群作用的測度可擴性

金秋實,董美花

(延邊大學理學院,吉林 延吉 133002)

1 引言與基本概念

Utz[1]在二十世紀中期引入了可擴同胚的概念:如果存在常數ε>0,使得對于所有的x∈X,n∈,都有成立,則稱緊致度量空間上的同胚f:X→X是可擴的,其中

M*(X)={μ∈M(X)|μ是非原子的}

定義1.2設N∈,如果存在c>0,使得對于所有的x∈X,都有中不超過N個元素,則稱T∈Act(G,X)是N-可擴的。如果存在c>0,使得對于所有的x∈X,都有是可數的,則稱T∈Act(G,X)是可數可擴的。

2 群作用的N-可擴測度和擴大測度

定理2.1對于所有的T∈Act(G,X),下面的陳述是等價的:

1)T是可數可擴的;

2)T是測度可擴的。

得出矛盾,故T∈Act(G,X)是可數可擴當且僅當其是測度可擴。

注2.2測度可擴與度量的選取無關,即假設T∈Act(G,X)在度量d2下是測度可擴的,蘊含著T在度量d1下仍是測度可擴的,其中d1和d2等價。

本文并不要求這個定義中的測度是不變的和非原子的。

定理2.4緊致度量空間上的連續作用是N-可擴當且僅當每一個Borel概率測度是N-可擴。

其中mx表示在x上支持的Dirac測度。事實上,

2)如果Bn∈β(X),n>0,對任意的i≠j,有Bi∩Bj≠?成立,則得到

關于一個給定測度的N-可擴常數,有一個簡單的備注。

注2.5如果c是Borel概率測度的N-可擴常數,則對于每一個0

定理2.6設T是一個度量空間X上的連續作用,N∈+。如果μ1,…,μn是X上的Borel測度且t1,…,tn>0,t1+…+tn=1,則有

成立。由此可見

即

推論2.7設T是一個度量空間X上的連續作用,則Borel測度μ1,…,μn的有限凸組合是1-可擴的當且僅當對于任意的i=1,…,n,μi是1-可擴的。

引理2.9設T是一個度量空間X上的連續作用,x∈X,則mx是1-可擴的當且僅當x是可擴點。

(1)

成立?，F假設mx是1-可擴的,可擴常數為c,則對任意的y∈X,都有

由此可知

{y∈X:mx({y})≠0}={x}

引理2.9和推論2.7可以得到以下推論:

推論2.10設T是一個度量空間X上的連續作用,則Dirac測度的有限凸組合是1-可擴的當且僅當它是在可擴點上被支持的。

定理2.13連續作用T∈Act(G,X)是測度擴大的當且僅當它是幾何可擴的。

證明假設T∈Act(G,X)是測度擴大的,但是不是幾何可擴的。于是對于每一個n∈,都存在xn∈X使得取一個點定義測度μ∈M(X)為

設c>0為T的測度擴大常數,并選擇n∈,且由于

得出矛盾,故T∈Act(G,X)是幾何可擴的,反之顯然成立。