基于材料強度的無背索斜拉橋極限跨徑研究

葛 歡 林麗霞

（蘭州交通大學土木工程學院，蘭州 730070）

0 引言

無背索斜拉橋中傾斜的橋塔和輕盈的主梁具有較好的景觀效果，而在城市橋梁中占有一席之地。國內外許多學者對斜拉橋的極限跨徑與力學性能開展了一系列的研究。王伯惠［1-2］基于平均索法，從斜拉索的強度、主梁軸力、斜拉索的有效彈性模量以及風動穩定性等角度分析了斜拉橋的極限跨徑。李國豪［3］提出將斜拉索視為索膜單元，即斜拉索認為是一個豎直平面內的索膜，實現了將斜拉索作為連續體，避免了斜拉索結構布置的變化。胡陽［4］研究了無背索混合梁鋼—混結合段在關鍵荷載工況下結構設計的安全性與合理性。蔡小楊等［5］通過對柔梁密索體系矮塔斜拉橋和常規斜拉橋的力學行為進行了研究，結果表明，柔梁密索體系下的主梁軸力和斜拉索的索力比常規斜拉橋大。陳恒大等［6］基于鋼主梁極限抗拉、抗壓強度相等的方法，利用斜拉橋的索膜假定，求解了部分地錨斜拉橋極限跨徑，并得到其極限錨跨比。彭義等［7］認為結構的屈曲穩定性是限制自錨式預應力矮塔斜拉橋跨徑增大的決定性因素。張楊永［8-9］分別從斜拉索和主梁的材料強度、結構變形、壓屈穩定性、風動穩定性的角度探討了自錨式斜拉橋結構體系的極限跨徑。Gimsing［10］從拉索豎向支承效率角度，將扇形式索面布置等效為輻射式索面布置，推算出斜拉橋的極限跨徑大約是5 000 m。張新軍等［11］從采用多振型地震反應譜方法進行E1地震作用下結構的地震反應分析，揭示了超大跨度部分地錨式斜拉橋地震反應的特性。

無背索斜拉橋隨著跨徑的增大，斜拉索長度增加，會導致斜拉索的垂度效應更明顯，再加上索力非均勻變化，兩者共同作用下將導致主梁的軸力出現非線性特征。大量研究資料表明，主梁軸力是限制極限跨徑的主要因素［1-2］。然而針對極限跨徑的研究大多集中于常規斜拉橋，忽略了在無背索斜拉橋中橋塔傾角和豎向荷載斜拉索自重的影響。本文基于平均索法和索膜法的理論，在材料線彈性范圍內進行極限跨徑研究?？紤]斜塔傾角和斜拉索自重推導主梁軸力表達式，基于主梁截面軸心抗壓承載力的要求推導極限跨徑表達式，并對表達式中主要的結構參數進行分析，研究結果可對同類型橋梁的設計提供參考。

1 極限跨徑公式推導

為了推導公式方便，以扇形式索面布置為例，引入如下假定：

（1）主梁所承受的荷載均等效為均布荷載。在無背索斜拉橋中，恒載占的比重比活載的比重大，并且在公路橋梁中的活荷載主要為車道荷載，故將荷載等效為均布荷載。

（2）拉索在主梁及斜塔上均為等索距布置。在常規斜拉橋中，其索面的布置形式有扇形式、輻射式、豎琴式。其索距在很大一部分斜拉橋中都為等索距布置，因此假設為等索距布置具有研究的一般性。假如斜拉索非等索距布置，需要另行分析，不在本文贅述。

（3）不考慮斜塔縱橋向抗推剛度。常規斜拉橋在不同豎向荷載的作用下，橋塔縱向抗推剛度變化較大，即橋塔結構的縱向抗推剛度和其本身受到的豎向荷載大小有關［12］。在無背索斜拉橋中，由于橋塔具有傾角使得該項影響變小，為簡化計算，故不考慮斜塔縱橋向抗推剛度［6］。

（4）不考慮豎向荷載對主梁的彎矩作用。無背索斜拉橋密索體系的主梁以承受軸力為主，彎矩較?。?］，故本文不考慮豎向荷載對主梁的彎矩作用。

1.1 平均索法

平均索法［1］就是將扇形索等效為一根虛擬索，索在塔上的錨固點位于錨固區中心h1/2，在梁上的錨固點位于主梁有索區長度的一半（Ly/2）。結構分析簡圖如圖1所示。

圖1 平均索法結構分析簡圖Fig.1 Structural analysis diagram of average cable method

1.1.1 主梁軸力公式

文獻［1］中橋塔θ=90°，無背索斜拉橋橋塔傾角為θ，重新建立公式如下。

斜拉索傾斜度：

式中：h、h1分別為斜塔高度、索塔錨固區一半高度；θ為斜塔傾角；Ly為有索區長度；k1為斜拉索傾斜度。

由圖1可知，令

依據等索距布置假設可知：

式中：λ1、λ2分別為主梁索距、斜塔索距；n為索距的個數；μ為索距比，μ=λ1/λ2。

將式（4）代入式（2）得到：

由荷載平衡理論，即每根拉索僅承擔索距范圍內的恒活載和一半的斜拉索自重?？芍髁撼惺艿呢Q向荷載P為

式中：Pd為一期恒載；Pm為二期恒載；Pq為活載（汽車荷載、人群荷載）；Pt為斜拉索自重；λ為一根斜拉索計算結果與整體分析結果差值的增大系數，一般可取1.10～1.15。

式中：AT為斜拉索面積；γT為斜拉索容重；LT為拉索平均索長。

平均索的索力值T：

斜拉索對主梁產生的軸力N為

由式（10）可知，用平均索法計算的主梁軸力與與荷載、斜塔傾角、主跨跨徑、斜塔高度及塔梁索距比有關。

當θ=90°時，主梁軸力N為

式（11）與文獻［1］中的公式具有一致性，而式（11）為式（10）的特殊情形，故說明了式（10）的正確性。

1.1.2 極限跨徑公式

主梁承受的彎矩作用對極限跨徑的影響比軸力作用時的影響小，故忽略豎向荷載對主梁的彎矩作用?；谥髁航孛孑S心抗壓承載力的要求，主梁承受的軸力為

式中：ε為主梁截面面積增大系數；Am為主梁截面面積；［σm］為主梁材料容許應力。

將式（12）代入式（10）得到極限跨徑表達式：

因為主梁恒載包括一期恒載（主梁自重）以及二期恒載（護欄、橋面鋪裝等），即

式中，γm為主梁容重。

將式（14）代入式（13）可得主梁截面面積與極限跨徑的關系式：

1.2 索膜法

索膜法［3］是將斜拉索索面等效為豎直平面內的索膜，當作連續體分析，索距長度為Ly。結構分析簡圖見圖2。

圖2 索膜法結構分析簡圖Fig.2 Structural analysis diagram of cable-membrane method

1.2.1 主梁軸力公式

由主梁有索區微段平衡條件：

式中：L0為塔根無索區長度；x為主梁有索區段長度；y為斜塔有索區段高度。

根據等索距布置假設：

式中，λ1、λ2分別為主梁索距、斜塔索距。

由幾何關系得到拉索在主塔上的布置位置方程為

式中，φ=μsinθ。

將式（18）代入式（16）進行積分，積分區間為［x，Ly］。

解得主梁軸力為

主梁承受豎向荷載P為

式中，α為斜拉索傾角。

由式（19）、式（20）可知，用索膜法計算的主梁軸力與與荷載、斜塔傾角、斜拉索傾角、主跨跨徑、斜塔高度及塔梁索距比有關。

當θ=90°時，主梁軸力N公式：

式（21）與文獻［8］中的公式具有一致性，而式（21）為式（19）的特殊情形，故說明了式（19）的正確性。

1.2.2 極限跨徑公式

主梁承受的彎矩作用對極限跨徑的影響比軸力作用時的影響小，故忽略豎向荷載對主梁的彎矩作用?；谥髁航孛孑S心抗壓承載力的要求，主梁承受的軸力N為

將式（22）代入式（19）可以得到極限跨徑表達式：

2 關于極限跨徑的討論

2.1 僅考慮結構自重作用下的極限跨徑

結構僅在自重作用下，材料達到容許應力，此時可以得到跨徑的最大值。主梁承受豎向荷載P為

將式（24）代入式（15）可以得到極限跨徑隨主梁截面面積的變化曲線（圖3）。

圖3 主梁橫截面面積與跨徑的關系曲線Fig.3 Relationship curve between cross-sectional area and span of main girder

由圖3可知：

（1）Am-Ly曲線的切線斜率隨主梁截面面積而變化，Am越大，跨徑越長，但是當Am=10 m2左右時，極限跨徑達到350 m時，趨于平緩。

（2）當高跨比e從1.5 減小到1.25 時，極限跨徑增加1/3左右。

（3）當索距比μ從0.5 增加到0.8 時，極限跨徑增加5%左右。

2.2 考慮恒載及活載作用下的極限跨徑

上述的研究忽略了二期恒載Pm和活載Pq的影響，給出了只承受結構自重情況下的極限跨徑，是極限跨徑的上限。為考慮橋梁結構在實際狀態下的受力情況，下面研究二期恒載和活載對極限跨徑的影響。用等效活載來考慮活載作用，恒活載比為4［6］。令Pm+Pq＝αAmγm，其中α為恒活載比。此時荷載P為

將式（25）代入式（23）可以得到極限跨徑隨恒活載比的變化曲線（圖4）。

圖4 極限跨徑隨恒活載比的變化曲線Fig.4 Variation curve of ultimate span with dead load to live load ratio

由圖4可知：

（1）極限跨徑隨恒活載比值α增大而迅速降低，在橋梁結構的設計中，活載是由通行要求確定的，此時需降低恒載的大小，比如盡可能采用輕質高強的高性能混凝土、輕型護欄以及減小鋪裝層厚度、主梁橫截面面積等措施來進一步增大極限跨徑。

（2）當恒活載比為2左右時，無背索斜拉橋跨徑最大可以達到270 m。

3 算例分析

為驗證本文所推導的極限跨徑表達式的正確性，建立無背索斜拉橋的有限元模型（圖5），并與平均索法和索膜法計算的關鍵截面處的軸力進行對比分析。

圖5 無背索斜拉橋有限元模型Fig.5 Finite element model of cable-stayed bridge without back cable

有限元模型共171 個節點、100 個單元；主梁截面為單箱三室截面，斜塔截面為實腹八角形截面，主梁和斜塔均為梁單元；斜拉索為桁架單元，與斜塔、主梁為剛性連接，結構體系為塔梁墩三者固結。計算所用荷載集度見表1，主要結構參數見表2，材料特性見表3，計算結果及誤差見表4和圖6。

表1 荷載集度Table 1 Load concentration kN/m

表2 主要結構參數Table 2 Main structural parameters

表3 材料特性Table 3 Material properties

表4 關鍵截面主梁軸力計算結果與誤差Table 4 Calculation results and errors of axial forces at key sections of main girder

圖6 扇形式主梁軸力曲線Fig.6 Axial force curve of fan-shaped main girder

由圖6可知，索膜法和平均索法與有限元計算結果吻合，其中索膜法是更偏于安全的計算方法。

由表4 可知，平均索法推導的主梁軸力公式與有限元結果之間的誤差在7%以內，索膜法與有限元結果之間的誤差在5%以內。

當考慮豎向荷載對主梁的彎矩作用時，主梁上、下緣彎曲應力增加，最終導致無背索斜拉橋的極限跨徑減小。

本文僅考慮材料強度下無背索斜拉橋極限跨徑的表達式，并未考慮變形、抗風、抗震等因素。若考慮主梁的變形，隨著斜拉橋跨徑的增大，活載作用下主梁撓度迅速增加。當豎向撓度按Lc/400控制時，極限跨徑隨著主梁上索距的減小而迅速增大；隨著梁塔索距比和索塔高跨比的增大而增大［2］。若考慮抗風穩定性，斜拉橋的極限跨徑隨設計基準風速的增大而減??；隨橋面系單位長度質量的增大而增大［9］。若考慮地震作用，隨著地錨段主梁長度增大，主塔在地震作用下縱向位移明顯增大，主梁產生較大的縱向位移，而且隨著斜拉索豎向支承剛度的增強，主梁的豎向位移明顯減?。?1］。

4 結論

（1）基于平均索法和索膜法，考慮斜塔傾角以及斜拉索自重的影響，推導了無背索斜拉橋的主梁軸力公式，在本文所考慮的運營情況下，基于截面軸心抗壓承載力的要求，無背索斜拉橋的極限跨徑最大可以達到270 m。

（2）從推導出的極限跨徑表達式當中可以看出，極限跨徑的大小與高跨比、索距比、主梁截面面積等參數有關；當高跨比從1.5 減小到1.25 時，極限跨徑增加1/3左右；當索距比從0.5增加到0.8時，極限跨徑增加5%左右；當主梁截面面積達到10 m2，自重作用下的極限跨徑上限可以達到350 m。

（3）通過算例分析，平均索法與有限元結果相差7%，索膜法與有限元結果相差5%，兩種計算方法與有限元結果的誤差均遠小于10%。說明兩種方法均可適用于求解主梁軸力，并基于此推算出極限跨徑，索膜法更偏于安全。本文極限跨徑計算方法可為同類橋梁設計提供參考。