圓柱與圓錐鑲嵌中側面交線的軌跡問題①

侯寶坤

(上海市向明中學 200020)

1 問題的發現與提出

在生產生活中，我們經常遇到如圖1所示的機械設備，它是一個幾何結合體.其制作關鍵是兩個幾何體在對方側面上留下的軌跡是什么. 這是一個高中階段鮮有涉及的數學建模問題.本文將對圓柱與圓錐鑲嵌問題做一些研究，揭示這類機械設備的制作原理，同時發現一些有趣的曲線.當圓錐與圓柱的底面相互垂直時稱為垂直鑲嵌，當圓錐與圓柱的底面相互平行時稱為平行鑲嵌.

2 問題的探索與解決

圖1是一個圓錐垂直鑲嵌在圓柱上，在側面形成對稱的兩段交線.圖2是它的立體原理圖，其中A為交線的最高點，B為最低點，G為線段AB的中點；過交線上任一點C作平行于圓柱底面的截面，其圓心為O，與交線的另一交點為E，交圓柱母線AB于H；過C、E作平行于圓錐底面的截面，圓心為O1，交圓錐母線SA于F；OH、CE、O1F相交于D.設AB=2l0，SA=ρ0，SG=h0，圓錐母線與底面所成角為θ0，OH=R，O1C=r，CE=2CD=2l，∠COD=α，∠CO1D=β.

圖2 機械原理圖

圖3 y2=a+bcos cx的典型

2.1 交線在圓柱側面上的軌跡

將圓柱側面由母線AB向兩側展開成平面圖形，再以直線AB為y軸，線段AB的中垂線為x軸，建立直角坐標系，根據對稱性，我們只推證C滿足x≥0的情形：

故y2=O1D2=O1C2-CD2=r2-R2sin2α

結論1交線在圓柱側面的軌跡方程為

是一個與三角函數相關的對稱曲線.

于是，我們可以構造一般曲線y2=a+bcoscx，(abc≠0)，并畫出它們的圖象.

2.2 交線在圓錐側面上的軌跡

以S為原點，SA為極軸建立極坐標系.SC為極徑ρ，側面展開圖的圓心角∠ASC為極角θ.

所以，極坐標方程為

結論2在圓錐側面的極坐標方程為

特別地，當h0=R時，得到化簡的極坐標方程：

于是，可以構造更一般的極坐標方程：

由于a，b變化時圖象的形狀大致相同，下面畫出a=b=1，k在變化的一些圖象(如圖4)供大家欣賞：

2.3 溯源尋根

一般地，曲線ρ=coskθ(**)稱為玫瑰線，具有如下性質：

(1)m，n都為奇數，曲線關于極軸對稱，不關于極垂線對稱；周期為mπ.

(2)若m，n一奇一偶數，曲線關于極軸對稱，也關于極垂線對稱；周期為2mπ.

證明因為(ρ，θ)適合方程(**)，(ρ，-θ)也適合方程(**)，故圖象關于極軸對稱.

圖象關于極垂線對稱的充要條件是：對任意適合方程(**)的(ρ，θ)，存在整數k，使得(ρ，2kπ+π-θ)或(-ρ，2kπ-θ)也適合方程(**).

所以必須有2tm=n(2k+1)或(2t+1)m=2kn.

(1)若m，n都為奇數，顯然兩式都不可能成立.

周期性證明如下：

所以，曲線的周期為mπ.

而θ=θ0+2mπ，代入顯然重合.所以，曲線的周期為2mπ，不是mπ.

同理，若n為偶數，m為奇數，亦如此. 證畢.

同理可證如下：

(1)若m，n都為奇數，曲線關于極軸對稱，不關于極垂線對稱；周期為mπ.

(2)若m，n一奇一偶數，曲線關于極軸對稱，也關于極垂線對稱；周期為2mπ.

圖5 半周期與全周期圖

3 問題的拓展延伸

當原問題得到較圓滿的解決后，通常會類比提出相似的實際問題或純理論的數學問題，來驗證原研究的思路和結論，盡量擴大問題所蘊藏的思維價值.

3.1 圓柱垂直鑲嵌在圓錐上

如圖6，A為交線的最高點，B為最低點，過交線的任一點G作平行于圓錐底面的平面，截圓錐為圓O1，截圓柱為矩形EFHG，EF的中點為D.設SO1=h0+d，CD=d，OE=r0，O1G=r，∠GO1D=α，∠COE=β，圓錐母線與其底面所成角為θ0.

圖6 圓柱鑲嵌在圓錐側面示意圖

3.1.1 交線在圓柱側面上的軌跡

將圓柱側面由母線AC向兩側展開成平面圖形，以直線AC為y軸，以過AC與ST交點的圓柱底面展開線為x軸，設G(x，y)，則有x=βr0，根據對稱，只研究0≤β≤π部分.

結論5在圓柱側面軌跡方程為

即(h0+r0-r0cosβ)cotθ0≥r0sinβ(***)對β∈[0，π]恒成立.

化簡，有(h0+r0)cosθ0≥r0cos (β-θ0)，

圖7 在圓柱側面上的幾個軌跡圖象

3.1.2 交線在圓錐側面上的軌跡

以SA所在直線為極軸，向兩側展開圓錐，展開圖的圓心角∠ASG=θ，SG=ρ.

=(2r0-ρsinθ0+h0)(ρsinθ0-h0)，

結論6交線在圓錐側面上的極坐標方程為

(2r0-ρsinθ0+h0)(ρsinθ0-h0)

所以，極角θ范圍為

圖8 在圓錐側面上的幾個軌跡圖象

特別地，當h0=0時，

取不同的r0，k，畫出圖象(如圖9)供大家欣賞：

圖9

如果對周期比較大的曲線畫出不同區間的圖象(如圖10)，我們還會發現曲線都有以最短極徑為半徑的內切圓和以最長極徑為半徑的外切圓.

圖10

3.2 圓柱與圓錐平行鑲嵌

如圖11，圓柱和圓錐平行鑲嵌，交線的最高點為A，最低點為E，圓錐底面圓心為D，圓柱底面圓心為O，P為交線上任一點，PT垂直底面于T.設圓柱的底面半徑為r，∠EOT=β，圓錐的底面半徑為R，∠EDQ=α，SD=h0，SE=ρ0，AC=l0.

3.2.1 交線在圓柱側面上的軌跡

結論7圓柱與圓錐平行鑲嵌時，交線在圓柱側面的軌跡方程為

3.2.2 交線在圓錐側面上的軌跡

又r2=DT2+(R-r)2-2DT(R-r)cosα，再利用(*)化簡得：

結論8圓柱與圓錐平行鑲嵌時，交線在圓錐側面的軌跡方程為

圓柱與圓錐平行鑲嵌時，圖象比較簡單，這里不再畫出.

4 探究啟示

許多數學問題來源于現實生活，數學研究的初步設想往往是生活需求激發的，本文就是由生活中的發現而引起的數學探究.但數學又應當高于生活，生活給了研究的靈感，研究不應局限于生活中最原始的例子，應當做適當的類比、挖掘，作更一般的推廣拓展，實現“由例到類”的思維跨越.后兩種情形探索既體現了研究過程對理論的自覺追求，又凸顯了理論對研究過程的引導與統率功能，從而提高了問題的思想深度，提升了研究的思維層次和理性價值.

通過上述探究過程發現，圓錐與圓柱鑲嵌時側面交線的軌跡與三角函數有緊密關聯，交線在圓柱側面上的軌跡圖形相對簡單，在圓錐側面上的軌跡圖形形式多樣，注意靈活選用坐標形式，降低解題難度.在圓錐側面的軌跡變化多端、賞心悅目，所有變化與圓錐母線與底面夾角的關系特別緊密，主要體現在式(*)的反復應用和曲線類型的變化上.組合體研究的關鍵在于發揮公共元素的橋梁作用，從而建立不同圖形間元素的聯系，解題時要抓牢、善用.對問題的研究要善于類比、挖掘問題的各種變化，努力尋找問題變化背后的規律，歸納出問題所蘊含的思想根源，抓住典型問題，牽一發而動全身，主動實現思維提升.

高中階段對立體幾何軌跡的研究主要集中在平面上，對側面(曲面)上軌跡的研究極為少見.如果能對這類問題尋找一個適合的情境，提出的問題比較新穎，能有效調動學生的學習熱情，提高參與探究的積極性，研究過程有利于學生立體感的培養；通過底面、側面，以及不同幾何體間的切換，有利于學生綜合認識組合體的性質；利用圓柱、圓錐的側面展開圖，體現數學中化曲為直的思維方式；直角坐標系與極坐標系的不同選擇，既體現了研究幾何問題的不同手段，也體現了算法工具與算法思想的化簡價值.本案例體現了生活處處有數學，本研究可以用作學生研究性學習和數學建模教學的素材，引領學生發現生活中的數學美，直、平、曲的自然出現、有機融合吸引了學生的目光、震撼了心靈，凸顯了數學的廣泛應用性和深刻的思想性.