時間序列分析課程理論與實踐教學探索

唐立　吳錦標

摘? 要：時間序列分析學科發展迅速，應用廣泛，對該課程的教學提出挑戰。時間序列分析課程是統計專業的核心課程，既需要培養學生的理論研究能力，又需要培養學生的實踐動手能力，如何在有限的學時內實現這一教學目標，是一個值得不斷探索的課題。該文從理論課堂學時與實踐課堂學時配置、理論知識和應用方法內容的配置，以及理論部分考核和實踐部分考核的配置幾個方面進行探討，提出具體的安排和建議，為時間序列分析課程教學改進提供參考。

關鍵詞：時間序列分析；教學內容；理論課堂；實踐課堂；教學目標

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）17-0115-04

Abstract： The rapid development and wide application of Time Series Analysis have challenged the teaching of this course. The course of Time Series Analysis is the core course of Statistics. We need to cultivate students' theoretical research ability and practical ability. How to achieve this teaching goal in a limited class hour is a topic worth exploring. This paper discusses the allocation of theoretical class hours and practical class hours， the allocation of theoretical knowledge and application methods， and the allocation of theoretical part assessment and practical part assessment， and puts forward specific arrangements and suggestions to provide reference for the teaching improvement of Time Series Analysis.

Keywords： Time Series Analysis; teaching content; theoretical classroom; practical classroom; teaching objectives

現代社會靠什么來精準認識世界的各種規律？靠數據！數據分為靜態數據和動態數據，所謂靜態數據是指與時間無關的數據，而動態數據當然是指隨時間變化的數據。靜態數據分析，我們一般通過多元統計分析等課程來學習，而動態數據分析的學習就是依賴于時間序列分析等課程。時間序列分析分為確定時間序列分析和隨機時間序列分析，而隨機時間序列分析是大學本科課程教學的重點，是我們這篇文章將要討論的中心，下面簡稱其為時間序列分析。

作為統計學科重要的分支，時間序列分析起源于20世紀30年代，以G.U.Yule提出的自回歸模型和G.T.Walker提出的移動平均模型和混合模型為代表。1970年George E.P.Box等[1]的著作《時間序列分析：預測與控制》，是時間序列分析學科發展的轉折點，標志著時間序列分析理論和應用形成系統，成為一個新的學科領域。而1987年Peter J.B等[2]的著作是一本較早將時間序列分析方法引入大學課程教育的著名教材。

國內的統計學科發展較晚，時間序列分析課程是大約2000年左右才開始在大學開設。國內所用的教材基本上全部借鑒于上述國外的著作。目前國內已經涌現了許多時間序列分析教材，這些教材有的側重于理論，有的側重于應用，有的側重于軟件實現，對我國各種統計相關專業的教育和發展起到非常重要的作用。特別地，對于統計學專業學生來說，時間序列分析課程是一門核心基礎課程。學生既需要掌握好這門課程較深的理論知識，又需要能運用這些知識和方法解決實際問題。因而，怎樣在有限的學時內實現這一教學目標，是一個值得不斷探討的課題。

一? 理論課堂與實踐課堂學時的配置

統計專業的學生培養，既要面向繼續升學深造的研究型人才培養，又要面向社會就業工作的實戰型人才培養。所以，時間序列分析課程學時宜設置成兩部分：理論課堂學時和實踐課堂學時。理論課程部分很重要，因為理論是基礎，沒有理論的支持，不可能有廣泛的應用。這一部分一般占到整個課程學時的大部分。我們必須深入淺出地將一些必要的原理講解清楚，學生才能理解和接受由此導出的方法和結論。目前，大多數本科時間序列分析理論教學內容，主要集中在時間序列分析發展初期的經典知識部分，即一元線性時間序列分析的知識。顯然，這一部分內容是非常重要而又基礎的，后面發展的時間序列分析的知識或多或少與之有聯系。

一元線性平穩時間序列{Xt}，一般可以用如下模型表示

另一方面，實踐課程部分訓練學生自己動手，運用所學知識解決實際問題的能力，也是非常重要的。對于統計專業的學生，時間序列分析課程教學不應只停留在理論上，而是應同步教導學生運用這些方法解決實際問題。一般地，我們可以在理論課程部分結束之后，開設時間序列分析的實踐課程。在實踐課程中，讓學生自己選擇一個感興趣的實際問題，搜集相關數據，然后運用所學的理論和方法去研究這個實際問題。這樣的實踐課堂其實是很有必要的，因為學生通過自己動手解決一個實際問題，可以進一步激發他們的學習興趣，也能夠使學生真正理解和掌握所學的知識，而且這些實踐經歷對學生未來工作中的實際應用是很有幫助的。

理論課堂和實踐課堂是不一樣的，理論課堂側重于原理的講解，配套的習題都是針對已經講過的原理出的。通過做練習，可以深化對這些原理的理解和記憶。同時，只要把原理用到習題中，習題中的問題就可以解決。但實踐課堂不一樣，學生面對的是任意未知的實際問題，一般只用理論課堂上講解的原理是不夠的。事實上，關于時間序列分析實踐課堂的設置已經引起了人們關注[3]，但大家可能只是安排少量的課時，讓學生上機做一些簡單的練習，而不是讓學生任意選擇一個實際問題。因為大家擔心學生遇到的實際問題太復雜，而以學生掌握的有限知識無法解決，致使實踐課堂訓練無法完成。這種擔心是有道理的，但我們不能因此放棄讓學生獨立自主解決一個實際問題的教學目標。

我們這里建議的是，至少給出時間序列分析課程總學時的四分之一學時，用于實踐課堂訓練，讓學生去研究一個實際問題，寫出一份實驗報告。特別地，我們鼓勵學生選擇當下社會熱點問題進行研究，而這一點一般教材上的習題是做不到的。教材上的習題往往都是針對較早年代的問題，用的都是過了很多年的數據。那么，我們怎樣解決學生理論知識不夠與實際問題難度之間的矛盾呢？這里我們建議兩點：一是補充、輔導、幫助學生學習一些新方法、軟件操作等。二是不苛求完美，只要求學生的實踐效果達到一定的層次就可以了。實際上，我們只要在某些方面針對性地給學生補充一些知識，就可以協助學生較好解決其所選擇的實際問題。這個也就是下一小節我們將要探索的教學內容的配置。

二? 理論知識與應用方法教學內容的配置

前面談到，大多數本科教材和教學內容都主要在一元線性時間序列分析相關知識，這一部分的理論和方法一直是教學重點內容?，F在統計學科和計算技術都有很大的發展，一方面為了學生實踐應用的需要，另一方面也是為了跟上時代發展的腳步，需要不斷補充新的思想方法進入本科教學內容。我們需要探索理論知識和應用方法教學內容的配置，使學生盡可能地掌握深入的理論知識和廣泛的應用方法，成為社會發展所需要的統計人才。

在已有的時間序列分析經典教學內容上，接下來我們著重談談從哪些方面進行引導和補充，可以較快地拓展學生的能力，解決好其所遇到的實際問題。關于這些補充的知識，我們就不必強調理論上的證明和推導了。我們可以針對不同的學生，啟發和教授各種常用的技能，若有學生想要深入探討，再教給他們一些途徑，讓他們自己進一步查證即可。下面我們總結幾個適合補充到本科時間序列分析教學中，特別是實踐課程教學中的應用方法，與大家共享。

（一）? 關于異方差現象方面的補充

金融、經濟等領域常常是學生感興趣的方向，而這一方向中問題的相關數據很可能有異方差現象，往往不能依靠本科時間序列分析課程的主流知識解決[4]。當學生采集到該領域的實際數據時，通常發現這些數據用線性時間序列分析方法效果不理想，即使使用差分或者函數變換等辦法仍然無法用線性時間序列方法建模。這時，引入一個非線性的條件異方差模型，就很可能解決問題。因為金融、經濟等領域的數據，有一些共同的特點，而這些特點目前來講，用條件異方差模型效果是比較好的。事實上，條件異方差模型是本科時間序列分析課程主要教學內容外，最常見的擴展內容之一，相對于其他的非線性模型，條件異方差模型的理論研究和軟件開發是比較成熟的。

關于這一部分教學內容，我們可以首先向學生簡單講解這類模型的由來、特點和適用范圍，以及與線性模型的區別和聯系等，然后具體指導學生運用這一方法，其中包括相關軟件的操作指導等。我們只需要簡單教授這一應用方法就可以了，甚至通過一些PPT演示，或者配備一份指導書就可以做到。當然，這些內容的傳授，可以針對有這方面需求的學生進行，也可以面向所有的學生，可以在理論課堂上做簡略的講解，也可以在實踐課堂上演示。

（二）? 關于門限模型方面的補充

除了異方差模型，簡單又好用的非線性模型還有門限模型，其能體現不同狀態下數據的不同規律，而這種數據現象也是學生在實際中容易遇到的[5]。門限模型包含一大類的模型，其理論和方法還在不斷的研發當中，雖然它還不夠完善，但已經有著廣泛的應用。特別是門限自回歸模型，其作用好比數值分析中的分段線性逼近，當全局的線性模型不合適時，分段線性模型有可能收到不錯的效果。不同狀態區間下的門限自回歸模型的理論、方法和軟件開發等，發展相對也比較成熟，讓學生掌握這一方法的實際應用也是比較方便的。所以，這種狀態分段下的線性自回歸門限模型，也經常是本科主流時間序列分析課程內容的有益而又自然的補充。

對于同一組數據，可能會有多個模型都可以通過適應性檢驗，從單個模型來看，它們都是成功的模型。這時，就需要我們將這些模型再分別進行對比，最終選取最合適的模型。這種模型的選取，在實踐課程中肯定是需要的。比如，一組數據適合某個門限模型，學生可以將其的效果與線性模型相比較，然后做出判斷，做出取舍。一直以來，我們鼓勵學生從多個角度思索問題，嘗試建立多種模型，然后進行比較，以獲得理想的結果。這種不斷嘗試、不斷探索合適的方法、合適的模型的過程既有趣，又能激發學生進一步的學習潛能，對學生而言是非常有益的鍛煉。

（三）? 關于協整關系方面的補充

與一元時間序列分析相呼應的當然還有多元時間序列分析。對多元時間序列的研究，不僅涉及每個時間序列的變化規律，還涉及多個時間序列之間的相互關系，較為復雜。但有一種情況下是比較簡單的，就是多個時間序列之間存在協整關系的時候。事實上，協整關系和前面介紹的條件異方差模型一樣，是目前最普遍補充到以一元線性時間序列分析為主體的本科教學中的內容。

實踐課堂中，學生通常對一組數據總能夠建立起一個預測效果還不錯的時間序列模型，該模型反映的是單個時間序列自身的變化規律。進一步，有的學生可能還想探究該時間序列產生這一變化規律的外在原因，或者說想要分析有其他哪些變量序列對這個時間序列的動態變化產生了顯著性影響。這時，我們就可以建議其嘗試利用協整關系，對平穩或非平穩同階單整的多個時間序列之間建立回歸模型，或者建立誤差修正模型，從而查找可能的原因，即考慮多個時間序列之間的相互作用關系等。特別地，兩個時間序列之間的協整關系是最簡單，也是應用最廣泛的[6]。例如，設兩個時間序列{X_t}，{Y_t}都是一階單整的，{Y_t}對{X_t}有協整關系，則通?？梢员硎緸榛貧w模型

（四）? 關于空間統計方面的補充

我們都生活在三維的現實空間中，除了時間坐標，還有地理位置坐標。加上了地理坐標的時間序列樣本成為空間數據，空間數據統計方法也是目前熱門的統計方法之一[7]。如果學生在實踐課堂中選擇的實際問題的相關數據，帶有明顯的地理坐標性，可以在學生完成基本的一元線性時間序列分析后，引導學生做一些空間統計相關的分析。一來可以拓寬學生的思路，二是對具體問題綜合運用更合適的統計分析方法，可以得到更全面、更細致的研究結果。

例如，某種疾病數據的演變規律除了與時間相關，很可能也與地理位置相關。比方說，實踐課堂中，學生可以對全國這種疾病總和數據做一個時間序列分析，完成基本的實踐課程訓練。接著，我們可以引導學生將全國各個地區的這種疾病數據做一些空間統計分析。通過這些分析，可以得到此疾病是否具有空間聚集性，地區之間發病的相關程度，以及此疾病隨時空傳播演變的趨勢、過程等。

三? 理論部分考核與實踐部分考核在總成績評定中的配置

課程考核是檢驗學生對這門課程掌握程度，以及督促學生學好這門課程的有效手段，同時也是學生展現自我能力的一個表現機會。我們需要合理、科學、公平地展開課程考核。鑒于以上關于時間序列分析課程教學需要分為理論課堂教學和實踐課堂教學兩部分，所以時間序列分析課程的考核至少也需要分為理論部分考核和實踐部分考核。

理論部分的考核一般選擇閉卷考試，旨在考核學生對時間序列分析基本的概念、原理和方法掌握的情況?？碱}使用的數據個數很少，數據一般不具有實際意義，但卻能反映學生理解和掌握理論知識的程度。按照前面我們提議的理論課堂學時與實踐課堂學時的配置，這一部分的考核成績在總的成績評定中應該占有較大的比重，比如55%或60%等。

第二部分實踐課堂考核，一般選擇實驗報告形式的開卷考核。我們可以將學生的實踐報告評定成若干等級，比如優、良、中、差四個等級?？梢韵仍O定一個等級良的標準，必須完成一系列設定的訓練任務。然后評優的標準就可以是這樣：在達到良好標準以后，如若學生又補充運用一些其他的時間序列分析方法研究該實際問題，可以考慮評優。例如，除使用線性時間序列模型外，增加使用非線性時間序列模型等方法，或者使用了一個新的軟件技術來做數據分析等，可以評優。關于軟件的使用，時間序列分析方法常用的軟件有：EViews、R語言等，但其實還不斷有其他新的軟件可以用來做時間序列分析[8]。

總的成績評定包含理論閉卷考核成績和實踐報告開卷考核成績，以及平時表現情況。我們可以將不同等級的實踐報告直接折合成分數，也可以將平時表現情況與之一起折合成一個分數。平時表現情況一般包含考勤、作業等。雖然理論部分的閉卷考試很重要，但開卷這一部分的考核也是比較重要的，在總的成績評定中占比可以略低于理論部分課程考核成績，但也不應太低，占比可以取成45%或40%等。

四? 結束語

時間序列分析學科不斷的進步和發展，對我們的課程教學提出了新的要求、新的挑戰，我們不但要讓學生掌握好經典基礎理論知識，也要讓學生能應對實際中需要多種方法相結合才能解決的復雜問題。這里，我們結合自己的教學經驗，對時間序列分析課程理論與實踐教學的幾個方面提出了一些粗淺的看法，與大家交流。只為在有限的課時內，培養學生掌握好理論知識和更多的時間序列分析方法，使他們能更好地走上學習深造和就業崗位，能更好地服務社會，為社會主義建設作貢獻。

參考文獻：

[1] [美]GEORGE E.P.B， [英]GWILYM M.J，[美]GREGORY C.R.時間序列分析：預測與控制[M].顧嵐，譯.北京：中國統計出版社，1997.

[2] PETER J.B， RICHARD A.D. 時間序列：理論與方法[M].田錚，譯.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 黃彭奇子，段曉君，晏良，等.面向應用型人才的軍?！皯脮r間序列分析”教改探索[J].教育教學論壇，2021（45）：58-62.

[4] 陳超，陳英梅.應用型本科金融時間序列分析課程教學改革路徑——基于PYTHON語言[J].教書育人，2022（6）：110-112.

[5] 范劍青，姚琦偉.非線性時間序列——建模、預報及應用[M].陳敏，譯.北京：高等教育出版社，2005：95-108.

[6] 埃夫任·科琴達，亞歷山大·切爾尼.時間序列分析方法與應用[M].王倩，譯.北京：化學工業出版社，2018：128-145.

[7] 肖革新.空間統計實戰[M].北京：科學出版社，2018：1-10.

[8] 潘偉權，黎嘉嘉，樊冬梅.基于Prophet軟件計算的時間序列分析研究[J].軟件，2022，43（6）：13-16.