離散度量空間的強嵌入 *

李國強，余淑輝

（貴州財經大學 a. 數統學院，b. 大數據統計學院，貴州 貴陽 550025）

0 引言

在文獻［1］中，Gromov 指出度量空間粗嵌入到希爾伯特空間或者一致凸巴拿赫空間可能對研究粗Novikov 猜測具有重要作用。隨后，郁國樑在文獻［2］中證明了能粗嵌入到希爾伯特空間且具有有界幾何的度量空間上的粗Baum-Connes 猜測成立。在文獻［2］中，郁國樑還給出了順從性的更一般的形式——性質A，并證明了性質A 蘊含著粗嵌入。后來，大批學者開始關注性質A 和粗嵌入并開展了廣泛的研究。［3-7］在文獻［8］中，作者證明了性質A 在群擴張下的保持性。和性質A 不一樣，粗嵌入到希爾伯特空間在群擴張是不穩定的。［9］Ji，Ogle 和W.Ramsey 在文獻［10］中介紹了度量空間的強嵌入，并證明了強嵌入在群擴張下具有保持性。

強嵌入也是一種粗幾何不變量，它強于粗嵌入又弱于性質A。夏軍等人在文獻［11］中研究了強嵌入的各種保持性問題和在有限分解復雜度下的不變性；在文獻［12］中，作者又討論了強嵌入在群作用下的遺傳性。

本文將進一步研究度量空間強嵌入的性質，具體來說研究了強嵌入的纖維保持性質和在度量空間的直積下的封閉性。

1 準備知識

在本文中，我們假設所有的度量空間是一致離散的且具有有界幾何［2］，這類空間包含許多有趣的例子，比如：有限生成群。設B是一個巴拿赫空間，為了書寫方便，我們記

對任意R，ε＞0，稱映射ξ：X→B具有(R，ε)-變差，如果對任意x，y∈X，我們有

定義1［10］設X為度量空間，稱X是可強嵌入的當且僅當對任意R，ε＞0，存在希爾伯特值映射β：X→(l2(X))1滿足：

（1）β具有(R，ε) -變差；

對一族度量空間來說，我們還經常用到在某種一致控制意義下的強嵌入。

定義2［10］設(Xi)i∈I是一族度量空間，如果對任意R，ε＞0，存在一族希爾伯特值映射βi：Xi→(l2(Xi))1滿足：

（1） 對每個i∈I，βi都具有(R，ε) -變差；

則稱(Xi)i∈I是等度可強嵌入的。

設X是一個集合，φi：X→[ 0，1 ] 是X上的一族連續函數，且滿足對任意，則我們稱{φi}i∈I為X上的一個單位分解。假設U={Ui}i∈I是X的一個覆蓋，X上的單位分解{φi}i∈I滿足對任意i∈I，suppφi?Ui，則我們稱{φi}i∈I為從屬于覆蓋U的單位分解。

定理1［12］設X為度量空間，如果對任意R，ε＞0，存在X上的單位分解{φi}i∈I滿足：

（1） 對任意x，y∈X，若d(x，y)≤R，則

（2） {φi}i∈I從屬于X的等度可強嵌入覆蓋U={Ui}i∈I。

則X是可強嵌入的。

設U={Ui}i∈I是度量空間X的一個覆蓋。對任意x∈X，如果x至多包含在U的k個元素中，則稱k為覆蓋U的重數。設R＞0，對X中任意一個以R為半徑的球B(R)，如果B(R)至多與U中的n個元素相交，則稱n為覆蓋U的R-重數。設L＞0，如果X中任意一個半徑不超過L的球都能包含在覆蓋U的某個元素中，則稱覆蓋U的勒貝格數為L。如果對任意U，V∈U，U≠V，我們有d(U，V)＞L，則稱覆蓋U是L-分離的。設k≥0，L＞0，如果存在覆蓋U的一個劃分U=U0∪U1∪???∪Uk且每個Ui，i= 0，1，???，k，是L-分離的，則稱覆蓋U是(k，L)-分離的。

注意到，如果X的覆蓋U是(k，2L) -分離的，則U的L-重數≤k+ 1。令

若X的覆蓋U的L-重數≤k+ 1，則覆蓋UL的重數≤k+ 1，勒貝格數為L。

我們將用到下面重要的結果。

引理1［13］設X為度量空間，U={Ui}i∈I是X上重數為k，勒貝格數為L的覆蓋，則存在從屬于覆蓋U的單位分解{φi}i∈I使得對任意x，y∈X，有

2 纖維保持性

在這一部分，我們來證明強嵌入的一個非常重要的性質叫作纖維保持性。和強嵌入的其他性質相比，纖維保持性更加微妙。

定理2設X和Y是兩個度量空間，f：X→Y是一個擴張映射，Y具有性質A。如果對Y的任意覆蓋{Ui}i∈I，X的子空間族{f-1(Ui) }i∈I是等度可強嵌入的，則X是可強嵌入的。

證明：我們先給出R，ε＞0。

由于映射f：X→Y是擴張的，則存在S＞0 使得當x，x′ ∈X，d(x，x′)≤R時，我們有

因為Y具有性質A，由性質A 的一個等價定義［14］知，存在Y的一個一致有界的覆蓋U={Ui}i∈I，{φi}i∈I是從屬于覆蓋U的單位分解且滿足

其中y，y′ ∈X，d(y，y′)≤S。

對每個i∈I，我們定義φi=φi°f。顯然，{φi}i∈I是X上從屬于覆蓋{f-1(Ui) }i∈I的單位分解。當x，x′ ∈X，d(x，x′)≤R時，d(f(x)，f(x′))≤S，所以

由定理1 知，X是可強嵌入的。證畢。

推論1設X和Y是兩個度量空間，f：X→Y是李普希茨映射。群G分別等距作用在X和Y上，且在Y上的作用是傳的（transitive），f是G不變的。假設Y具有性質A，如果存在y0∈Y使得對每個n∈Ν，逆像f-1(B(y0，n))是可強嵌入的，則X是可強嵌入的。

證明：因為Y具有性質A，則存在Y的一個一致有界的覆蓋U={Ui}i∈I。

注意到G在Y上的作用是等距和傳遞的，則存在n∈Ν 和gi∈G使得對任意i∈I，我們有giUi?B(y0，n)。

注意到

則子空間族{f-1(Ui) }i∈I等距于f-1(B(y0，n))的一族子空間。

由于f-1(B(y0，n))是可強嵌入的，則{f-1(Ui) }i∈I是等度可強嵌入的。由定理2 知，該推論成立。證畢。

有限漸近維蘊含著性質A，自然有限漸近維也蘊含著強嵌入。下面我們給出這個結論的一個自然的推廣。

定理3設X是一個度量空間。如果對任意σ＞0，存在X的一個(k，L)-可分離覆蓋U，且滿足k2+ 1 ≤Lσ，U是等度強嵌入的，則X是可強嵌入的。

證明：對任意R，ε＞0。假設σ＞0 滿足

則對任意整數k≥0，我們有

由命題中的條件，我們得到：存在X的一個(k，2L)-可分離覆蓋U使得U是等度可強嵌入的，且

注意到覆蓋UL的重數≤k+ 1，勒貝格數為L。

由于UL與U是粗等價的，所以UL是等度可強嵌入的。

由引理1 知，存在從屬于覆蓋UL的單位分解{φU(L)}U(L)∈UL使得對任意x，y∈X，有

特別地，如果d(x，y)≤R，則有

由定理1 知，X是可強嵌入的。證畢。

3 直接極限

在這一部分，我們將證明對于度量空間，強嵌入在直接極限下是封閉的。這個結果不同于文獻［11］中的定理4.3。

首先，我們有下面的事實。

引理2設{Xi}i∈I是一族等度可強嵌入的度量空間，如果Yi是Xi的子空間，則子空間族{Yi}i∈I也是等度可強嵌入的。

證明：對每個i∈I，設di是Xi上的度量。

定義映射pi：Xi→Yi為

對任意R，ε＞0，由等度強嵌入的定義知，存在一族映射βi：Xi→(l2(Xi))1。

滿足：

（1） 對每個i∈I，βi都具有(R，ε) -變差；

則對每個i∈I，我們定義等距映射αi：l2(Xi) →l2(Yi×Xi)為

其中ζ∈l2(Xi)。

定義映射ξi：l2(Yi) →l2(Yi×Xi)為ξiy(t，s)=αi(βiy)(t，s)其中t∈Yi，s∈Xi。

注意到，對任意y∈Yi，

注意到，對任意y∈Yi，有

則對任意y，y′ ∈Yi，di(y，y′)≤R，有

所以，映射ηi具有(R，ε) -變差。

另外，

因此，{Yi}i∈I是等度可強嵌入的。證畢。

引理3設c＞0，{Xi}i∈I是一族度量空間，對每個i∈I，Yi是Xi中的c-網。如果{Yi}i∈I是等度可強嵌入的，則{Xi}i∈I也是等度可強嵌入的。

證明：這個命題的證明過程和文獻［11］中引理5.2 類似，所以我們不再詳細闡述。證畢。

定理4設X1?X2?X3????是一列有界度量空間，令X=∪n=1∞Xn，X的任何有界子集都包含在某個Xn中。如果是等度可強嵌入的，則X是可強嵌入的。

證明：令L＞0。由于每個Xn是有界的，則對任意度量空間Xnk，總能找到Xnk+1使得

這樣，我們可得到{Xn}的一個子序列{Xnk}滿足

對每個k≥1，令

那么，我們就得到X的一個覆蓋的重數至多是2，勒貝格數至少是L。

由于Xnk+1/Xnk是Xnk的子空間，序列{Xnk} 是等度可強嵌入的，由引理2 知，{Xnk+1/Xnk} 也是等度可強嵌入的。注意到，對任意k≥1，Xnk+1/Xnk是Uk中的L-網，由引理3 知，是等度可強嵌入的。對任意R，ε＞0，由引理1 知，存在從屬于覆蓋U的單位分解{φi}i∈Ν使得對任意x，y∈X，有

我們可以使得L充分大，不妨假設則當d(x，y)≤R時，我們有

由定理1 知，X是可強嵌入的。證畢。