阿基米德對圓周率之估計及其與劉徽之“割圓術”的比較(續1)

歐陽順湘

(哈爾濱工業大學(深圳)理學院 518055)

3 應用角平分線定理與勾股定理

阿基米德計算圓周率的主要思想已為眾人所熟知：分別從圓內接、圓外切正六邊形開始，通過角的平分，遞推估計圓內接和圓外切的正12、24、48、96邊形的邊長，最終由圓內接和圓外切正96邊形的周長的估計得到圓周率的下界和上界估計. 為更好地理解阿基米德是如何使用角平分線將正多邊形的邊數倍增的，我們具體解釋如何從圓內接(外切)正六邊形得到圓內接(外切)正十二邊形.

圖3展示了如何通過角的等分從圓O的內接正六邊形ABCDEF得到內接正十二邊形AA′BB′CC′DD′EE′FF′. 不失一般性，我們僅解釋如何得到點C′.AC′是∠CAD的角平分線(等價地，OC′是∠COD的角平分線)，C′在圓上. 由此可以由圓內接正六邊形ABCDEF的邊CD得到正十二邊形AA′BB′CC′DD′EE′FF′的兩條邊CC′，C′D.

圖3 通過平分角從內接正六邊形得到內接正十二邊形

圖4展示了如何通過角的等分從圓O的外切正六邊形ABCDEF得到圓外切正十二邊形A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′K′L′. 同樣，不失一般性，我們僅解釋如何得到點G′. 在圖4中，OG′是∠QOD的角平分線，其中Q在圓上，是多邊形ABCDEF的邊DE與圓的切點，G′在DE上.

圖4 通過平分角從外切正六邊形得到外切正十二邊形

引理2如圖5，設AC外切圓O于A點，

圖5 角平分線定理的應用(外切情形)

OD平分∠AOC，D在AC上，則

(3.1)

設θ=∠COA，用三角函數表示上面的結論(3.1)，有

(3.2)

引理3如圖6，設AB為直徑，C為半圓上的一點，AD平分∠CAB，且交圓于D，則

圖6 角平分線定理的應用(內接情形)

(3.3)

證明設AD交BC于d.注意到AD是角平分線，可知∠DAB=∠CAd，再注意到∠ADB=∠ACd是直角，可知△ADB與△ACd相似. 于是有

(3.4)

(3.5)

綜合(3.4)與(3.5)可得(3.3).

設∠CAB=θ，則(3.3)相當于

(3.6)

形式上，(3.6)與(3.2)相同. 由此可見，引理2，引理3得到的結論類似，都是利用原有直角三角形的邊的比例來計算由角平分線得到的新的直角三角形中直角邊的比例. 這兩個結論是比較突出的，如在[2，13]中也都單獨提出.

在上面的兩個引理中，出現了兩直角邊之比以及斜邊與直角邊之比. 在一個直角三角形中，如果已知直角邊之比，則由勾股定理，斜邊與直角邊之比也就確定了. 阿基米德在圓周率的計算中反復應用了這一做法. 為方便引用，我們將這個結論寫成如下引理.

引理4設AB為直角三角形△ABC的斜邊(∠BAC為直角)，則

(3.7)

設∠ABC=θ，則(3.7)可表示為

(3.8)

在三角形式的勾股定理1=sin2θ+cos2θ的兩邊同時除以sin2θ≠0，再開方可立即得到等式(3.8).

4 圓周率的上界

如圖7，設O為圓心，AC為外切正六邊形的半條邊，A為切點，OA為半徑. 顯然，OA與AC垂直. 設AC上的點D，E，F，G使得OD，OE，OF，OG分別平分∠COA，∠DOA，∠EOA，∠FOA，則AD，AE，AF，AG分別為圓O的外切正12、24、48、96邊形的半條邊. 阿基米德通過遞推依次計算AO與AC，AD，AE，AF，AG之比的下界來得到圓周率的上界.

圖7 圓外切正6，12，24，48，96邊形的半條邊

(4.1)

外切正24邊形根據引理4，并利用(4.1)，可得

(4.2)

因為OE是∠DOA的角平分線，應用引理2，并利用(4.2)，可得

(4.3)

外切正48邊形根據引理4，并利用(4.3)可得

(4.4)

因為OF是∠EOA的角平分線，再次應用引理2，并利用(4.4)可得

(4.5)

外切正96邊形根據引理4，并利用(4.5)可得

(4.6)

因為OG是∠FOA的角平分線，再次應用引理2，并利用(4.6)可得

圓外切正96邊形的周長大于圓周長，所以

96×2×AG>2π×OA.

由此可得π的一個上界估計①

① 利用圓外切正6，12，24，48邊形也可以分別估計得到圓周率的上界：

它們的具體數值可參考后文表1.：

表1 阿基米德求圓周率上界的迭代，各步所得圓周率的估計及其理論值(1) 近似值未作四舍五入，表2同理.

(4.7)

5 圓周率的下界

圖8 圓內接正6，12，24，48，96多邊形的一條邊

(5.1)

于是，由引理4以及(5.1)，可得

(5.2)

內接正24邊形因為EA平分角∠DAB，應用引理3以及(5.2)，可得

(5.3)

因此，根據引理4以及(5.3)，可得

(5.4)

內接正48邊形因AF平分∠EAB，應用引理3以及(5.4)，可得

(5.5)

因此，由引理4以及(5.5)，可得

(5.6)

內接正96邊形因AG平分∠FAB，應用引理3以及(5.6)，可得

(5.7)

因此，由引理4以及(5.7)，可得

(5.8)

6 阿基米德的迭代

本節我們考察阿基米德的迭代的一般化，展示如何用三角函數表示這個迭代過程. 我們還將阿基米德的迭代聯系到了其他迭代公式.

6.1 外切與圓周率的上界

如圖9所示，設圓O的半徑為r，m≥3，n≥0，AC為圓外切正m2n邊形的半條邊，A為切點，則∠COA=θn，其中

如圖9所示，對任意n≥0，記

注意到an是圓半徑與其外切正m2n邊形半條邊之比. 所以，

為圓外切正m2n邊形的邊長. 我們將在本小節的最后討論bn的幾何意義. 對給定的半徑r，根據相似三角形知識，an，bn僅依賴于邊數，或說僅依賴于θn的大小. 因為

由引理2以及引理4，可得

(6.1)

利用三角函數，可知

(6.2)

因此(6.1)即(亦可參考(3.2)，(3.8))

(6.3)

同時，初值也可以用三角函數表示為

圓外切正多邊形的周長大于圓周長，即Pn>2πr.由此可得圓周率的上界

以上過程是阿基米德的計算程序. 如果利用三角函數恒等式，自然可以直接得到迭代公式(6.3)，也就是說，三角函數sinθn，tanθn的值可以通過迭代計算. 進而可以得到半徑為r的圓外切正m2n邊形的邊長2rtanθn，從而可得圓周率的上界m2ntanθn.

我們現在分析bn的含義. 注意到△OAC∽△OEB，可得

6.2 內接與圓周率的下界

圖10 阿基米德的迭代(內接情形)

如圖10所示，對任意n≥0，記

由引理3以及引理4，可得

(6.4)

上述遞推公式與外切情形的遞推公式(6.1)類似(后文將說明它們實際上是同一個遞推公式).

因為圓內接正多邊形的周長小于圓周長，所以pn<πd.由此可得圓周率的下界

注意到△ABC∽△OED，可得

(6.5)

6.3 估計與迭代

(6.6)

則綜合前面的計算可得

πn<π<Πn.

(6.7)

從三角函數的角度，(6.7)可以從如下不等式(參圖11)直接得到

圖11 弧的上下界(設OA=1，則

(6.8)

我們可以比較阿基米德通過圓外切(相應地，內接)正6、12、24、48、96邊形(即m=6)得到的圓周率上界(相應地，下界)估計與通過計算機計算正切tanθn(相應地，正弦sinθn)(n=0，1，2，3，4)所得圓周率上界(相應地，下界)估計.

6.4 阿基米德的迭代的變形

根據(6.1)，有

因此

(6.9)

所以，阿基米德的迭代(6.1)也可以改寫為如下形式：

(6.10)

利用在(6.6)中定義的πn，Πn：

可得

因而可將(6.9)表示為

所以

(6.11)

即πn+1是πn，Πn+1的幾何平均.

又由(6.10)的第一式可得

即有

(6.12)

這表明Πn+1是πn與Πn的調和平均.

至此，我們將阿基米德計算圓周率的原始迭代公式(6.1)重新表述為(6.10)，進而利用πn，Πn+1將其表述為如下迭代公式

(6.13)

其初值為

記

則由(6.13)可得如下算術平均-幾何平均關系：

(6.14)

其初值為

如此迭代來估計圓周率可以減少一些運算. 用算術平均-幾何平均迭代來計算圓周率是值得關注的，如高斯在研究橢圓積分時曾得到圓周率與算術平均-幾何平均迭代的關系.

利用三角函數表示

πn=m2nsinθn，Πn=m2ntanθn，

不難對πn，Πn以及cn，dn的意義給出一些解釋(在介紹阿基米德的計算時，實際已經解釋過πn，Πn的意義)，由此可從不同角度理解迭代公式(6.13)和(6.14).

如圖12，設圓O的半徑為r，AD，AC分別為圓內接、外切正m2n邊形的半條邊，則

圖12 圓與其內接正多邊形和圓外切正多邊形(或正多邊形與其內切圓和外接圓)

OD=rcosθn.

=m2nsinθn=πn，

外切正m2n邊形的周長為

=m2ntanθn=Πn.

也就是說，πn，Πn為直徑為1的圓內接、外切正m2n邊形的周長. 此時，(6.13)相當于19世紀法國數學家利奧內(Lionnet)、西羅德(P.-L. Cirodde)和于埃(Huet)各自得到的遞推公式(參[12，定理3]).

(2)設r=1，n>0，則△OAD的面積為

因此圓內接正m2n邊形的面積為

=m2n-1sinθn-1=πn-1.

設n≥0，△OAC的面積為

因此圓外切正m2n邊形的面積為

=m2ntanθn=Πn.

也就是說，設n≥0，則πn，Πn可分別看作單位圓內接正m2n+1邊形、外切正m2n邊形的面積. 此時，(6.13)相當于法國數學家邵林(J. Saurin)于1737年在法國科學院院刊上發表的面積遞推公式(參[12，定理2]).

由此可見，三個分別于19、18、17世紀發現的遞推公式本質上都可歸于阿基米德的迭代公式. 讀者可參考[12]及其中的相關文獻以獲取17～19世紀法國數學家計算圓周率的相關遞推公式的更多信息.

(未完待續)