“數學分析”課程啟發式教學探索與實踐

李曉艷 吳然超

摘? 要：“數學分析”課程是數學專業的基礎核心課程。熟練掌握該課程的知識內容，對于后續課程的學習、數學能力的提升、數學綜合素養的培養具有重要的作用。文章鑒于數學分析課程知識的特點，積極探索啟發式教學模式。啟發式的教學以學生為中心、以老師為主導，充分發揮學生主觀能動性和積極性，有助于數學分析課程的教學與學習，能夠訓練學生的思考問題、探究問題的能力，有效培養學生的創新能力和數學綜合素養，提高教學質量和人才培養質量。

關鍵詞：啟發式教學；以學生為中心；教學探索與實踐；教學質量

中圖分類號：O171? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2023）14-0050-04

“數學分析”是數學各專業的基礎核心課程，是數學各專業學生學習后繼各課程的最基礎的課程［1-2］。該課程具有完備的知識體系、系統的基礎理論、豐富的課程內容，是數學學科長期發展、不斷完善而形成的課程體系。該門課程的學習，對于培養學生的抽象思維能力、嚴密的邏輯推理能力、熟練的計算能力等，具有至關重要的作用；對于本科階段后續課程的學習起到重要的支撐作用。

“數學分析”的核心內容是微積分，其發展過程大體經過三個階段。十七世紀科學家牛頓和萊布尼茲在繼承前人科學家們的成果基礎上，將微積分逐漸發展成為一門系統的學科［3］。經過科學家們將近多兩百年的努力，到十九世紀五六十年代，柯西、黎曼及維爾斯特拉斯等數學家們建立了嚴格的極限理論，嚴格證明了微積分所有的定義和定理。到了二十世紀初，龐加萊、格拉斯曼、嘉當等數學家創立了外微分形式的語言，形成了現代“數學分析”的基本理論體系。如何讓學生理解、掌握并應用好該門課程，是教師一直追求的教學目標和效果。應從加強“數學分析”教學隊伍建設、優化教學內容、改革教學過程與方法、創新教學手段等方面進行改革創新，以實現提高教學質量和教學效果的目標和期望，培養學生的數學綜合素養，并提升學生創新能力。

一、優化教學內容

近年來，教師在講授基本知識內容的基礎上，不斷優化教學內容安排，對課程講解內容做部分調整和增減，這樣做一方面能夠與中學數學知識較好地銜接，另一方面，能不斷加強與現代應用數學的其他分支的聯系，提高學生的學習興趣而又不加重學生的學習負擔，這是數學分析課程教學實踐的教學經驗總結。

（一）以史為引，了解才能熱愛

在教學過程中結合教學內容穿插講述微積分發展的過程與歷史，講述與教學內容有關的傳奇數學與數學家的故事，體會數學之美［4］。例如由兔子問題得到的斐波那契數列；例如最浪漫的函數——心形線背后的數學家的愛情；體會數學中蘊含的哲學思想，例如無窮多個無窮小之和有可能是無窮大，表明量變產生質變等。數學原本在古代就是哲學的分支，許多偉大的數學家也是哲學家，數學的知識體系與發展過程都蘊含著豐富的哲學思想和科學思維。鼓勵學生課后閱讀數學發展史的書籍，了解是熱愛的前提，能夠使得學生理解克萊因的那句：“學生學習中遇到的困難，也是這些數學家們遇到的困難”，使得學生能夠微笑面對數學的世界，激發對數學學科的學習興趣與熱愛，從容學習本門課程。學完本門課程后，不但學習掌握了理論知識，也能夠了解“數學分析”這門課程簡單發展歷程。

（二）增加中學數學與大學數學的銜接內容

教學內容需要與中學數學內容相銜接，保持連貫性和一致性［5］。中學數學進行了多年的教學改革，教學內容在不斷調整，由于高考對數學教學內容的改革，考察得很少。因此，在中學階段，對逆映射、反函數，參數方法，極坐標與極坐標方程，三角函數公式，反三角函數等知識內容介紹得也比較少，有些甚至沒做介紹。這些知識對于課程學習是不可或缺的，“數學分析”課程內容中卻沒有這部分知識，所以需要增加此部分內容予以介紹。微積分內容中導數的概念、相關性質與計算，定積分的概念與簡單計算等內容在中學階段已經做了介紹，對于分析中的此部分內容可以適當減少授課時間。

高中數學的學習是為了面對高考，在高中數學教學過程中，往往跳過很多數學教學的重要環節，直接告訴他們重要的結果與定理，只要會用于解題即可。因此，在進入大學學習特別是學習數學分析這門課程時，有些內容要進行相應的補充講解。對這些知識內容的掌握是順利理解數學分析相關內容的基礎，在這些內容上花些時間十分必要的。

（三）增加與現代應用數學聯系的相關內容

“數學分析”是數學各專業后繼課程的基礎，在教學過程中根據內容增加一些與數學其他各分支聯系的講解，啟發學生發散性思維，拓展思路，不要局限于目前的知識內容，這樣不但可以緩解理論講解的枯燥，提高學生學習的積極性，還可以更好地學習后繼課程，對數學專業的知識體系化具有一定的了解和把握。比如，介紹函數連續性時，可以介紹函數的連續性是一般映射的連續性的特殊情況，告訴學生在后面學習實變函數、泛函分析、拓撲學等課程時，還會介紹連續性，其思想基本是一致的；在講解兩個重要數列之一的極限時，講解數學家伯努利提出了復利問題：在相同的年利率下，復利計算的越頻繁，收益越好，那么這一切是否有某種上限？這類內容必然會對金融數學專業某些后繼課程的學習有幫助；再比如，在講述函數列時，當它的極限存在時是我們關注的，一旦極限不存在我們就一般不再關心了，其實這個極限不存在時，再來研究其變化，也能發現這個序列復雜的變化，這正是以后在動力系統理論中要討論的混沌系統的范疇。當然在與數學其他內容建立一些聯系時，原則上不增加所講教材內容的難度，以不增加學生學習負擔為前提，點到為止。

二、改革教學方法和教學過程：啟發式教學

數學分析課程由于其講解的知識內容多、理論推理詳細等特點，往往采取“滿堂灌”“填鴨式”的教學方式。這些教學方式有些學生不能適應，教學效果和學習質量不理想，逐漸不符合新時代的教學規律和教學要求，需要創新教學方式方法，更新教學理念。讓課堂“以教師為主”向“以學生為中心”轉變，倡導“以教師的主導、以學生的主體”教學理念，采用啟發式、探究式教學方式方法，充分發揮學生的積極性和主動性，提高課前、課中、課后學習的效果，不斷提高教學效果和教學質量。

啟發式教學運用，能提高學生的興趣和積極性，培養探究問題的習慣和提高能力。在傳統的課堂教學方式下，教師在講臺講授知識，學生在被動接受知識，加上數學知識比較枯燥乏味，整個課堂教學氛圍比較沉悶，同學課堂注意力不容易集中。啟發式教學能夠提高教學和學習的效果。在有條件的情況下，課前請教師預習課堂教授的知識，對于不理解的知識，在課堂上集中聽講認真思考，課下可以和老師、同學進行交流探討。在課堂教學過程中，教師可以設計一些問題，請學生思考并回答。通過設計問題，驅動學生的積極性、主動性，加強師生溝通交流，提高教學和學習的效果。

（一）精講與引導教學結合

由于數學分析知識內容繁多，且具有公理化、邏輯性、抽象性的特點，對于關鍵的知識點，如基本概念、定理、引理、結論、公式及典型例題，進行詳細的推導和講授是十分必要的。但是由于課堂時間有限，教師可以就所要學的內容布置若干問題，引導學生課下自主學習，對知識點進行預習、復習，開展啟發式探究式學習等自學活動等，通過這樣學習方式的訓練，不僅能夠讓他們思考、理解、掌握數學分析的知識內容，而且能夠培養他們的自學能力、思考能力、創新能力，對于以后的學習和繼續深造也是十分必要和重要的。

大學學習和中學課程的學習不同，學生在老師的引導下自主學習，不斷進行思考、探究和總結，不但可以更好地理解掌握基本概念、定理、結論，還可提高自學的能力。比如，學過求導以及積分之后，做一個方法總結性小報告，進行研究性學習；在學過“無限多個開集的并是開集，無窮多個閉集的交仍是閉集”后，課后啟發學生思考“無窮多個開集的交是不是還是開集？無窮多個閉集的是不是還是閉集？如不是請試舉反例”等等［6］。通過一系列啟發式引導教學措施，鍛煉自學能力，以此取得良好的學習效果。

（二）抽象性與直觀性結合

數學是高度抽象的學科，“數學分析”內容是真正需要抽象思維能力的先學課程，抽象思維能力是需要培養的［7］。通過在“數學分析”課程的教授過程中的直觀感受，才能建立經驗、形象化的意識和能力，產生形象思維。在形象思維的基礎上理解抽象概念、模型以及抽象的規律，并在此基礎上上升到創新思維和創新能力。抽象思維能力需要以直觀感受為基礎，在教學過程中對抽象性的概念及定理盡量展現通俗的描述，以直觀的圖形加強直觀感受和抽象的理解。比如一元函數在某點處連續性，可以描述為“曲線在該點處的左右兩邊通過這一點 ‘粘住了”。再比如，函數列在區間上的一致收斂性與收斂性區別一直是學生理解的難點。通常會這樣解釋，如果函數列里的每取一變量當成一個學生，在進行2000米的測試時，收斂性代表每一個學生能跑完2000米即可，不管時間長短（存在N即可）；而一致收斂是能不能找到統一的時間（統一的N對每個同學），比如四分鐘，在四分鐘內所有的學生均跑完2000米，稱函數列是一致收斂的。

（三）一般性與特殊性相結合

數學分析中的知識內容有些具有相同性，具有一般的共性特點，有些具有特殊性?？梢韵戎攸c介紹具有一般性的知識，在此基礎上，對后面具有共性的類似知識，教師可以簡要介紹概念、結論，啟發學生自主完成證明推導應用等。比如函數列、函數項級數、含參量積分的一致收斂及其性質等，可以只詳細介紹其中一個概念以及相關結論、證明推導，后面的概念結論可以簡要介紹，具體的證明推導可以留一部分給學生完成。

對于具有特殊性知識部分，需要有不同程度的側重介紹。數學專業的學生，需要熟練掌握基本知識和運算能力，在此基礎上，逐步掌握理解比較抽象復雜的命題與定理。對于這些特殊的復雜的定理的證明，力求先給予直觀的解釋，讓學生把握知識的本質，在直觀解釋和理解基礎上，給予比較簡潔的證明，讓學生能夠理解并學會運用自主完成證明。比如利用極限的定義證明、實數的連續性和完備性、隱函數定理、一致連續及其性質等，并啟發學生是否可以改變其中的條件、是否可以用其他的方法來完成證明等，讓他們進行探究性學習。

三、完善教學手段

（一）傳統教學與信息技術相結合

“數學分析”課程理論推導多，在教學過程中主要堅持傳統黑板教學為主，多媒體教學為輔。適應新時代的教學要求，不斷加強信息技術在教學中應用。充分利用網絡教學平臺，不斷完善電子教學資源，如電子參考書、課程的課件、習題、練習、測試等。使得學生能夠充分利用信息技術帶來的便利，進一步促進教師的教學和學生的學習，為教學帶來更多的方便［8］。

近兩年教師不斷加強信息技術在教學中應用，完善適合本校數學學院學生與教材的成套教學課件。同時在線上教學期間借助學校提供的教學平臺以及網上其他優質的教學平臺和教學資源，提供更加豐富的電子教學資源，供學生學習和參考。通過網絡教學平臺可以增強線上與學生的互動交流機會，老師和學生可以通過平臺布置課后作業提交完成后的作業和測試，通過平臺增加和老師互動的機會，學生可以有更多機會提問題，促進學生自主學習，以達到良好的線上教學效果。

（二）加強習題課以及課外輔導力度

為提高數學分析課程的教學效果，讓新進年輕老師擔任數學分析課程的助教工作，承擔每周的批改作業、習題課的講解及答疑工作，充實教學隊伍，為以后教學做準備，每周為學生定期安排學生答疑時間。通過加強平時的課程教學管理，實現對課程學習的全過程管理，能夠掌握平時的答疑、作業完成情況、測試情況，大大提高了學生課后學習的效率，有利于發現問題并及時針對性地改進。

（三）改革數學分析的考試方式

加強過程考核，將平時、期中、期末成績綜合進行評定。目前的學習評價考核與成績評定，主要采用平時成績分與期末考試成績綜合評定，期末的考試成績占比較高。對學生學習的過程考核在該方式中體現不足，不能較全面地評價學生的學習情況，不利于促進學生平時學習。知識的掌握在于持續不斷的學習和積累，平時的作業、提問，期中考試、期末考試都是學生學習情況的反應。

改革由各主講教師出卷進行期中期末考試的方式，實施教學與考試分離。此方式有利于考核教師的教學和學生的學習情況，比較公平和公正，有助于科學、有效的教學評價，有助于教風和學風的改變。能夠使學生認識到，考核評定的好壞取決于自己全程學習的努力程度、取決于對所學知識的掌握與理解程度。同時在過程考核中，增加每月小測試以及小報告等環節，促使學生回歸基礎，注重點滴知識的積累。

四、結語

通過多年的教學實踐經驗與摸索，數學分析課程的教學對于培養學生數學思想、抽象思維能力、創新能力以及數學綜合素養，有著非常重要的作用。隨著新時代人才培養和教學改革的需要和要求，不斷更新教學理念、創新教學方式方法、改革教學模式，以提高教學效果、教學質量和人才培養質量。由于數學分析課程的知識體系和教學特點，啟發式教學在數學分析課程的教學過程中發揮著積極的作用，能夠幫助學生理解掌握知識、培養他們的數學能力和素養。但是，教學過程中也面臨著需要改進的問題，如由于教學班人數相對較多，教學難易度與進度都難以兼顧所有同學；每周的習題課與測試由于時間無法統一，導致部分同學無法參加；任課教師之間定期的交流不能保證等等?？傊?，“莫聽穿林打葉聲，何妨吟嘯且徐行”，培養優秀數學人才的道路任重而道遠。

參考文獻：

［1］ 陳紀修，於崇化，金路. 數學分析［M］. 北京：高等教育出版社，2019：1-5.

［2］ 常庚哲，史濟懷. 數學分析教程［M］. 合肥：中國科學技術大學出版社，2012：1-20.

［3］ 蔡天新. 數學簡史［M］. 北京：中信出版社，2017：143-164.

［4］ 段璐靈. 關于數學分析課程融入數學史的思考［J］. 西南師范大學學報（自然科學版），2015，40（06）：162-165.

［5］ 劉素紅. 如何讓數學專業大一新生順利進入《數學分析》的學習［J］. 大學數學，2016，32（03）：93-100.

［6］ 江樵芬，徐起. 數學分析中一類與存在性有關的錯誤解法原因分析［J］. 大學數學，2022，38（01）：93-100.

［7］ 蒲和平. 淺談研討課的選題與學生創新能力的培養［J］. 大學數學，2019，35（01）：36-41.

［8］ 蔡寶來，林強，梁廣，等. 在線教育環境下大學生學習方式轉型研究：問題、趨勢與發展路徑［J］. 黑龍江高教研究，2021（12）：140-144.

（責任編輯：汪旦旦）