“正難則反”一般方法應用實例分析

傅海倫　周方群

【摘 要】針對目前數學教學中具體解題方法與數學思想方法相脫軌的現象，基于數學方法論的角度，提出重視“正難則反”一般方法的應用，并列舉正難則反在函數、幾何證明、概率等方面的應用實例分析，從而架構從具體解題方法到數學思想方法之間實質聯系的橋梁與紐帶，從而達到化繁為簡、化抽象為具體的效果.

【關鍵詞】一般方法；正難則反；逆向思維；應用

1 背景與意義

數學結論的教學具有當下意義，數學方法按照抽象程度的不同可分為：具體解題方法、一般方法（邏輯與實驗方法）以及在此基礎上概括形成的數學思想方法這三個層次［1］.在實際教學中，師生重視具體解題方法的教學，而相對忽視一般方法的教學.

數學方法論的教學要依托一般方法論的理論基礎，應立足于數學學科特點和學生的學情，重視一般方法的教學，既要跳出“解題術”的功利教學，又要避免空談數學思想的低效教學， 從而更有效地實現從具體解題方法到數學思想方法的過渡，

在此基礎上，訓練學生的思維能力，提高思維品質，提升數學素養.

“數學是思維的體操”.數學依靠其抽象性、嚴謹性和廣泛的應用性的特點，為思維訓練提供了良好的現實原型與方法程序.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出了包括“邏輯推理”在內的六大核心素養，而邏輯思維能力是各種思維能力的核心［2］.由此可見，數學對人的思維發展具有良好的訓練功能和促進效果.因此，學習數學的意義不在于“解題術”的突破，而在于通過解題的訓練提升學生的思維品質.而現階段具體解題方法和數學思想方法相脫軌，或者過于強調解題步驟的規范性，或者在學生知識儲備還沒達到標準的情況下空談思想，造成學生迷茫，并沒有真正達到思維訓練的目的.

例如，在分析法的實際教學中，教師往往根據問題引入分析法這一具體解題方法，并強調方法的步驟規范，進而上升至逆向思維層面.學生在學習新方法新思想時，往往還沒領悟到分析法的精髓，就被迫地與逆向思想相聯系，并且將具體解題步驟當做學習重點，這造成了學生眼光的狹隘與思想的淺薄.

“正難則反”能很好地架起思想方法與具體解題方法的橋梁，起到過渡與聯系作用.隨著新時代對人才要求的提升，正難則反愈發受到廣大教育研究者的重視.

現階段的研究對正難則反的內涵界定相對模糊.秦雄偉在《逆向思維在中學數學教學中的應用研究》一文中，將正難則反定義為逆向思維在中學數學教學策略中的應用之一，并與反例法教學策略、補集法教學策略、執果索因教學策略并列［3］.劉曉翠在《數學解題中的正難則反思想及其教學實踐研究》一文中將正難則反定義為一種思想，并將逆推分析法、反證法、構造反例以及從反面思考，定義為正難則反思想解題的具體方法［4］.更多學者將正難則反定義為解題策略并著重介紹其在解題當中應用的某幾種形式.下面，我們就對幾位專家學者和教師的具體研究進行對比分析：

教師講解是從方法升華到思想，學生應用是借助思想來搜尋解題方法，在學生學習深度沒有達到升華至思想的程度時，需要一個比思想抽象程度更低，比具體解題方法更加概括的概念來實現方法的暫時歸類儲存與后期的銜接過渡.因此，本文立足于逆向思維和悖向思維的培養，重新界定“正難則反”為一種一般方法，并給出其在函數、幾何證明、概率、三角函數、不等式等方面的應用實例分析.2 “正難則反”一般方法的內涵解析

逆向思維即“反其道而行之”，指沿固有思路的反向思考問題，反向推導本應證明或求解的結論，使其返回到已知的定理、定義或概念的思維過程［5］.數學方法中的逆推分析法、逆向運算法等，均為逆向思維在數學方法中的具體應用.

悖向思維不同于一般的逆向思維，其立足于認知沖突，從原來認識的反面出發，尋找新的發展可能.相對于內容上的“反”，悖向思維更加強調對立雙方間的和諧性，從而消除思維與邏輯的混亂，促進消極混亂到積極明了的轉化［6］.數學方法中的反證法、反例法、對立事件法等，均是悖向思維在數學方法中的具體應用.

“正難則反”是一般的方法，屬于邏輯與實驗方法的范疇.其基本含義是，如果正向或從正面思考和分析問題比較困難，那么就可以反向出發或嘗試從問題反面出發分析和解決問題［4］.這種遇難則反的方法，同時囊括了逆向思維和悖向思維的中心思想，是逆向思維和悖向思維指導下的一般的數學方法，下屬概念中可以容括逆推分析法、逆向運算法、反證法、反例法等具體數學方法.“正難則反”相對于思維層面，其抽象程度更低，又比具體方法更具有概括性.沈文選教授曾指出“離開了數學解題方法原理的數學思維，只能是雜亂無章的胡思亂想”［7］.正難則反既能高度體現逆向思維的過程性和方向性，又能對悖向思維有“引流”作用，有其獨特方法論意義.正難則反作為一般的數學方法，其地位如圖2所示：

3 “正難則反”一般方法的應用實例分析

3.1 “正難則反”一般方法在函數中的應用

例1 已知函數f（x）=ax2+xlnx（a∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x+3y=0垂直.

（1）求實數a的值；

（2）求證：當n>m>0時，lnn－lnm>m/n－n/m.

分析 對于本題第一問，可以由f（x）=ax2+xlnx（a∈R），求出f（x）的導數.

f′（x）=2ax+lnx+1，又因為切線與直線x+3y=0垂直，所以切線的斜率為3，所以f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1.

對于本題的第二問，題目給出的是一種陌生形式的不等式，難以將其與已知知識聯系起來.此時，不妨“反過來”思考，先對要證明的不等式進行逆推分析，尋找使之成立的充分條件，合理變形為熟悉形式，再通過整體代換、構造函數等常規方法證明原式的正確性. 要證lnn－lnm>m/n－n/m，即證lnn/m>m/n－n/m，只需證lnn/m－m/n+n/m>0.此時，不等式的左邊已被逆推為具有規律性的式子，提示著解題者應采用整體代換法和構造函數法.

令n/m=x，由已知n>m>0，得n/m>1，即x>1，根據題設提示構造函數g（x）=lnx－1/x+x（x>1），則其導函數g′（x）=1/x+1/x2+1.

因為x∈（1，+∞），所以g′（x）=1/x+1/x2+1>0，故g（x）在（1，+∞）上單調遞增.

所以gn/m>g（1）=0，即lnn/m－m/n+n/m>0成立，所以當n>m>0時，lnn－lnm>m/n－n/m.

評注 本題所用的方法是正難則反中的分析法.這種分析法實則為逆推證明，從思維方向上來看，它的論證思考順序從結論出發，尋求它的論據，直至歸結到題設，是直接證明“由因導果”的反向，在邏輯上表現為“執果索因”.

這種分析法雖在思考方向上迂回間接，但是在思維活動中，相對于綜合法的發散性，更具有直接的方向性，所以效率往往更高［8］. 另外，從本題來看，正難則反的主要作用體現在提示思路，解題者能經過逆推分析，使陌生結論向已知知識轉化，從而使無序的思維更加清晰明了，達到“柳暗花明又一村”的效果.

教師要教會中學生發現本題正向難以入手后，能想到反向，并掌握一定的分析法書寫規范與邏輯銜接方法.

3.2 “正難則反”一般方法在幾何證明中的應用

例2 如圖3，在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中點.求證：AD<1/2BC.

分析 題設中有兩個條件：p1——在△ABC中，∠CAB>90°，p2——在△ABC中，D是BC的中點，結論為q——在△ABC中AD<1/2BC.針對這道題的兩個前提條件，我們可以采取“（p1∧p2）→q（p2∧q）→p1”的論證形式，將結論加以否定作為條件使用，使得推出一個與題設矛盾的命題，從而證明原命題的正確性. 假設AD≥1/2BC.下面，可以分為兩種情況：

①若AD=1/2BC，則△ABC為直角三角形，即∠CAB=90°，與題設矛盾，舍去.

②若AD>1/2BC，因為D是BC的中點，即DC=BD=1/2BC，所以AD>BD，由三角形大邊對大角的性質，在△ADB中∠B>∠DAB.

同理∠C>∠CAD，所以∠B+∠C>∠DAB+∠CAD=∠CAB，又因為∠CAB+∠B+∠C=180°，所以2∠CAB<180°即∠CAB<90°，與題設矛盾.

綜上所述，AD<1/2BC.

評注 本題所用的是正難則反中的反證法.反證法是間接證明的一種，當直接證明命題比較困難時，我們從反面出發，將結論否定進行論證，直至推出矛盾，從而確立原命題的真實性.當問題的條件較少，或者問題反面比較具體、情況較少時，常常采用反證法［9］.

本題正難則反的主要作用在于擴充題設條件，利用邏輯沖突的方法，從結論的對立面出發，將思路“引流”到分類討論上來，是悖向思維與逆向思維的一次完美融合.

教師需要引導中學生學會做出反設，當正面提示較少時，勇于轉換思維，從反面入手，把求證作條件，把已知變未知，鍛煉學生的思維品質. 3.3 “正難則反”一般方法在概率中的應用

例3 現有紅、黃、藍、綠四色卡片共16張，且每種顏色各四張，從中任取三張卡片，要求它們不能是同一顏色，且紅色卡片至多一張的概率是？

分析 本題若從正面思考，則需綜合考慮“有無紅色”和“有無重復顏色卡片”兩個問題，共分4種情況討論如圖4所示.

而若從反面入手，只需考慮“三張卡片都是同一顏色”和“有兩張紅色卡片”兩種情況：

①任取三張卡片都是同一顏色的取法共C14×C34種；

②任取三張中有兩張紅色卡片的取法共C24×C112種；

評注 兩個對立事件互為反面事件，兩者的概率和恒為1.本題充分運用了悖向思維，從事件的反面入手，使問題的復雜性降低，簡化思維量與分類情況.正難則反是快速解決本題的關鍵，也是提高本題正確率的關鍵所在.

在概率問題中合理運用正難則反的方法，既可將復雜問題簡單化，避免情況過多造成的討論遺漏，也可以讓學生感受到反過來想問題的簡單性與巧妙性. 4 結論與反思

現代社會重視對思維的鍛煉，但是學生在思想轉化為具體方法的運用過程中還有一定的困難.因此，數學教師應基于前人對于方法論的研究以及日常的數學教學情況，重視“正難則反”作為一般方法的應用與教學.借助“正難則反”這種一般的方法，可以架構從具體解題方法到數學思想之間實質聯系的橋梁與紐帶，使得學生可以更有效、更便捷地實現從具體方法到數學思想的過渡，進而促進學生思維發展，減少直接運用思維思考的抽象性與復雜性，從而達到化繁為簡、化抽象為具體的效果.同時還可以有效地鍛煉思維品質，提高數學能力，提升數學素養.

當然，對于“正難則反”一般方法的具體實踐的研究還有待加強.例如，在“正難則反”的實際應用教學中，怎么使得學生正確地理解與運用一般方法，既保證運用的計劃性又保障靈活性，特別是，“正難則反”這種“以退為進”的策略，對于數學思維品質培養的有效性以及學生思維發展程度的評判，都需要建立定性與定量的標準.因此，從這個意義上說，之后的研究方向主要集中在立足于學生學情實際，深入探討數學方法論的教學價值，從培養學生數學核心素養的角度出發，

從實踐中進一步探索一般數學方法與學生思維及其發展的深層次關系及其評價，這需要對以往的數學方法教學體系進行重組，并深入教學一線進行實踐與分析.

參考文獻

［1］章士藻.數學方法論簡明教程［M］.南京：南京大學出版社，2006： 2-3.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.2版.北京：人民教育出版社，2020：5.

［3］秦雄偉.逆向思維在中學數學教學中的應用研究［D］.重慶：西南大學，2020.

［4］劉曉翠. 數學解題中的正難則反思想及其教學實踐研究［D］.長沙：湖南師范大學，2014.

［5］肖媛元. 初中生數學逆向思維的現狀及對策研究［D］.重慶：重慶師范大學，2019.

［6］鄭毓信.悖向思維與悖向思維和諧性原則［J］.數學通報，1990（07）：2-3.

［7］沈文選，楊清桃.數學方法溯源［M］.2版.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2018：7.

［8］馬波.中學數學解題研究［M］.2版.北京：北京師范大學出版社，2017：9.

［9］張安平.反證法——證明數學問題的重要方法［J］.中國城市經濟，2010（11）：179.

作者簡介 傅海倫 （1970—），男， 教授，博士生導師;主要從事數學課程與教學論研究.

周方群（1998—）女，山東師范大學教育碩士專業學位研究生；主要從事中學數學課程與教學論研究.

基金項目 2021年度山東省社會科學普及應用研究項目“傳統數學文化傳播與拓展讀本”（2021-SKZZ-24）；2022年山東省優質專業學位教學案例庫建設（SDYAL2022067）;

山東師范大學優秀教學成果培育項目“專業認證下的數學實踐教學創新體系建設研究”（2019PY05）.