新課程理念視角下數學課堂板書的功用①

程 華

(咸陽師范學院數學與統計學院 712000)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《2022年版課標》)的頒布，深刻影響了中小學教師教學觀念與教學方式.《2022年版課標》課程理念中提出要“促進信息技術與數學課程融合”[1]，“教學建議”中再次強調要“注重信息技術與數學教學的融合”[2].當前，多媒體等信息技術在數學課堂的運用已經極為普遍，課堂教學信息的呈現方式也日趨多元化.一些教師對傳統的課堂板書重要性的認識日漸淡化，而有些教師又格外看重用板書呈現完整的教學內容，將板書視為“微型教案”.在強調信息技術與數學教學融合的當下，數學課堂板書的價值何在？《2022年版課標》又賦予課堂板書哪些新的意義？從新課程理念的視角我們需要重新思考，數學課堂板書應該具有怎樣的功用？數學板書需要側重哪些內容？又有哪些要求？以下對此思考以期對一線教師貫徹落實新課標能有所啟發.

1 《2022年版課標》課程理念的變化對數學教師教學觀念的啟示

《2022年版課標》以數學學科育人和發展核心素養為統領，提煉出確立核心素養導向的課程目標、設計體現結構化特征的課程內容等五個全新的課程理念[3](文中“新課程理念”是指《2022年版課標》的課程理念)，新課程理念的這些變化需要教師教學觀念的更新.

1.1 “以生為本”的理念始終如一，“核心素養為本”是以“生本理念”為基礎的新發展

從2011年初中課標到《2022年版課標》，“以生為本”的理念始終如一.《2022年版課標》課程理念中新增了“逐步形成適應終身發展需要的核心素養”，“核心素養”一詞在“課程理念”部分出現多達8次[4]，反映出教師教學必須以“生本理念”為基礎，從追求知識到追求核心素養.新課標中將數學核心素養提煉為“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”的“三會”，明確指出數學對學生發展獨特的價值.在對“會用數學的思維思考現實世界”的表述中，還特別增加了“質疑問難的批判性思維”[5]，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神.新課程理念表明：“以生為本”、培育學生的核心素養、教學生學會思考是教師必須具備的教學觀.

1.2 “課程內容結構化”理念強調了學習內容的整體性，要將學習內容結構化整合

“課程內容結構化”是新課標理念的重要變化之一，要求學習內容的整體性、反映學科本質的一致性、表現學生學習的階段性.這反映出新課標對教師數學內容理解深度的要求大幅度提高，培養學生的核心素養要有階段性、層次性和連續性.因此，“結構化”的教學觀對教師至關重要，新課標倡導的“單元整體教學”等內容就是在著力體現這一要求.教學內容的組織要結構化，而是否有助于學生將學習內容結構化，將是教師選擇教法的重要依據之一.

1.3 教學過程更加關注學生學習的主體性，重視“過程的教育”

《2022年版課標》課程理念在“實施促進學生發展的教學活動”部分，首次將“學生的學習”置于“教學活動”之前[6]，將學生的主體性置于更加顯著的地位.指出“學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式”.這里2011年版初中課標中的“積極思考”被改為“獨立思考”[7]，是要突顯個體的主動性對核心素養形成的價值，培養“創新性”的學習應該是“主動”“獨立”的.

新課程理念中多處出現了“過程”一詞.比如，“核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的”“重視數學結果的形成過程”“學生的學習應是一個主動的過程”，等等.可見，核心素養目標取代三維目標之后，雖然教學目標不再使用“過程與方法”，但其實質已經融入了新課程理念，即《2022年版課標》仍然重視“過程的教育”.

調研發現，教師對“過程”的理解是否全面會直接影響其教學目標的定位以及達成.新課標中教學中的“過程”實際蘊含著兩個方面.一是從教師教的角度，教學要有“過程”，即教師要能清晰展現知識的來龍去脈.二是從學生學的角度，“過程”應指學生不僅要經歷知識產生的過程，還必須要有自己獨立的和自主的認識過程.而從學生學的角度落實“過程”是一些教師薄弱的地方.

1.4 評價目的是為了激勵學生學習和改進教學，要增強學生的自我監控

《2022年版課標》的課程理念延續了評價不僅要關注學生數學學習的結果，還要關注學生數學學習的過程，激勵學生學習，改進教師教學.新理念更加強調評價主體的多元化和評價方式的多樣性，尤其是新增了“學生自我監控”.從評價的角度再次體現要從學生的學落實“過程”，這為教師選擇教法與學法提供了又一依據.

1.5 信息技術與數學課程的融合要合理，要提高學生的信息素養

新課程理念中對現代信息技術運用的要求是“合理”，對“合理”的場景解釋是“豐富的學習資源”“生動的教學活動”等.即要用創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究欲，開闊學生的視野，激發想象力，提高學生的信息素養.新課程理念突出了“促進數學教學方式方法的變革”“學生的信息素養”等新要求，對教師信息技術的要求顯著提高.

2 新課程理念視角下數學課堂板書的功用

數學課堂板書作為課堂教學信息的呈現方式之一，教師教學觀念的更新下，數學板書的功用也要隨之而變化.以下我們對此思考.

2.1 借助數學板書落實核心素養培育，發揮數學學科的育人功能

在核心素養導向的教學觀下，一線教師設定教學目標都會明確本單元、課時所涉及的核心素養，其困難在于具體落實.在課堂教學中數學板書按其主體，一般分為教師板書、學生板書和師生板書三類，數學板書的合理運用對素養為本的落實具有特別的優勢.

比如“平方差公式”的教學.教師先用PPT課件出示情境1：“灰太狼要把邊長x(x>7)的正方形土地一邊增加7米，另一邊減少7米，租金不變，喜羊羊是否會吃虧”，促使學生從數學的角度提煉出問題：“判斷S前=x2與S后=(x+7)×(x-7)的大小，有沒有更簡潔的方法”.課件出示情境2：“10001×9999是否能夠快速地算出？”，用對簡潔美的追求激發學生的探究欲.接著，PPT課件出示一組多項式乘法運算：

(x+1)×(x-1)；(m+2)×(m-2)；

(2x+1)×(2x-1)，

在師生板書互動下共同計算并修正了板書：

(x+1)×(x-1)=x2-12；

(m+2)×(m-2)=m2-22；

(2x+1)×(2x-1)=(2x)2-12.

由學生去發現并形成猜想，口述出共性，教師板書：“從特殊到一般”“兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差”.在“數學語言都有哪些形式”的啟發下，學生指出“文字、符號、圖象”后板書，由學生嘗試符號化表達，師生互動下板書：

(a+b)×(a-b)=a2-b2.

“可以有哪些語義解釋”的提示語下，學生自己構造圖形進而證明.學生不同的表征方式下獲得了不同的證法.學生板演、練習，師生評判、梳理證明過程，PPT展示證明，再由學生為公式命名，教師板書“平方差公式”的課題.這時，PPT課件再次出示引入時的情境，學生解決，首尾呼應. 在師生互動下板書對(a+b)×(a-b)=a2-b2中a，b的認識.PPT出示變式問題，學生練習、板演鞏固.師生回顧板書、回放PPT中，共同歸納板書本節課的核心內容，最后再出示PPT小結.從這一常態課可見，數學板書的輔助常有以下一些功效.

其一，數學板書的概括與直觀可以發展學生的數學抽象、直觀想象等素養，尤其是學習數學的思維與表達.學生不僅接受教學信息，還對信息反饋，板書能展現學生的思維活動、知識掌握情況及其過程，教師借助板書生成教學資源，聚焦素養教學.

其二，數學板書能夠協調學生獨立思考與合作學習的關系，培養一般素養.板書在師生問答中推進，記錄、展示和檢驗思考的結果.學生板書后的互評，對同伴的欣賞與質疑、合作與溝通，能增強思維的批判性，培養合作、交流、質疑等一般性素養.

其三，板書可以發揮數學的美育功能.相比于PPT課件等方式，板書更能呈現數學的內在美，比如，定理公式的推導、簡明的分析、條理清晰的論證等.設計良好的數學板書也是書法、布局藝術和數學美的綜合體.扼要的簡潔美、層次清晰的條理美、形式變化的藝術美等[8].板書繪制圖形，比如圓錐曲線、函數圖象等，會有數學獨特的美育效果.而教師板書時所展現的嚴謹、專注與敬業，傳遞出數學學科的工匠精神.

案例1“長方體和正方體的認識”的板書

圖1中黃愛華老師設計的板書將表格形式變化為立方體，板書使學生感受到從“面”到“體”的過渡、數學的分類思考、長方體的畫法以及圖形的美感.還給學生的思考創設了直觀背景，學生能夠參與板書的書寫.藝術性與啟發性的板書簡化了教學，淋漓盡致地展現出數學育人的多樣化.

圖1 立方體式示意圖(摘自：陸春燕.板書，變冷的數學為熱的思考[J].新課程導學，2017(09)：25)

2.2 通過數學板書互動下的概括歸納促進學生知識結構化，形成系統化思維

數學板書往往需要在師生互動下，對課堂教學中的口頭語言、信息資源、教材內容等高度概括后書寫.所以板書能夠使學生學習概括、歸納與知識結構化，培養抽象概括能力，形成系統化思維.

案例2“二次函數的圖象”(第1課時)部分板書

“二次函數的圖象”第一課時主要研究的是二次函數y=ax2的圖象與性質，這里通過師生的板書互動，既復習了一次函數、二次函數的定義、特殊形式等舊知，又梳理了函數的研究方法.將問題特殊化，類比一次函數獲得要從最簡單的二次函數y=ax2開始研究的想法(見圖2)，產生了對a分類研究y=ax2圖象與性質的思路.板書的書寫中滲透了特殊化、分類、函數思想，概括歸納中使學生感受到知識的整體性.

具有持續性與駐留性的板書可以為學生自主總結提供信息源.引入與小結環節原本是促進學生知識結構化的基本渠道，然而一些教師為節省時間將預先制好的PPT課件小結，和盤端出地講解，致使學生并未真正參與知識的結構化.利用板書的駐留，引導學生觀察板書各部分的聯系，用線條或符號連接，緊扣板書內容，回看PPT課件，并給學生介紹概括歸納的方法.比如，概括歸納的角度，既有從知識內容、思想與方法、學科核心素養、重點與難點等方面，還有從探究的經驗、學習的體會與收獲，等等.借助板書指導學生概括總結，建構起知識的邏輯關系，PPT課件總結可以留作對比與強化.

2.3 利用板書的直觀性使思維可視化，引導學生深入思考與理解

板書的直觀性對提高學生的形象思維能力、空間想象能力以及幾何直觀等素養都很有益.而板書的直觀又與PPT課件等手段的直觀有著顯著的區別.板書的直觀是在互動中呈現的，能駐留也相對持久，其過程性使它能夠將隱匿的思維可視化，降低抽象數學內容的認知難度，從而更好地引導學生思考與理解.

比如，對函數的本質是對應的理解是學生的難點.教師不必直說“通常我們把y是x的函數表示為y=f(x)”，而是先說“f代表自變量和因變量之間的對應關系，對于定義域內的任意x(在黑板上先寫下‘x’)，通過對應關系f(這時寫出‘()’，把x用括號括在內，再寫出f)，對應出唯一的一個y(在剛才式子左邊寫下‘y=’)”，這樣學生能“看見”“y=f(x)是對于定義域內的任意x施加了運算f”，就容易理解“函數的本質是對應”[9].

案例3“四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系”板書

圖3中將四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形用“關系結構圖”呈現，使繁多抽象的關系可視化，降低了學生的學習難度.這些不同類型四邊形之間的關系，可以讓學生小組合作探討填寫，教師只是啟發引導.教師可以設計圖3類型的思維導圖，由學生探索將板書補充完整，發揮出學生的自主性.

圖3 四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系

對有些可以動態操作、數形結合、定義復雜的學習內容，尤其在“圖形與幾何”板塊，有時可以采用粘貼式板書.用磁性的操作板、幾何圖形、動植物圖形以及景觀圖形等呈現，將思維可視化.粘貼圖形的直觀降低問題的抽象度，學生在操作中感悟知識，也培養了空間觀念以及數形結合的能力.

2.4 結合板書的生成過程提供思維的示范，呈現教學的核心內容

在課堂信息呈現方式多元化的今天，板書不必非要是完整的“微型教案”.但是板書應該包括新概念、新公式、知識結構、數學核心素養、數學思想方法、重點與注意點，以及研究的思路、方法等這些核心內容.板書的一大優勢是它可以充當師生思維互動的媒介，師生在對話互動下思維優化、修正和調整都可以“定格”在黑板上，這個過程為思維提供了示范.

案例4若實數a，b，c滿足

2a+2b=2a+b，

①

2a+2b+2c=2a+b+c，

②

求c的最大值.

問題(1)條件是什么？一共有幾個？其數學含義如何？(答：條件是兩個等式，等式①含a，b，等式②含a，b，c)

板書2a+2b=2a+b，

①

2a+2b+2c=2a+b+c.

②

問題(2)結論是什么？一共有幾個？其數學含義如何？(答：結論是求c的最大值，它可以是c的不等式，或是函數的最值)

(3)條件和結論有哪些數學聯系，是一種什么樣的結構？(答：理解條件和結論，我們的腦子呈現這樣的數學結構：等式②提供關于c的函數，再借助條件①，求出c的最大值)

問題(4)解決的方法是什么？(答：解題方向是：化歸為函數求最值．解題方法是：求出函數的表達式和定義域，然后，用不等式法或求導法求最值．)

(5)下面該怎樣書寫？(答：從定義域開始，建立函數，求最值．師生互動下教師板書)

板書(定方法、找起點、分層次、選定理、用文字)(詳解略).

(本案例題目由陜西師范大學羅增儒教授提供)

從案例4可見，板書成為師生互動溝通條件與結論的載體，可以示范問題分析與求解的全過程，使學生體會到數學思維的邏輯與嚴謹.

數學板書呈現的課堂教學的核心內容，一般應該有以下方面.其一，新學習的概念、定理、公式中數學特有的名稱、概念定義、符號、作圖等.有了課件還要再板書是由于學生隨時可看可用，能夠反復理解與記憶.一些基本圖形和圖象的示范板書也要重視，諸如球內接和外切幾何體問題的困難，就與學生畫不出圖形無法思考有關.其二，新知探索的過程、縱橫對比的內容等.教師引導學生交流、辨析以及PPT課件中的要點，需要用板書提煉出核心素養、學科思想等加以強調，這也是學生思考與小結的信息源.數學板書捕捉與“定格”的功能，使板書具有滲透、示范和傳遞數學學科思想、研究方法的優勢.比如，案例2中的板書就向學生示范了研究函數的基本思路.學生掌握了研究一個數學對象的路徑，面對新的學習對象時就能調用這些“數學活動經驗”自主學習.該案例還示范了數學板書應有的特殊的邏輯美感.清晰的層次，相同層次的內容排列整齊，各層次標號一致，各層次間通過符號形成一個整體，等等.板書在有序的呈現中，體現出教師有邏輯的教學思路，這對學生的“學習思路”影響深遠.其三，重點、難點以及注意點要運用彩色粉筆突出，用一些特殊符號、線條體現知識點之間的關聯.典型例題的演算和推證、定理的證明等也要板書，為學生作業提供思維和格式上的示范.

3 新課程理念下數學課堂板書的建議

對新課標理念下的數學課堂板書我們提出幾點建議.第一，板書的主體要多元化，要凸顯學生的主體性.應以師生合作型板書為主，通過板書的互動促進學生自主建構.比如，“二元一次方程的解”，學生易于忽視ax2+bx+c=0中a≠0，讓學生先試錯后標注.第二，板書的內容要指向學生的思維參與.板書不只是摘出關鍵，而是要促使學生思考的.要關注學生是否有獨立的思考，你是否發現、捕捉并呈現了.無論板書如何創新、精致，如果學生只是觀看而未深入參與板書的生成就是不成功的.板書中學生要有情感、行為的參與，更重要的還是思維的參與.第三，板書與信息技術的融合要充分發揮各自的優勢.信息技術與數學教學深度融合，并非是課件精美、動畫高級、視頻炫目這些形式，而是哪種方式更有助于學生學習理解和教學目標達成，要首選更便捷、實效的方式.

新課標理念下的數學課堂板書，應該是師生思維互動的載體，分享教與學信息的平臺，突出重點、破解難點的得力工具.數學板書需要教師對課堂口頭語言、教學資源等快速捕捉、選擇和概括性書寫，這需要教師能對教學內容的邏輯關系，對學生認知發展的邏輯與數學知識的發生、發展邏輯的關系，都有深刻的認識.因此，數學教師的板書能力絕非僅僅是技能，需要教師夯實數學學科基礎，提升自身的抽象概括能力等數學思維能力.