幾何畫板在高等數學課程中的可視化應用

顏魯曉

［摘? ? ? ? ? ?要］? 隨著教育理念不斷更新，教學改革不斷推進，一流課程、一流課堂逐漸興起。在教學中，教學與育人并重。學生作為學習的主體，教師作為引導者，激發學生學習興趣，培養學生自主學習、探究以及解決問題的能力尤為重要。通過幾個案例，介紹幾何畫板積件的制作過程，通過幾何畫板突破傳統教學方法演示旋轉曲面如何旋轉、微元法中分割和極限思想，化抽象為直觀形象，將靜態變為動態，將數學思維可視化，以提高課堂教學效果。

［關? ? 鍵? ?詞］? 高等數學；幾何畫板；課程思政；可視化

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文章編號］? 2096-0603（2023）02-0025-04

2022年1月，全國教育工作會議在北京圓滿召開。會議強調，現代教育應該全面貫徹新發展理念，服務建構新發展格局，堅持和加強黨對教育工作的全面領導，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，著力轉變觀念、守正創新、攻堅克難、守住底線，加快教育高質量發展，推動教育現代化，建設教育強國，辦好人民滿意的教育，培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人。[1]這對我們現在的教育提出了更高的要求。在日常教學中，教書與育人并重，目標的設計要具備高階性、創新性、挑戰度，滿足“兩性一度”的要求。教學應該由簡單的知識灌輸式傳授，轉變為知識、能力、素質相結合，培養學生應用所學知識解決實際問題的綜合能力、高級思維以及引導學生樹立正確的情感價值觀的教育模式。同時，課程內容要具有學科前沿性和時代性，教師的教學模式與方法應體現先進性和互動性，學生的學習過程應具備自主性、探究性和個性化，課堂要有留白，內容要有一定高度，留給學生思考的時間。

數學基于其本身的抽象性、邏輯性，教師在教學過程中一般以教定學、以本為本、教路單一、學法單一、目標單一、問題單一、評價單一，傳統的教學方法在一定程度上不能很好地展現數學知識所特有的動態性和抽象性，這就需要教師開發研究適合數學特點的可視化教學工具[2]?，F代教育技術的發展，給我們提供了更加方便的教學與學習技術，同時使教與學不再受時空限制?，F階段，就高等數學而言，學生難學、教師難教這一問題比較顯著，已經成為師生共同關注的話題之一。要想確保學生學習效率穩步提升，達到“兩性一度”的教學目標，就要加強數學教學軟件的應用。為了將數學問題充分描述出來，在教學過程中，加強數學軟件的應用，對當前教學過程中存在的問題進行簡化，可充分激發學生學習數學的積極性和主動性，而且數學軟件的直觀性和針對性比較強，可以促進學生對知識的理解?？傊?，在高等數學教學中，加強數學軟件的應用，可以將學生的主觀能動性充分激發出來，為取得良好的教學成果奠定堅實的基礎。

目前，在高校的高等數學教材中配備且教師比較熟練掌握運用的數學軟件有Mathmatica、Matlab、Maple等，這些軟件偏重于編程計算，想要實現某個計算，需要應用者首先完成編程，操作性不強，直觀性較差，教學中使用起來有一定的困難，尤其是對于沒有編程基礎的學生來說更復雜[3]。而幾何畫板軟件就像一個電子工具收納盒，其對系統的硬件環境要求低，制作的積件體積小，且便于重組，不需要編程，界面上擁有工具欄和菜單欄，通過工具欄、自定義工具可以快速完成簡單基本圖形的繪制，還可以通過編輯、顯示、構造、變換、繪圖等菜單欄按鈕，繪制復雜絢麗動態的目標圖形，完成“數”與“形”的完美結合，實現教學過程中圖形和數據方面的直觀表達，將抽象的數學論述可視化，形象、直觀、動態地展示數學知識。工具欄下有一個腳本功能可以記錄整個積件的制作過程，并用復原和恢復進行瀏覽，便于后續的使用和修改。幾何畫板軟件的主要功能有繪制函數、幾何圖形度量計算、動畫、迭代等，尤其是在動畫過程中，能保持和突出幾何關系，這是數學的精髓。[4]因此，利用幾何畫板制作演示圖非常便捷，一方面適合教師修改、重組成新的課堂教學課件，進行動態演示講解；另一方面適合學生利用積件進行高等數學的自主學習和探究。這一過程不但將數學知識的原理、數學的精髓展示出來，也在潤物無聲中完成思政育人目標。下面以高等數學中的幾個案例說明幾何畫板積件的制作過程。

一、旋轉曲面

曲面在解析幾何以及高等數學中占有一定比例，而對于曲面的研究一般有兩個基本問題。一是已知一個曲面作為點的幾何軌跡時，如何建立曲面方程；二是已知x，y和z間的一個方程關系式時，研究這個方程所表示的曲面形狀。前者已知圖形，找到圖形特點，設出x，y，z建立函數關系式即可。后者需要通過抽象的表達式畫出圖形，這就比較復雜、困難了，因此，教師需要借助數學軟件工具將其可視化，展示給學生。

在學習曲面時，高等數學教材中羅列了大量的曲面，比如橢圓錐面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面以及馬鞍面等各種旋轉曲面、柱面、二次曲面。學生不僅要了解旋轉曲面是如何形成以及所對應的方程，還要了解圖形的幾何構造，這對學生后續的學習及應用而言有著重要作用。在學習曲面這一章節時，不同曲線圍繞不同直線旋轉得到不同的圖形，因此演示整個圖形的形成過程，能夠讓學生清晰認識不同曲面的差別。下面以雙曲線繞z軸旋轉為例，介紹幾何畫板繪制單葉雙曲線的制作過程。

（1）將yoz平面上的雙曲線，繞z軸旋轉一周。

（2）建立空間直角坐標系。利用圓工具，繪制以原點為圓心的單位圓。在圓上任取一點A，過A點做x′軸的垂線i，交x′軸于點B。以B點為標記中心，將A點旋轉-45°得到點A′，再將A′點以B為中心縮放為原來的得到點A″。隱藏點A″，依次選中A′，A″點擊<變換—創建自定義變換—斜二測—確定>。依次選中A′，A″，構造軌跡，得到橢圓。選擇A″與原點構造直線j，改名為x，得到三維直角坐標系的x軸。選中原點與x′軸，構造垂線，得到z軸。隱藏點B和直線i。將點A以原點為中心旋轉90°得到點A′，<變換—斜二測—確定>得到點A″，用直線連接原點A″與得到軸y。再將其將z軸與圓的交點名稱設置為1，表示單位長度。

（3）利用菜單欄<計算—新建參數>，建立參數a，b分別作為雙曲線的實軸和虛軸的長度。

（4）為了便于觀察，繪制一定區間內的函數圖象。選取定義域，在y軸上任取兩點M，N，選取M，N兩點構造直線，直線覆蓋的點即為構成的定義區間。在區間上任取點F，作為動點，順次選擇原點、y軸正方向上的單位點和F點，度量比值，將標簽改為yF。利用<數據—計算yF>所對應的函數值zF=和-zF=

（5）選中zF，變換標記為比值，雙擊原點標記為中心，選擇原點、z軸正方向的單位點，按照zF比例縮放，得到點p。順次選擇原點與p點，<變換—標記向量>，選擇點f按照標記向量op進行平移，得到點F′。同樣，將-zF標記為比例，將單位點以圓心為中心縮放得到點p′，依次選擇原點和點p′標記向量，再將點F以向量op′位移得到點F″。

（6）選擇點F′和點F，構造軌跡；同樣，選擇點F″和點F，構造軌跡，就可以得到分別以a，b為實軸和虛軸，位于yoz平面的雙曲線方程。

（7）選擇軌跡，<顯示—追蹤軌跡>，當點A旋轉時，就得到單葉雙曲面，如下圖1所示。

二、定積分定義

定積分在高等數學中所占比例較大，其在整個數學史上都占有重要地位。定積分的內容十分豐富，其應用也十分廣泛。這種“和的極限”的思想對物理學、醫學、經濟學、工程技術和其他知識領域以及人們的生產生活都產生了深刻的影響。定積分概念學習困難的原因之一是概念復雜冗長，思維方法以及理論體系高度抽象，對于初學者而言，這與他們的認知水平發展不符，無法達到“跳一跳”就能夠到的水平。根據建構主義教學觀，學習者是在一定的情境下，借助他人的幫助，利用一定的學習資源，通過意義建構的方法學習新知識。[5]教師要運用恰當的教學技術、方法和手段，與學生恰當的個人學習風格相適應，然后將合適的技能在適合的時間傳遞給學生。因此利用先進的技術，將微積分概念中涉及的數學問題、思維方法的整個思考過程用數學軟件描繪出，以形象、直觀的動態圖演示出來，是契合學習者認知水平，也是向學習者提供優質的學習資源，更是開展探究式學習，培養學生自主學習能力和創新思維的重要途徑之一。[5]教師用傳統教材中劉徽“割圓術”做鋪墊，雖能增強民族自豪感和文化自信，但是缺少貼合學生實際的背景，教師若借助信息技術演示割圓術的過程和定積分“和的極限”思想，學習者便可以通過觀察整個演示過程，獲取相關的視覺資料，更加全面深刻地理解。還可以利用交互技術，從不同的角度，多次重復觀察探索，幫助學生積累更多的實操認知，借助自然語言，反復推敲理解數學語言、思想方法。

借助幾何畫板來演示定積分定義的形成過程。

（1）利用繪圖定義坐標系，繪制函數圖象f（x）=x2，選擇原點A與單位1處點B構造直線AB，度量A，B橫坐標，選中點A、B，<度量—橫坐標>，得到橫坐標xA，xB計算A，B所對應的縱坐標并畫出所對應的函數值點，<數據—計算—f（x）=x2—xA>得到點A橫坐標所對應的函數值yA。順次選中xA，yA，<繪圖—繪制點（x，y）>，繪制點A所對應的函數值點C，同樣的操作過程，繪制點B所對應的函數值點D。

（2）設置參數n，建立參數動畫，計算n-1，。

（3）利用迭代對區間進行等分。將點A標記為中心，雙擊A或者選中A<變換—標記中心>，以標記比為縮放比例，<選中—變換—標記比例>，順次選中A，B，<變換—縮放—固定比例—確定>，將點B進行縮放的到點B′。

（4）選中點B′，<度量—橫坐標>求出點B′的橫坐標xB′，選中xB′橫坐標，<數據—計算—f（x）=x2—橫坐標xB′得到點xB′所對應的函數值的縱坐標yB′>。順次選中橫坐標xB′，yB′，<繪圖—繪制點（A，B）>，繪制點B′所對應的函數值點E，繪制出曲線上的點E，連接點B′、E作直線B′E。

（5）過點C做B′E的垂線j，直線j與直線B′E交于點F。隱藏直線j和直線B′E。

（6）順次選中點B′，F，C，A<構造—四邊形內部>。選中內部，選中點A的橫坐標，<顯示—顏色—參數—0至1—確定>。

（7）順次選中點A，B，n-1，n，按住shift鍵，<變換—深度迭代—初像A對應B′，B對應B，n對應n-1>。

當改變參數n的值的時候，我們就可以看到所有的小矩形累積向曲邊梯形無限接近[6]，如圖2所示。

故在教學中，教師嘗試利用數學軟件，將整個過程細化，模擬“分割、近似、求和、取極限”四個過程，利用軟件仿真作出動態的效果圖，隨著效果圖演示分割的無限細化，無論如何進行分割，也不管如何取近似，所有小長方形的面積之和都會無限地逼近曲線與坐標軸和區間端點直線所圍成的曲邊梯形的面積，這就是微元法。

微元法思想在日常的生活學習中應用廣泛，很多大問題、復雜問題都是由若干個簡單問題組合起來的，當我們碰到問題、遇到難題時，可以大膽地將復雜的問題先進行細化，“大事化小”，轉化成若干個小問題，分步驟將這些小問題逐個擊破，最終再整合，其實也就解決了復雜的問題，這需要我們在問題面前沉著冷靜，面對困難有堅持不懈的毅力，不斷地探究、思考，利用所學知識合理科學地去分解、解決問題。

三、旋轉體體積

定積分的應用十分廣泛，在數學中最主要的部分為幾何應用，主要是應用定積分求曲邊平面圖形的面積、旋轉體的體積以及平面曲線的弧長。分析解決幾何問題，其目的不僅是建立計算這些幾何量的公式，更重要的在于介紹將一個量利用元素法表達成定積分的思想與分析方法。在導入時，教師可以通過簡單介紹射電望遠鏡的工作原理以及作用價值，抽象其模型進行導入。射電望遠鏡外形可以抽象看成是由曲線圍繞軸旋轉而成，以增強民族自信，提升民族自豪感，激發學生的學習興趣。講解時，教師僅單純利用教材上的幾何圖形來講述定積分求旋轉體體積較為抽象和枯燥。[7]因此可以根據實例，借助幾何畫板繪制、演示這種元素法思想。

利用幾何畫板繪制曲線z=x2圍繞z軸旋轉而形成的旋轉體。

（1）首先如旋轉曲面步驟，建立空間直角坐標系，選擇x′軸上的單位點、圓以及點A′，<編輯—操作類按鈕—隱藏顯示>，制作按鈕。隱藏坐標軸x′oy′。

（2）數據新建函數f（x）=x2，在x軸任取兩點構造直線m，在直線m上任取一點F。順次選擇x軸上的原點、單位點、F點，度量比值，標簽改為xF，計算f（xF）=，更改標簽為zxF。

（3）將zxF標記比值，以原點為中心，順次選中原點、z軸單位點，變換縮放。比例為zxF，z軸單位點經過縮放的到點E，順次選中原點，E點，變換標記向量。

（4）選擇點F，變換平移，平移方向為標記向量OE方向得到點F′。

（5）順次選擇點F′、F，構造軌跡，就可得到xoz平面上的曲線z=x2，將軌跡顏色設置為淺灰色，在軌跡端點處選擇點m、n，構造線段mn，設置為黑色。

（6）選擇點A，編輯操作類按鈕動畫，點A圍繞圓旋轉。選中軌跡，和線段mn顯示菜單欄點擊追蹤軌跡。當點A旋轉時，得到立體圖形。

（7）在軌跡上任選兩點P、Q，選擇P、Q和x軸，構造平行線，交z軸于點P′、Q′，依次選擇四點構造內部線段。將線段PQ設置為黑色。選擇線段PP′、QQ′、PQ、P′Q′追蹤軌跡。當A旋轉時得到截段的軌跡圖像。如圖3所示。

通過幾何畫板的動態演示，學生可直觀地觀察旋轉體是如何生成的，計算其體積時進行切割、近似。這個效果是傳統教學模式無法達到的，使學生不僅能夠通過形象的演示理解此題目的求解過程，也可以通過這種視覺化的方式，理解元素法思想，進行遷移式學習，從而達到觸類旁通、知一解百的目的[8]。

四、結語

幾何畫板的應用十分廣泛，在高等數學極限定義、微分方程、二重積分以及構建數學模型等方面有著重要作用。教師掌握幾何畫板這一數學教學軟件，并將幾何畫板應用到日常高等數學課堂教學中，可使抽象數學語言可視化。這改變了過去純理論知識的灌輸式、“填鴨式”教學方式，突破和改善了傳統的教學模式，為學生提供了多樣的學習方式，培養了學生主動探索、細致觀察、發現問題、拆解問題，并堅持研究，不斷突破，最終解決問題的能力，同時對高等數學教學的改革和發展也會產生積極的推動作用。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.加快教育高質量發展［EB/OL］.（2022-01-17）［2022-10-25］.http：//www.moe.gov.cn/jyb_xwfb/gzdt_gzdt/moe_1485/202201/t20220117_ 594937.html.

［2］劉勝利.幾何畫板課件制作教程［M］.北京：科學出版社，2015.

［3］袁振國．當代教育學［M］．北京：教育科學出版社，2004：187

［4］葉德華，朱溦，周芳芹.微積分中若干概念的可視化教學［J］.產業與科技論壇，2017，16（3）：160-161.

［5］王波，楊耘，張文.幾何畫板軟件在兩個重要極限教學中的應用研究［J］.電子測試，2013（23）：215-216.

［6］鄭鳳林，周慧琴.幾何畫板迭代功能在高等數學中的教學探討［J］.教育現代化，2020（3）：136-138.

［7］施永新.例析用幾何畫板的深度迭代功能制作數學課件［J］.中國信息技術教育，2014（5）：85-87.

［8］陳彬斐.《幾何畫板》在大學數學教學中運用［J］.科技信息，2011（11）：179-180.

◎編輯 馬花萍