知識，使學生對微積分有較為準確的宏觀理解。

關鍵詞：高校；經濟數學；宏觀思維；數學素養；微積分；邏輯推理能力

中圖分類號：G642文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2023）13-0017-04

基金項目：本文系國家自然科學基金“基于三角曲線理論的高維可積系統的有限虧格解”（項目編號：11871232）、福建省2019-2022年“華僑大學中青年教師科技創新資助計劃”（項目編號：ZQN-803）研究成果

一、研究背景

目前很多國內高校經濟和金融類學生一般都要求大學的前兩年學習經濟數學，主要內容是微積分、線性代數、概率論與數理統計。金融學專業的微積分教學第一學期主要教學內容是第1章～第5章，教學對象是大學一年級的新生，而他們中的一部分人學習熱情經過6年的初高中教育已經消磨殆盡。此時，如何激發他們學習微積分的熱情顯得尤為重要。此外，很多學生畢業以后還要繼續深造，而這對數學水平的要求非常高。因此，培養學生的基本數學素養顯得極為重要。

目前的高中數學教材中很多知識點如余切函數、正割余割函數以及積化和差公式已經刪除，而這部分是微積分教材的第一章的重要組成部分。此外，雖然很多學生已經學過導數這一重要概念，但由于課時原因沒有深入探究，僅僅是死記硬背，也不利于微積分的學習。這些問題對大學經濟數學教學提出了很大的挑戰，如何讓學生愛上數學，培養基本的數學素養成為教師亟待解決的問題。

當前，微積分教學仍然面臨許多問題，如教學模式單一，缺乏靈活性，對學生的創新能力訓練不足，而學生的學習目標不明確，學習方法不合理，缺乏學習的主觀能動性。微積分的知識量呈爆炸式增長，如果課堂教學只是照本宣科，學生必然陷入無窮無盡的計算，無法自拔，從而喪失信心和興趣，對微積分的學習極為不利。教師應通過經濟數學微積分的教學，培養學生的宏觀思維和創新能力，鍛煉他們的邏輯思維和發散性思維。這對學生后續其他數學課程如線性代數、概率論與數理統計的學習會有很大的幫助，也能為學生繼續深造打好堅實的基礎。

二、研究方法

基于微積分教學和學生學習存在的諸多問題，教師應轉變教學思想，使學生從宏觀角度理解微積分知識。為啟發學生利用宏觀思維理解微積分知識，教師應詳細介紹數學史，從目錄出發使知識系統化、框架化，擴展某些特殊章節，使學生利用宏觀思維理解導數，教授學生求解不定積分時的觀察法，使學生在求解不定積分時善于利用對偶思想。

1.詳細介紹數學史

數學史的講解對激發學生的學習熱情十分重要。教師可以推薦學生閱讀愛德華·弗倫克爾的《愛與數學》，這本書對讀者的數學基礎要求不高，而且能使學生在閱讀中領略數學的美。這本書介紹了作者愛德華·弗倫克爾如何從一個癡迷的物理愛好者轉為數學狂熱愛好者，以及作者的科研和學習歷程。整個過程充滿了艱辛，但作者克服歧視堅持了下來，最終致力于研究近代數學上最重要的理論，即數學大一統理論朗蘭茲綱領，并取得了極大的成功。數學史的閱讀能極大開拓學生的視野，培養學生宏觀思維能力，對激發學生的微積分學習熱情非常重要。微積分的創始人是兩位十分偉大的數學家，即英國的牛頓（也是最偉大的物理學家之一）和德國的萊布尼茨。而微積分的理論形成過程中涌現了阿基米德、笛卡爾、費馬等許多著名的數學家，最終定型歸功于牛頓和萊布尼茨。微積分對現代數學的發展起了非常巨大的推動作用。馮·諾依曼認為微積分是現代數學的第一個成就，怎么評價微積分的重要性都不為過。自從微積分理論出現以后，相當長的一段時間內它不斷發展，其中伯努利、柯西、魏爾斯特拉斯等大數學家做了很多重要的貢獻。這里面的故事數不勝數，引人入勝，既能激發學生學習微積分的熱情，又能讓學生對現代數學的全貌有基本的了解。

例如，教師可以結合事例講述微積分創始人的爭議。其中的奇聞趣事對學生來說很新穎，也很有趣。同時，教師還可以講述牛頓和萊布尼茨關于導數的符號的差異導致英國數學的衰弱和歐洲數學的興起，以及伯努利等人的工作。教師可以通過介紹一些著名數學家的工作，讓學生了解現代數學的研究內容和方法。特別是可以介紹希爾伯特的傳奇故事以及他的23個數學問題對后來數學界的影響。

2.從目錄出發使知識系統化、框架化

有了導數的定義以后，顯然想知道如何構造一般函數的導數，教師可以強調如何理解各種求導方法。接下來，教師可以求導法則即函數的和差積商求導公式為例介紹宏觀思維方法的具體應用。學生都知道導數的四則運算公式為：

有了導數的定義和性質后，就要考慮導數的應用即引出第四章中值定理及導數的應用。首先，多項式是一個極為簡單但又內容豐富的重要概念。一個函數是否近似展開為一個多項式是一個極為理想的目標。而中值定義和泰勒公式能給出光滑函數可以做到這一點的充分必要條件。其次，任意函數的圖像顯然在有了導數以及高階導數以后可以大致畫出來，這對學生理解函數有極大的幫助。

顯然，有了微分的這些知識作為基礎，不定積分就可以理解為微分的反函數，這樣積分理解起來就簡單了。而初次見識積分運算，學生會很難理解，這時教師可以介紹積分的符號乙來自求和符號∑的拉伸，既形象又能反映積分的本質。

3.某些特殊章節的擴展

三、結語

綜上所述，數學教學是一個與時俱進、需要不斷思考的課題。宏觀思維能讓學生的視野變得開闊，思維變得活躍。無論是數學系的理科生還是經濟類的文科生，宏觀思維都能讓他們從局限的復雜計算中掙脫，從全局上對所學知識有全面的掌握。特別是對文科生來說，其感性思維比較強，往往導致理性思維的缺失。經濟數學微積分的教學，不僅可以使學生更好地進行深層次的數學學習，而且可以培養學生的宏觀思維，提高大學生的理性思維能力和綜合素質。

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Exploration of the Cultivation of Macro Thinking in the Teaching of "Economic Mathematics" in Colleges and Universities

Li Nianhua， Li Hongmin

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Fujian Province， Quanzhou 362021， China）

Abstract： "Economic mathematics" is a course that many college students majoring in economics and finance must learn， and calculus is not only the basis for subsequent learning of other courses， but also an important channel to cultivate students macro thinking. When explaining the knowledge of calculus， teachers should introduce the history of mathematics in detail， systematize and frame the knowledge from the catalog， expand some special chapters， enable students to understand derivatives using macro thinking， teach students the observation method when solving non definite integral， enable students to be good at using dual thinking when solving non definite integral， so as to inspire students to use macro thinking to consolidate their knowledge and enable students to have a more accurate macro understanding of calculus.

Key words： colleges and universities； economic mathematics； macro thinking； mathematical literacy； calculus； logical reasoningability