基于函數思想的高中數學解題探究

摘 要：面對復雜的數學問題，通過函數思想的應用，利用函數性質和圖像，迅速找到題目的“突破口”，加深學生對題目的理解，提升學生的解題能力.另外，學生在利用函數思想分析問題、解決問題的過程中，也促進了數學思維的發展，實現了數學核心素養下的教學目標.基于此，本文分析了函數思想的內涵，以及常用的幾種方法，并結合不同類型的數學題目，對其進行了詳細的論述.

關鍵詞：函數思想；高中數學；解題能力；核心素養

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）06-0035-03

立足于數學思想和數學解題的內在關聯，充分借助數學思想的輔助，降低解題難度、提升學生的解題效率，已經成為一線教師關注的重點.本文聚焦于數學思想中的“函數思想”，對其在數學解題中的具體應用進行了研究和分析.

1 高中數學函數思想概述

1.1 函數思想內涵

函數思想主要體現了處于變化中的量和量之間的關系.由于函數量和量之間是一一對應的關系，因此在對函數思想內涵進行描述的時候，基本上都是運用“規律”這一字眼進行解釋的.如：在函數y=f（x）中，自變量的取值范圍，以及對應法則f就是函數的基本要素.在這一函數中，自變量處于決定性地位，可決定因變量的值.對于函數的值域來說，則主要受到定義域、對應法則的影響.可以說，從函數的整體上來說，自變量、因變量以及常數之間的關系和變化，都可以在函數中展示出來，并且這三者之間是密不可分的.在運用函數思想進行解題的時候，常常需要將數學問題進行轉化，使其成為函數的形式.接著，結合不同的數學題目，確定出具體的函數，如：正比例函數、二次函數、一次函數、冪函數、指數函數、反比例函數，之后依據不同類型函數的具體性質進行求解.

1.2 函數思想在解題中常用的方法

在借助函數思想解決數學問題的時候，最為常見的主要有以下三種方法：

第一，整體法.這一方法主要是對數學題目進行整體的思考和處理，進而使得數學題目解答更加便捷.同時，在運用這種方法的過程中，對學生的邏輯思維能力、知識遷移能力、運用能力的要求非常高，學生在閱讀數學問題的時候，不僅要明確整體和局部之間的關系，還能從整體的角度，對有用的數學信息進行整合；有的學生在解決題目的時候，需要運用具體的數值，對其進行驗證、整體運算等.

第二，遞推思想法.這種方法常常應用于含數學規律的題目中，仔細探索題目中蘊含的遞推關系，并根據這一關系，構建與其相對應的函數，并利用函數的性質，探索出數學問題的解決思路、解決方法.同時，這一方法常見于數列問題中，尤其是利用數列前n項和公式解決問題中，是通過遞推思想構建函數的方式進行解答.

第三，歸納假設法.這一函數思想解題方法常常被應用到解決探索類的數學問題中.在這一類數學問題解決中，學生雖然不甚了解數學問題的具體性質，但通過觀察，借助不完全歸納法，從整體的角度上進行歸納假設，并對自己的假設進行驗證.

2 函數思想在高中數學解題中的具體應用

2.1 利用函數思想解決不等式問題

在高中數學學習中，不等式是最為重要的考查內容之一.有關不等式的問題中，證明類的題目難度系數最大，對學生的思維能力要求最高.其實不等式證明和函數之間存在一定的關聯性，很多不等式問題實際上就是函數中的正負區間、零點、單調性問題.學生在解決不等式問題的時候，需要考慮的內容非常多，不僅僅要關注不等式的形式，還要考慮不等式的解集是否與答案的要求相符合，應結合限定的條件對解集結果作進一步判定.鑒于不等式解題的特點，如果忽視了函數思想的運用，學生不僅難以找到解題的突破口，甚至頻頻出現錯誤.因此，為了提升學生的解題效果，在指導學生解答不等式問題的時候，必須要融入函數思想，將不等式問題轉化為函數問題，最終結合函數性質和圖像進行解答.例如，已知不等式n2+mn+3＞4n+m恒成立，且m的范圍是［0，4］，求n的取值范圍.如果僅僅局限于不等式解答中，學生很難找到解題的思路，此時，就可融入函數思想，引導學生對這一不等式進行分析，以m作為自變量，對其進行變形，成為一個新的函數，即：y=（n-1）m+n2-4n+3，此函數中y＞0恒成立，結合題目中給出m的范圍［0，4］，利用函數的性質和圖像，計算出n的取值范圍.由此可見，在不等式問題的解答中，通過函數思想的融合，可促使學生快速找到題目的“突破口”.

2.2 利用函數思想解決數列問題

數列是高中數學知識體系的重要組成部分，也是高考必考內容之一.因為數列和函數之間存在較大的相似性，數列就可以將其看作是一種非常特殊的函數，數列中的每一個數字，不僅僅是數列中的項，還可以將其看作為項目的函數.因此，可將數列看做是通過自變量不斷增大，得出相應數值的函數，進而將其轉化為相契合的函數，利用該函數的性質、圖像等，完成等差、等比數列問題的解答.例如，在數列an中，已知S2n=4n2+2n+1，求數列Sn.在這一數列問題中，題目描述的十分清晰，看起來十分簡單.但是如果學生直接運用數列的相關知識進行解答，學生就會發現這一過程十分困難，甚至還會在解題的過程中，陷入慣性思維中，導致其出現各種錯誤.面對這一現狀，高中數學教師就可融入函數思想，對這一數列問題進行轉化，使其成為函數f（2n）=4n2+2n+1.之后，利用函數換元法，將原本函數中的2n換為n，此時原來的函數就演變為f（n）=n2+n+1.經過函數思想的融合，使得原本復雜的數列問題，轉變成為簡單的函數問題，學生只要借助函數圖像和性質，即可快速、高效解答此類問題.

2.3 利用函數思想解決方程問題

在高中數學學習中，方程問題尤為常見.具體來說，方程問題主要是由含一個未知數或多個未知數的等式組成.對于高中生來說，方程問題更為復雜，解題思路也更加多樣化.在傳統的方程解決中，學生常常面臨著較大的困難.基于函數與方程的內在聯系，將原本的方程問題進行轉化，使其成為兩個函數，借助函數思想進行解答.例如，已知在方程x2-ax-bx+ab=2中，該方程擁有兩個根，分別記為m、n，并且b＞a，n＞m，現對a、b、m、n四個實數的大小進行對比.在這一方程中，涉及的未知量非常多，如果直接按照方程解決的模式進行，學生就會面臨著非常大的困難，甚至出現無從下手的現象.鑒于此，在優化方程解題教學時，就可融入函數思想，對這一方程進行轉化，使其成為兩個函數.在轉化的過程中，教師首先指導學生對題目中的方程進行化簡處理，成為（x-a）（x-b）-2=0，結合函數與方程之間的內在聯系，將其構造成為兩個函數，即：f（x）=（x-a）（x-b）-2、g（x）=（x-a）（x-b）.因此原本復雜的數學問題轉變為兩個二次函數，學生結合函數的性質，就可明確這兩個函數的圖像均為開口向上的拋物線，利用函數圖像的平移規律，由此可知f（x）是將函數g（x）向下平移兩個單位而得到的.最終結合函數的圖像與性質，得出a、b、m、n四個實數的大小，完成這一數學方程問題的解答.

2.4 利用函數思想求解參數范圍

在高中數學學習中，求解參數范圍這一數學題目最為典型.以往，教師在對這一類數學題目進行解答的時候，基本上遵循以下兩種思路進行：第一，對題目進行認真分析，將題目已知條件中存在的不等式關系分析出來，隨之運用不等式的相關知識進行求解；第二，運用函數思想，分析題目中存在的等量關系，并據此構建函數，利用函數的定義域進行求解.例如，已知a、b是正數，如果ab=a+b+3，求ab的取值范圍.在對這一道數學題目進行分析時發現，該題題干十分簡單，已知條件簡單明了，學生結合所學的知識，能夠采用多種方法進行解答.同時，也可利用函數思想進行轉化，將這一數學題目轉化為函數，即根據題目可將其與一元二次方程中求兩個根之間的關系進行聯系，即ab=t，則可將ab=a+b+3轉化為a+b=t-3，并據此構造函數f（x）=x2-（t-3）x+t，最終借助函數的圖像和性質，得出t的取值范圍，求出ab的取值范圍.

2.5 利用函數思想解決實際生活問題在新課標背景下，數學問題的生活化在考試中所占比重越來越大.與普通的數學問題相比，生活化的數學問題更加復雜、綜合、系統，對學生的要求更高.通過教學實踐發現，這一類數學題目常常是學生的“攔路虎”，失分率非常高.鑒于此，在優化高中數學解題教學時，就可融入函數思想，將原本復雜、綜合、系統的數學問題進行轉化，使其成為簡單的函數問題，進而運用函數性質和圖像進行解答.通常，在常見的路程問題、生產問題、價格問題中，都可運用函數思想進行解答.例如，在對路程問題進行求解的時候，由于其中涉及路程、速度、時間三者的關系，尤其是在勻加速的直線運動中，又增加了加速度這一概念，使得問題變得更加復雜.此時，可借助函數思想，假設總路程為s，加速度為a，初速度為v0，時間為t，進而結合路程的相關公式，得出s=v0t+1/2×at2.再結合函數的性質，即可快速求出答案.

3 函數思想在高中數學解題中的應用效果分析

通過課堂教學實踐，將函數思想應用到高中數學解題教學中，取得了顯著的效果和價值.具體來說，集中體現在兩個方面：一方面，降低了學生的解題難度.針對高中數學題目來說，常常具備極大的難度，尤其是題目內容和要求變化多端.在這一情況下，高中生只有熟悉相關知識，才能完成數學問題的解答.以往，學生基本上都是借助大量的練習，依托現成的模板進行解答，但這種訓練效果不甚理想.而通過函數思想的應用，學生利用函數思想加深題目的理解，借助函數的性質和圖像，在最短的時間內找到解題的突破口.如此一來，不僅降低了數學解題難度，也提升了學生的解題效率；另一方面，提升了高中數學解題教學效果.縱觀當前高中數學教師的解題教學，教師常?；ㄙM了大量的時間和精力，學生卻云里霧里，摸不清解題的門路，甚至只限于教師所講的數學題目中，一旦稍有變化，學生便無從下手.而通過函數思想在數學解題中的應用，教師通過函數圖像圍繞數學問題進行講解，學生則在函數圖像和性質的輔助下，快速理解數學題目，找到解題的思路.如此，通過函數思想的應用，有效提升了數學教師的解題教學效率.

綜上所述，基于數學學科的特點，加強數學解題教學，培養學生的數學解題能力是當前高中數學教學的重難點.針對當前高中數學解題教學不太理想的現狀，高中數學教師不僅要重視數學解題教學，還應將數學解題教學與函數思想整合到一起，利用函數的性質和圖像，分析數學問題、找到解題突破口、形成解題思路，從而全面提升高中生的數學解題能力.

參考文獻：

［1］

張宏斌.淺談函數思想在高中數學解題中的應用［J］.數理化解題研究，2022（18）：26-28.

［2］ 邵春燕.高中數學解題教學中函數思想的應用［J］.數理天地（高中版），2022（06）：29-30.

［3］ 崔英紅.關于函數思想的高中數學解題教學策略分析［J］.科幻畫報，2022（02）：155-156.

［4］ 李騰.如何用函數思想指導高中數學解題［J］.數學學習與研究，2021（34）：17-19.

［5］ 馬建文.基于函數思想的高中數學解題教學策略［J］.學周刊，2021（23）：153-154.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者簡介：魏?。?981.9-），男，福建省永泰人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.