馬德香,張瑞琦
(華北電力大學 數理學院,北京 102206)
隨著分數階微分方程在生物、化學、工程中的應用,各種不同定義的分數階導數由此產生,相應的分數階微分方程邊值問題的Lyapunov 不等式的研究成為熱點。
在文獻[1]中研究了下列分數階微分方程邊值問題,
在文獻[2]中研究了下列分數階微分方程邊值問題,
關于不同分數階導數的定義詳見文獻[3-14]。
最近文獻[15]中研究了下列分數階微分方程邊值問題,
在文獻[15]中,同時定義了另一種新型導數即在左Caputo 和Fabrizio 的意義下的α階左 Caputo分數階導數(簡記為CFC-分數階導數),并研究了下列分數階微分方程初值問題
解的存在性;同時給出了下列分數階微分方程邊值問題
的等價積分方程。
受以上文獻啟發,本文討論下列分數階微分方程的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式,
定義1[16]設α>0,f是定義在[a,b]上的實值函數。aIαf表示函數f的α階左Riemann-Liouville分數積分,定義為:
其中
定義2[17-18]設α∈(0,1],f是定義在[a,b]上的實值函數。表示函數f的α階Caputo-Fabrizio 分數階積分,定義為:
其中,B(α)>0 是一個滿足B(0)=B(1)=1 的函數。
定義3[15]設α∈(n,n+1],n≥1,f是定義在[a,b]上的實值函數。表示函數f的α階Caputo-Fabrizio 分數階積分,定義為:
其中,aIn是n階的Riemann-Liouville 分數階積分,是β(β=α-n∈(0,1])階的Caputo-Fabrizio 分數階積分。
定義4[15]設α∈(0,1],f是定義在[a,b]上的實值函數。表示函數f的在左Caputo 和Fabrizio 意義下的α階左 Caputo 分數階導數(簡寫CFC-分數階導數),定義為:
定義5[15]設α∈(n,n+1],n≥1,f(n)是定義在[a,b]上的實值函數。表示函數f的α階CFC-分數階導數,定義為:
性質1[15]設α∈(n,n+1],n≥1,u(t)是定義在[a,b]上的函數,則
本文基于Green 函數的獲得以及對其性質的研究,得到含有CFC-分數階導數的微分方程邊值問題的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式,并討論了相應特征值問題;利用壓縮映射原理證明了相應的非線性問題存在唯一解。豐富了CFC-分數階微分方程的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式,以及相應非線性問題唯一解的理論,為分數階方程在數學、生物、化學等領域的應用提供了理論參考。