基于雙頻擴張狀態觀測器的無人機抗擾控制

夏笠城，王姝旸，張晶，楊凌宇

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

系統建模中的不確定性和系統運行過程中的干擾是控制理論與工程界需要解決的核心問題之一。在多種不確定性和擾動中，無法直接利用控制輸入補償的非匹配、快變/突變擾動是最為復雜的，但同時在工程應用中最為常見，如高超聲速滑翔飛行器的氣動特性[1]、磁懸浮控制敏感陀螺的外部突變擾動[2]及系統突發故障引起的參數跳變等。

在無人機控制領域，體重在100 g 以下的微型四旋翼無人機具有體積小、質量輕等特點：①其運動更容易受到周圍環境擾動的影響，對質量、載荷和執行機構的不確定變化也更加敏感[3]；②由于旋翼的動態帶來的時滯特性，導致控制輸入無法對外部擾動直接補償，使擾動呈現典型的非匹配特征。針對非匹配快變/突變擾動，探索工程可用的估計和補償控制方法，可有效提升微小型無人機的動態性能和控制精度，同時對類似系統的自適應、容錯控制技術研究也具有重要的意義。

在快變/突變擾動的估計中，擴張狀態觀測器（extended state observer, ESO）是 最 為 有 效 的 手 段之一[4]，被廣泛應用于航空[5]、機器人[6]及其他領域[7]中。理論上，若擴張狀態觀測器的帶寬覆蓋了擾動的頻段，其可以獲得足夠的估計精度，且帶寬越大，估計的精度越高，快速性越好；但當實際系統存在量測噪聲時，增大觀測器帶寬會顯著放大噪聲的影響，造成精度下降甚至估計失效[8]。近年來，學者們針對估計擾動和抑制噪聲存在矛盾的問題進行了大量的研究。Xue 等提出了自適應擴張狀態觀測器，利用卡爾曼濾波的思想自適應調整誤差的增益，在準確估計擾動和噪聲抑制之間尋求折中值[9]。Rsetam 等提出了分離擴張狀態觀測器，該觀測器將一個高階系統拆分成若干個低階系統，對于每個子系統都用一個低階線性擴張狀態觀測器進行觀測從而降低誤差的增益[10]。Prasoy 和Khalil 等提出了一種非線性高增益觀測器，把觀測值與量測值的誤差作為判斷系統瞬態與穩態的依據，分別配置合適的誤差增益[11]。Jo 等提出了一種噪聲抑制擾動觀測器，在線性系統中擾動觀測器的基礎上改善了其反饋形式，并通過Q 濾波器抑制噪聲的影響[12]。Tamhane[13]和Sun[14]等對滑模觀測器進行了改進，將輸出量的積分作為新的狀態變量，并選擇合適的滑模面來有效抑制噪聲的影響。Wang 等提出了一種非線性信號校正觀測器，并用于無人機系統中的信號觀測和校正[15]，但為提高擾動的估計速度，觀測器的誤差增益需要增大，此時噪聲可能無法被有效抑制。其他研究也存在類似的問題，在擾動突變較小的情況下，觀測器才能抑制噪聲對擾動估計效果的影響。此外，上述研究均采用了較為復雜的觀測結構和參數，這導致其調參難度大大增加，或者過多依賴于擾動的先驗知識，嚴重影響了上述方法的工程應用。

從上述研究可以看出，有效估計擾動和抑制噪聲之間的矛盾雖然能夠抑制，卻是不可消除的，尤其是在存在快速變化、高幅值擾動的系統中，觀測器的誤差增益會為快速跟蹤擾動而相應增大，量測噪聲對觀測結果的影響會隨之變大，此時的折中解將更難選取。此外，對于非匹配的擾動，反步法可以通過Lyapunov 方法設計控制律，保證系統對非匹配不確定性和擾動的漸進穩定。Wan[16]和Zhang[17]等利用反步法對非匹配不確定性和擾動進行補償，但是上述反步法補償的不確定性和擾動都是慢變的且沒有考慮系統的量測噪聲，需要進一步研究。因此，如果能夠對非匹配快變擾動進行準確的估計，就可以使用反步法設計控制律補償擾動，從而提高系統對不確定性和擾動的魯棒性。

針對上述問題，本文提出了基于雙頻擴張狀態觀 測 器（bi-bandwidth extended state observer, BESO）的反步抗擾控制方法，并以微型四旋翼無人機的定高控制為例進行了對比分析和驗證。

1 問題描述

不失一般性，帶有非匹配擾動和量測噪聲的單輸入單輸出l階線性系統可表示為

式中：xi(i=1,2,···,l)為 狀態變量；u為 輸入；b為輸入增益；f(x1,x2,···,xl)為已知狀態轉移方程。設系統的各個狀態量xi均存在不同程度的時變擾動di，且滿足：

由于控制輸入u只 作用于xl，無法直接完成對所有擾動的補償，因此屬于典型的非匹配不確定性問題。

實際系統中，狀態xi的 測量值x?i往往受到噪聲污染，表示為式(2)的形式，其中，ni為方差 σi的高斯白噪聲，ni～N(0,σ2i)。

理論上，在不考慮量測噪聲情況下，現有干擾估計器的性能可以通過增大觀測增益任意提升，從而實現對快變甚至突變擾動的快速估計；但當量測噪聲存在時，高增益對噪聲的放大將直接影響擾動的估計精度，甚至導致觀測器失效。如何實現對快變/突變擾動的快速估計，同時有效抑制噪聲的影響是干擾估計方法能否工程應用的重要問題之一。

因此，本文的目標是在系統存在量測噪聲的情況下，完成對非匹配快變擾動的準確估計并設計抗擾控制律，完成對期望指令的快速準確跟蹤，提高系統對不確定性和擾動的魯棒性。

2 雙頻擴張狀態觀測器

對于系統不確定性和未知擾動的估計，線性擴張狀態觀測器（linear extended state observer, LESO）可以通過增大觀測器的帶寬提高擾動估計的精度，但是誤差的高增益會放大量測噪聲，估計擾動和抑制噪聲之間存在矛盾。當系統同時存在快速時變擾動和量測噪聲時，LESO 無法設計合理的帶寬以克服這個矛盾。本節基于文獻[18]，針對式(1)和式(2)所描述的系統結構設計了BESO 的結構，使得觀測器不需要知道擾動的先驗信息，能在準確估計快變擾動的情況下抑制量測噪聲的影響。

對于式(1)和式(2)表示的系統，構造如式(4)所示的BESO，該觀測器由l組BESO 共同構成，其中，前l?1組具有相同的結構。

式中:ei為 對測量值x?i的觀測誤差；βi1和 βi2為對應的觀測器的增益，可按LESO 的帶寬配置方法，將觀測器極點配置到 (?ωi,?ωi)處 。由此得到 βi1和 βi2的值如下：

式中: ωi>0表示BESO 的中心帶寬。與LESO 不同的是，BESO 的工作帶寬還與方向轉換因子 γi和雙帶寬比例因子 ηi相關，這3 個參數對BESO 性能的影響特點如下：

1）中心帶寬 ωi決定了觀測器的總體性能，ωi越大，BESO 對di的估計越準確，收斂速度越快。對于頻率較大的di，其變化較快，應選取較大的 ωi，反之，則選取較小的 ωi就可以達到較準確的估計。因此，適當地選取中心帶寬可以對不同頻率的擾動進行有效的估計。

2）當 ηi=1時 ，BESO 等價于LESO，當 ηi≠1時，BESO 具備雙帶寬的特點，即觀測器工作帶寬會隨著觀測誤差的收斂方向動態調整。特別是取0<ηi<1時，若觀測誤差趨向于0，觀測器的工作帶寬變小，從而在穩態抑制量測噪聲的影響；反之，若觀測誤差增大，則觀測器的工作帶寬也會變大，從而提高觀測器的快速性，使BESO 可以在di發生突變時進行有效的估計。

3）當中心帶寬 ωi固定時，ηi選取的越小，可切換的2 個工作帶寬相較于 ωi差距越大，BESO 對噪聲抑制的效果越好，同時對系統瞬態的觀測結果也越準確。

4）BESO 的可調參數只有2 個：ωi和 ηi，參數的調節過程相對簡單。

由式(4)可以看出，γi是隨觀測誤差絕對值的導數符號改變的，因此可以采用切換系統理論對BESO 的穩定性進行分析。令真實觀測誤差為exi=x?i?xi，edi=d?i?di，注 意 有exi=ei?ni，結 合式(1)可以得到真實誤差的狀態方程如下：

式中：

由于l組觀測誤差方程中的誤差項具有相同的形式，且相互獨立，為推導方便，省略下標i，將式(6)改寫為

注意h中 包了 ?f項，結合式(7)可做如下分析：當f(·)為xi的線性函數時，?fl=f(n1,n2,···,nl)，其只是噪聲的函數，與 [ex,ed]無關，此時式(8)表示的系統穩定性完全由A陣 確定；特別的，若f(·)為xi的非線性函數時，理論上 ?fl與xi相關，但由于 ?fl主要是量測噪聲導致的誤差，考慮到噪聲均值是0 且幅值微小，因此 ?fl由噪聲項主導且相對較小，在工程應用中可以忽略其對系統穩定性的影響，則式(8)的穩定性可近似由A陣確定。

進一步考慮到A陣參數的切換變化，為分析系統的穩定性，需要找到一個正定實對稱矩陣P滿足：

當P存在時，該切換系統存在公共二次Lyapunov函數，即系統穩定[19]。下面給出定理1 得到BESO穩定的參數范圍。

定理1 式(4)表示的BESO 公共Lyapunov 存在即觀測器穩定的充分條件如下：

基于以上結論，BESO 的參數調節方法如下：

步驟 1 ωi從較小的值逐漸增大，由于噪聲的存在，觀測器的觀測誤差會先減小后增大。因此，可以在增大 ωi的過程中通過觀察觀測器的觀測誤差變化尋找到一個合適的 ωi值。

步驟 2 ηi應盡可能選取接近定理1 中的下界值，從而達到更好的噪聲抑制效果。如果 ηi選取到下界時仍無法達到理想的觀測結果，可以適當地繼續減小 ηi。這是因為定理1 中給出的 ηi的范圍只是一個充分條件，適當減小 ηi可以得到更好的觀測結果，此時BESO 可能是不穩定的。因此，具體放寬ηi取值的程度還必須結合進一步的仿真和測試驗證。

3 基于BESO 的反步抗擾控制律設計

反步法是通過對閉環系統的Lyapunov 函數進行遞歸設計，從而使閉環系統的響應有界且能夠收斂到平衡點的一種遞歸設計方法[20]，但其控制效果依賴于建模模型精度，本節將BESO 與反步控制相結合，利用BESO 估計系統擾動，利用反步法實現非匹配不確定性的補償。

對于式(1)和式(2)表示的系統，首先給定指令跟蹤目標為x1d，并定義跟蹤誤差為z1=x?1?x1d，x?2為虛擬輸入，可構造Lyapunov 函數：

可知，當z2=x?2?x2d趨 向于0，即x?2→x2d時 ，V˙1(z1)負定條件滿足。

進一步以x2d為 期望動態，x?3為虛擬輸入，設計反步控制律，可構造Lyapunov 函數：

對其求導得

同理可得，x3d=x˙2d?d2?z1?k2z2。

重復上述過程，設xj（d1

其導數為

為使V˙j(z1,z2,···,zj)負定，期望動態需滿足：

式中：kj>0,j=1,2,···,l?1。

為綜合形成控制律u，可構造Lyapunov 函數：

求導得

當u滿足式(24)時，V˙l(z1,z2,···,zl)負定，系統各級跟蹤誤差zi將漸進收斂至0。

由于BESO 的觀測誤差exi、edi是有界且按指數收斂的，式(13)～式(24)中的di均可替換為d?i[21]。為得到式(24)，反步控制律設計了l個可調參數ki?；贐ESO 的反步控制律參數調節方法如下：

1）根據不同狀態擾動的特點，按照第2 節方法確定各自BESO 的參數 ωi、ηi，獲得d?i。

2）反步法中的參數首選根據快速性要求確定k1，然后可按照kj>4kj?1,1

考慮到實際系統輸入幅值限制，k1增大雖然會提高系統響應的快速性，但被控對象的實際輸入也會隨之增大，輸入一旦超過邊界值被限幅系統會產生較大的超調量，因此x2d可做如下修改：

式中：0 <α<1，修改后的V˙i依然是負定的。這樣在|z1|≤ε 時，z1的 增益較大，保證系統的快速性，|z1|>ε 時 ，z1的增益較小，避免輸入限幅導致系統超調量過大的問題。

4 仿真結果與分析

為驗證本文方法的有效性，選取微型四旋翼無人機的懸停模態過程進行驗證，在懸停過程中，其核心控制變量為飛機的懸停高度。

首先電機環節的傳遞函數如下：

式中：N為電機轉速；u為輸入電壓；輸入范圍為[0,10] V。

無人機的升力主要由4 個旋翼產生的拉力提供，在平衡狀態下，單個旋翼的拉力與電機轉速的關系如下：

式中：F為單個旋翼的拉力。

為使無人機保持水平懸停狀態，4 個旋翼產生的拉力相等，且俯仰角和滾轉角近似為0，因此無人機的動力學方程如下：

式 中：z為 高 度；m=58 g 為 無 人 機 的 質 量；g=9.8 m/s2為重力加速度。

由于該微型無人機體積小、質量輕，其飛行過程極易受到外界擾動的影響，如周邊擾動氣流、載荷的移動、飛機姿態的動態運動、甚至槳葉或機身的變形等，這些問題給無人機高精度控制帶來了一定的難度。由于作用機理的不同，可能會影響到高度運動的速度或者加速度。將各種不確定性與擾動綜合在一起，作為總擾動體現在速度和加速度2 個方程中，分別用d1和d2表 述，進一步設x1=z，x2=z˙，x3=z¨，式(27)～式(29)可改寫成：

由于輸入電壓是通過控制電機轉速來改變升力的大小，進而控制無人機的高度，因此u只作用于x3，無法對d1、d2進 行直接補償，因此d1、d2屬于非匹配不確定性和擾動。為綜合驗證控制器的抗擾性能，仿真中d1、d2選擇為快變、慢變、突變的混合形式，使得擾動的形式更具一般性，如下：

x1、x2、x3的測量受到量測噪聲的影響，如下：

式中：n1～N(0,0.01)，n2～N(0,0.1)，n3～N(0,0.5)。

針對式(30)表示的系統設計基于BESO 的反步控制律，系統結構框圖如圖1 所示。為體現該控制律的效果，用LESO 替換BESO 做對比，系統結構框圖如圖2 所示。

圖1 基于BESO 的反步控制律Fig.1 Backstepping control based on BESO

圖2 基于LESO 的反步控制律Fig.2 Backstepping control based on LESO

對比BESO 與LESO 擾動估計的結果。仿真時間取15 s。對于d1的 估計，BESO 取 ω1=18，η1=0.42，LESO 取 ω1=16，觀測結果如圖3 所示。

圖3 d1估計結果Fig.3 Estimation results of d1

對于d2的估計，由于其變化更迅速，幅值更大，ω2應選取更大的值。BESO 取ω2=35,η2=0.42，LESO取 ω2=36，估計結果如圖4 所示。

圖4 d2估計結果Fig.4 Estimation results of d2

由圖3 和圖4 可以看出，在相近的噪聲抑制情況下，BESO 的快速性明顯優于LESO。為定量對比2 種方法的估計結果，給出性能指標如下：

式中：J1為 總體估計性能指標；J2為瞬態估計性能指標；J3為穩態估計性能指標。

性能指標越小，代表估計結果越好。分別計算BESO 與LESO 的性能指標如表1 所示。

表1 BESO 與LESO 估計d 1,d2性能指標Table 1 Performance indexes of BESO and LESO on d1

從圖3 和圖4 中可以看出，在5 s 和10 s 擾動發生快速變化時，BESO 都能比LESO 更快速地估計擾動。從表1 可以看出，BESO 的各項性能指標都比LESO 的性能指標小，說明BESO 不但能在瞬態準確估計擾動，同時在穩態不會放大量測噪聲，有效抑制了噪聲對估計結果的影響。

接下來調節反步控制律的參數，由于存在輸入限幅，x2d按 式(25)和式(26)設計，取k2=40，k3=160，μ=0.1，α=0.2，輸入為單位階躍響應。對于反步法中的x˙id，采用式(39)方式構造濾波器生成：

式中：i=1,2,3，ξ=0.707，φ1=5，φ2=20，φ3=80。

未補償擾動的反步法閉環響應如圖5 所示。

圖5 未補償擾動的反步法閉環響應Fig.5 Closed-loop response of backstepping controller without disturbance compensation

從圖5 可以看出，閉環響應無法有效跟蹤目標指令，說明只使用反步法無法有效抑制擾動給系統帶來的影響?；贐ESO 的反步控制律和LESO的反步控制律的閉環響應結果如圖6 所示。

圖6 補償擾動的反步法閉環響應Fig.6 Closed-loop responses of two backstepping disturbance compensation

從圖6 可以看出，2 種方案的閉環響應超調量均為11%，在 5 s 和10 s 出現快速變化的擾動時，基于BESO 的反步控制律的閉環響應收斂速度快于基于LESO 的閉環響應，而且受到擾動響應變化的幅度較小，x2d的設計也克服了輸入限幅帶來的問題。因此，基于BESO 的反步控制律在抑制擾動的能力上較于LESO 有了明顯的提高。

接下來觀察被控對象的實際輸入u受噪聲的影響。將2 種方案仿真中噪聲去掉時的實際輸入作為基準輸入，基于BESO 的反步控制律的實際輸入曲線如圖7 所示。

圖7 BESO+反步法實際輸入Fig.7 Input of backstepping control based on BESO

圖7 中，1 s、5 s、10 s 處都出現了輸入限幅，這是因為1 s 時系統給定了跟蹤目標需要較大的輸入電壓，5 s 和10 s 時擾動都發生了突變需要較大的輸入電壓。為定量評價量測噪聲對實際輸入的影響，引入式(40)所示的性能評價指標：

式中：u0為 無噪聲下的基準輸入。J4越小代表系統實際輸入受量測噪聲的影響越小。分別計算BESO 與LESO 的性能指標如表2 所示。

表2 BESO 與LESO 實際輸入性能指標Table 2 Performance indexes of BESO and LESO on actual input

從表2 可以看出，基于BESO 的反步控制律的J4較小，且相較于LESO 提升了約30%。因此，基于BESO 的反步控制律的被控對象實際輸入受量測噪聲的影響較小，該控制器有效抑制了量測噪聲對系統的影響。

5 結 論

針對補償系統中非匹配快速時變擾動和抑制量測噪聲的問題，本文提出了基于雙頻擴張狀態觀測器的反步抗擾控制律設計方法，應用于微型四旋翼無人機的定高控制，結論如下：

1）與線性擴張狀態觀測器相比，雙頻擴張狀態觀測器可以對快速時變的擾動進行更準確的估計，同時避免放大量測噪聲，使得觀測器估計擾動的性能得到明顯的提高。觀測器的可調參數較少，參數的調節過程比較簡單，更容易推廣到工程應用。

2）基于雙頻擴張狀態觀測器的反步抗擾控制律可以對系統中的非匹配擾動進行有效的補償，使得傳統反步法受擾動影響大的問題得到了明顯的改善。同時在量測噪聲存在的情況下，系統的實際輸入受噪聲的影響也明顯降低。