均勻磁化磁介質麥氏關系的推演及其等磁場、等磁化熱容量比較

趙世華,梁 平,彭鴻雁,李再金,王映品,蔡揚儀,陳韻琪

(海南師范大學 物理與電子工程學院, 海南 ?？?571158)

0 引言

麥氏關系是將不易計算的或抽象的偏微分進行數學變換的一組方程式,變換之后的偏微分可用易測量或易計算的物理量表示,在內能、焓、自由能、吉布斯函數等特性函數的全微分表達和等壓、等容熱容量的差值研究問題中起到了重要作用[1-2],故麥氏關系在熱力學統計物理中具有重要的研究意義[3]。目前熱力學系統的主要研究對象依然是理想氣體[4-5],故有關理想氣體麥氏關系和其他熱力學性質的研究已較為成熟[6-7]。然而,有關均勻磁化的磁介質麥氏關系研究卻相對較少。謝名春教授[8-9]和路瑩教授[10]分別從磁介質系統4個熱力學函數的2種和4種不同定義方式出發,導出了形式上不完全相同的麥氏關系,其研究方法主要是通過共軛量代換和不同的內能定義來進行的,都沒有從熱力學函數本身的定義式中直接推演出麥氏關系,而且推導過程中并沒有考慮體積是否變化。熱容量是描述一個系統吸、放熱本領的物理量,有關簡單系統的熱容量研究相對成熟[1],但是在磁介質中研究熱容量,尤其是在磁場強度和磁化強度不變時的磁介質熱容量研究卻很少報道,這不利于磁介質系統相關熱力學問題的解決,故有關均勻磁化磁介質系統的熱容量研究是非常必要的[11]。

為此,本論文在推演均勻磁化磁介質系統的麥氏關系基礎上,進一步討論了磁介質在磁場強度H′(加撇以區別焓函數H)、磁化強度M分別不變時的等磁場熱容CH′、等磁化熱容CM的物理含義及其差值的計算。汪志誠[12]在討論上述兩熱容量差值問題時使用了等效代換的方法,這樣固然易于理解,但是很難從物理本質上去闡述清楚。雅可比行列式是一種進行偏導數變換運算的便捷工具,其定義和性質都易于理解,且在熱力學中的應用已較為廣泛[13-14]。故本論文還將采用雅可比行列式的數學方法進行等磁場熱容量CH′與等磁化熱容量CM的差值推演。

1 均勻磁化的磁介質麥氏關系

P、V、T、S、U、H、F、G分別表示研究系統的壓強、體積、溫度、熵、內能、焓、自由能和吉布斯函數,M、m、H′分別表示磁介質的總磁矩、單位體積的磁矩(磁化強度)和磁場強度,其中m=MV。

1.1 不考慮磁介質體積變化

1.1.1 內能U導出麥氏關系

簡單系統的熱力學基本微分方程為:

dU=TdS-PdV。

(1)

若忽略磁介質的體積變化,則均勻磁化磁介質的熱力學基本方程為:

dU=TdS+μ0H′dm,

(2)

于是便可得到代換式(3):

(3)

由式(2)可得到式(4):

(4)

考慮到求二階偏導的次序可以交換,所以易得式(5):

(5)

1.1.2 焓H導出麥氏關系

焓是物質系統的一個狀態函數,用符號H表示。數值上等于系統的內能加上壓強與體積的乘積,即

H=U+PV。

(6)

由式(1)和式(3)可得:

dH=TdS-μ0mdH′ 。

(7)

同理可得:

(8)

1.1.3 自由能F導出麥氏關系

自由能也稱為亥姆霍茲函數,是描述物質系統狀態的熱力學函數之一,用F表示,數值上等于物質系統的內能減去它的絕對溫度與熵的乘積,即

F=U-TS。

(9)

由式(1)和式(3)可得:

dF=-SdT+μ0H′dm。

(10)

同理可得:

(11)

1.1.4 吉布斯函數G導出麥氏關系

吉布斯函數也是描述物質系統狀態的熱力學函數之一,用G表示。吉布斯函數的定義式為

G=U-TS+PV。

(12)

由式(1)和式(3)可得:

dG=-SdT-μ0mdH′。

(13)

同理可得:

(14)

式(5)、(8)、(11)和(14)為磁介質的4種麥氏關系。

1.2 考慮磁介質體積變化

1.2.1 內能U導出麥氏關系

由熱力學基本微分方程

dU=TdS-PdV+μ0H′dm,

(15)

可得:

(16)

(17)

1.2.2 焓H導出麥氏關系

由式(3)、(6)、(7)和(15)可得:

dH=TdS+VdP-μ0mdH′,

(18)

可得:

(19)

(20)

1.2.3 自由能F導出麥氏關系

由式(3)、(9)、(10)和(15)可得:

dF=-SdT-PdV+μ0H′dm,

(21)

可得:

(22)

(23)

1.2.4 吉布斯函數G導出麥氏關系

由式(3)、(12)、(13)和(15)可得:

dG=-SdT+VdP-μ0mdH′ ,

(24)

可得:

(25)

(26)

式(17)、(20)、(23)和(26)為磁介質的另外4種麥氏關系。

2 等磁場熱容量CH′和等磁化熱容量CM

根據簡單系統中有關等壓熱容量CP、等容熱容量CV的定義:

(27)

(28)

可寫出等磁場熱容量CH′和等磁化熱容量CM的定義式:

(29)

(30)

由此可知:等磁場熱容量CH′的物理含義是指在磁場強度H′不變時,磁介質系統每升高1 K的溫度所吸收的熱量,或在磁場強度H′不變時,磁介質系統熵對溫度的偏導數再乘以系統溫度;等磁化熱容量CM的物理含義是指在磁化強度M不變時,磁介質系統每升高1 K的溫度所吸收的熱量,或在磁化強度M不變時,磁介質系統熵對溫度的偏導數再乘以系統溫度。由式(28)還知道:等磁場熱容量CH′是系統溫度T和磁場強度H′的函數,等磁化熱容CM是系統溫度T和磁化強度M的函數。熱容是描述整個系統吸、放熱本領的物理量,與系統物質的量的多少有關系,因此是廣延量,于是有:

CH′=CH′(T,H′)=νCH′,mol(T,H′),

(31)

CM=CM(T,M)=νCM,mol(T,M) 。

(32)

3 有關CH′-CM的討論

3.1 直接證明法

忽略磁介質的體積變化,且將熵S視為溫度T和磁場強度H′的函數,將單位體積的磁矩M(磁化強度)視為溫度T和磁場強度H′的函數,即有:

S=S(T,H′)=S[T,M(T,H′)]。

(33)

等式兩邊對溫度T求導可得:

(34)

兩邊同乘以溫度T:

于是可得到:

(35)

其中磁介質的總磁矩m和磁化強度M滿足:

m=VM,

(36)

故有式(37)成立:

(37)

將式(11)代入式(37)可得:

(38)

根據隱函數中3個變量存在的偏導數學關系可知:

(39)

故式(35)可寫成:

CH′-CM=-

(40)

根據式(33)可得:

CH′-CM=

(41)

3.2 雅可比行列式的定義

雅可比行列式在解決實際的熱力學問題時是一種很有效的數學工具[9-11],其定義如下:設u,v是獨立變量x,y的函數,即

u=u(x,y),v=v(x,y),

則有:

根據以上定義,可推演以下性質:

(42)

3.3 雅可比行列式求解

根據雅可比行列式的性質可得下列等式:

(43)

根據式(11),式(43)可變形為:

CH′=Cm-

(44)

又根據式(36)可得:

CH′-CM=

(45)

4 結論

推演的8種麥氏關系可應用于今后的磁介質領域研究中。在對無法直接實驗測得的磁介質物理量進行偏導數運算的時候,通過麥氏關系將不可測量的偏微分轉變為可知量的偏微分,這便是麥氏關系的精髓所在。在推演等磁場熱容量和等磁化熱容量的差值過程中,采用雅可比行列式能省去較多的具有物理涵義的步驟,可見雅可比行列式在偏微分計算領域的重要性。