剛構橋隨機地震動響應的簡明解析解及等效地震力計算

廖勇剛,張梨榮 ,葛新廣

(1. 廣西西江集團紅花二線船閘有限公司,廣西 柳州 545100; 2. 柳州工學院 土木建筑學院, 廣西 柳州 545004)

0 引言

橋梁工程是各類交通工程的重要構成,其在地震過程中震害突出,影響巨大[1-3]。剛構橋適用于大跨高墩結構,廣泛應用于市政、公路、鐵路及軌道交通工程中[4]。為了獲得更好的靜力學特性,剛構橋構造上采用強梁弱墩的布置形式,與其他類型橋梁相比,因采用梁-墩固結,結構剛度大,自振頻率較同跨度連續梁、簡支梁高,動力響應顯著。近年來,中國交通業的高速發展促進了剛構橋的工程應用,全國各地建造了眾多剛構橋項目,特別在一些震區。對剛構橋地震動特性和動力響應分析是近年來工程界的研究熱點[5-8]。單德山等[9]研究了斷層距對大跨高墩連續剛構橋的響應特點,研究表明:不同斷層距的大跨高墩連續剛構橋梁的地震響應具有明顯差異,近斷層地震響應明顯強烈;閆曉宇等[10]基于振動臺試驗研究了近斷層效應對剛構橋的動力響應,研究表明:近斷層對剛構橋橋墩和主梁的跨中內力與位移具有顯著影響。以上研究主要關注時程地震動激勵下對剛構橋橋墩水平方向的動力響應分析,實際上地震動具有顯著的隨機性[11-12],且在順橋向水平地震作用下,橋墩產生側移使墩頂產生動彎矩進而引起梁跨結構的豎向震動和水平震動。因此,研究順橋向水平隨機地震動作用下,剛構橋順橋向和豎向耦合地震效應,對于確保剛構橋抗震防災具有理論意義。

工程上,利用功率譜密度函數描述地震激勵的隨機性是一種主要方法,如白噪聲譜、Kanai-Tajimi譜、Clough-Pezien譜和歐進萍譜等[13-16]?；诠β首V模型的地震動響應分析,主要有時域法和頻域法[17-18]。時域法中結構響應的協方差由地震激勵協方差與脈沖響應函數在時域的二重積分來表示,對于白噪聲激勵易于獲得響應的簡明解,但對于其他復雜地震動譜則存在響應計算復雜的問題。頻域法中,結構響應的功率譜密度函數表示為地震動功率譜密度函數與響應量頻響函數模值平方的代數積,表達式簡潔因而得到廣泛應用,虛擬激勵法是其典型代表[18]。然而結構安全評估和設計需要響應量的方差和譜矩,是基于響應量功率譜密度函數在頻域上的積分?，F行《公路橋梁抗震設計規范》(JTJ/T 2231-01-2020)[19]采用功率譜法計算橋梁隨機地震動響應,應用時采用有效頻率區間的數值積分法進行近似計算。近年來,張俊等[12]和葛新廣等[21-22]針對傳統方法無法獲得封閉解的不足,提出了結構響應方差和譜矩計算的封閉解法,所提方法無需數值積分運算。

針對多跨剛構橋在順橋向水平地震作用下,墩梁固結處的墩頂部產生動彎矩進而使相連的橋跨結構產生動彎矩,從而引起橋梁水平與豎向耦合振動的特征,提出了一種研究剛構橋在順橋向隨機地震動作用下,水平和豎向耦合振動位移譜矩和等效地震力的新解析解法。首先,建立剛構橋雙向地震動方程,基于MIDAS有限元軟件對剛構橋進行離散化建模并獲得其豎向及順橋向振動的振型、自振圓頻率和節點集中質量的動力參數;其次,基于實模態解耦法,將整橋結構節點位移表示為實模態振型的線性組合;再次,基于功率譜密度函數的二次化法[21-22],獲得了廣義變量及節點位移響應譜矩和方差的解析解法;最后,基于動力學等效原則獲得了剛構橋節點等效地震力計算式。

1 剛構橋地震動位移響應的頻域解

連續剛構橋的結構形式為邊墩與橋跨結構采用支座連接而中墩與橋跨結構采用剛性連接,動力學上常采用集中質量法進行結構離散化如圖1所示。順橋向地震動作用下橋墩的墩頂會產生動彎矩從而引起橋跨結構產生動彎矩,進而引起橋跨結構產生順橋向及豎向振動。為此,考慮全橋結構順橋向水平及豎向振動自由度建立其動力方程為:

圖1 剛構橋動力學簡圖Fig. 1 Dynamic calculating diagram of rigid frame bridge

(1)

引入廣義坐標向量q,則剛構橋節點位移向量表示為[23]:

x=φq

(2)

式中:q={q1,…,qN}T, φ為剛構橋結構前N階振型,為n×N階矩陣。

把式(2)帶入式(1)并利用實模態振型分析法,則基于廣義坐標地震動方程為:

(3)

由虛擬激勵法[18],式(3)所表示的廣義坐標的頻域解為:

(4)

由式(2)及式(4),剛構橋i節點處位移xi的頻域解為:

(5)

式中:φi,l為結構實模態振型φ的第i行和第l列元素。

2 剛構橋響應功率譜的二次分解式

由式(4)及虛擬激勵法[18],廣義坐標響應功率譜表示為:

(6)

由式(4)可知:對式(6)中的|Hql(ω)|2式進行二次式分解,即:

(7)

把式(7)帶入式(6),則廣義坐標的功率譜表示為:

(8)

由式(5)及虛擬激勵法[18],則位移響應的功率譜表示為:

(9)

對式(9)進行求和展開:

(10)

(11)

針對Hqlqk(ω)進行二次式化,具體見附錄A,其二次式為:

(12)

由式(11)和式(12),結構位移響應功率譜表示為:

(13)

(14)

式中:ξf,ξg,ωf,ωg分別為場地土的振動特征值,S0為地震動強度系數。

由留數定理,對式(14)進行二次式分解為[23]:

(15)

3 結構響應譜矩和方差的簡明封閉解

由隨機振動理論[17-18],剛構橋位移響應和廣義變量的譜矩和方差表示為:

(16)

(17)

(18)

把式(8)帶入式(16)及式(13)帶入式(17)并進行積分,譜矩表示為:

(19)

(20)

式中:

(21)

(22)

對式(21)和式(22)進行積分,可獲得其解析解為:[23],

(23)

(24)

(25)

(26)

4 等效地震力的計算

工程設計常需要獲得結構地震動作用下的內力,以便與靜荷載工況結構內力進行荷載組合。在獲得隨機結構動位移方差的基礎上,利用慣性力和動力學原理可獲得等效的節點地震力,是一種擬靜荷載,便于獲得地震作用下結構的內力值。

由結構動力學可知[24]:線彈性結構實模態解耦時,滿足下式:

(27)

基于式(27)、式(28)、式(29)和式(30),可獲得結構體系無阻尼自振圓頻率ω和實模態振型φ。

由隨機振動理論[17-18],廣義變量二階導數標準差與廣義變量標準差存在關系為:

(28)

由式(2)和式(28)可知: 第i階振型的節點位移標準差向量可表示為:

(29)

式中:σxi和φi分別為第i階振型節點位移方差向量和第i階振型。

慣性力可表示為質量與加速度的乘積,故節點慣性力向量可表示為:

(30)

在結構體系確定時,由結構力學的位移法可知,節點力可使結構體系產生確定性節點位移;反之,當確定性節點位移已知,可反推出確定的節點力,

σFi=Kσxi

(31)

由式(27)、式(30)及式(31),結構體系節點力標準差可表示為:

(32)

工程設計時,結構設計響應值取峰值因子與響應量標準差的乘積,故第i振型的剛構橋等效地震力可取:

(33)

式中,FE,i,cf為節點等效節點地震力向量,cf為峰值因子,《公路橋梁抗震設計》規范(JTJ/T 2231-01-2020)[19]取2.5。

利用式(33)可結構實模態振型對應的節點等效地震力,并利用有限元軟件獲得結構等效內力,可SRSS法獲得多振型下的地震等效內力設計值。

5 算例

某3跨預應力混凝土連續剛構橋(跨度布置為60 m+110 m+60 m),采用變高度單箱單室截面,最大梁高7.0 m,最小梁高3.0 m,如圖2所示。1#墩和4#墩采用矩形實心墩(2 m×9 m),高分別為16.5 m和17.5 m;2#墩和3#墩采用凈距為1.3 m的雙薄壁墩(1.3 m×9 m),高分別為20.5 m和21.0 m。按8度設防,場地土為中硬土,雙過濾白噪聲激勵參數:ωg=15.71 rad/s,ωf=0.4ωg,ξg=ξf=0.72,S0=111.34×10-4m2s-3。

圖2 剛構橋動力學簡圖Fig. 1 Dynamic calculating diagram of rigid frame bridge

利用Midas軟件對剛構橋進行有限元離散化可獲得剛構橋的實模態振型和圓頻率。邊墩1#墩和4#墩與橋跨結構采用球形橡膠支座進行連接,模擬時邊墩與主梁采用彈性連接,側向剛度取值為450 kN/m。剛構橋結構阻尼采用瑞雷阻尼,阻尼比取5%。

5.1 所提方法驗證

虛擬激勵法廣泛應用于各類工程的隨機動力響應分析[18],是目前分析隨機激勵下結構動力響應最常用的方法。該方法在計算結構響應0～2階譜矩和方差時,需要數值積分。為了驗證本文方法的正確性,利用虛擬激勵法及數值積分進行驗證。

圖3-8為采用虛擬激勵法和本文方法計算橋跨結構豎向地震動和橋墩結構水平向地震動的0～2階譜的對比圖。虛擬激勵法的ωu經過試算取1000 rad/s,而Δω經過試算分別取2.5 rad/s,1.0 rad/s,和0.1 rad/s。

圖3 橋跨結構豎向位移0階譜Fig. 3 Zero-order spectral moments of bridge displacement in vertical direction

圖4 橋跨結構豎向位移1階譜Fig. 4 First-order spectral moments of bridge displacement in vertical direction

從圖3-8可知:隨著虛擬激勵法中積分步長的變小,其計算結果越來越接近本文方法,從而說明了本文方法的正確性。虛擬激勵法中Δω=0.1 rad/s與本文方法的結算結果十分吻合,在相同的計算機環境下,耗時為36.38 s;而本文方法耗時為1.06 s,說明本文方法無需試算且具有較高的效率。

從圖3至圖5可知:橋跨結構豎向地震動位移0～2譜矩,中跨的跨中最大;1#墩和4#墩處位移譜矩比邊跨跨中位移譜矩大很多。

圖5 橋跨結構豎向位移2階譜>Fig. 5 Second-order spectral moments of bridge displacement in vertical direction

從圖6至圖8可知:2#和3#薄壁墩的兩分支墩順橋向位移譜基本相同,說明在橋墩構件高度相同時,可認為結構的地震動響應相同;對比0～2階譜中邊墩與中墩的位移譜矩關系,發現邊墩0～1階譜矩相對中墩較小,而2階譜矩的邊墩接近中墩,由于位移的2階譜矩代表節點地震動速度響應量,說明邊墩地震動位移較小,但其振動的速度可能會很大。

圖6 橋墩結構順橋向位移0階譜Fig. 6 Zero-order spectral moments of longitudinal bridge displacement of piers

圖7 橋墩結構順橋向位移1階譜Fig. 7 First-order spectral moments of longitudinal bridge displacement of piers

圖8 橋墩結構順橋向位移2階譜Fig. 8 Second-order spectral moments of longitudinal bridge displacement of piers

5.2 等效地震力計算

利用式(33)計算剛構橋橋跨基于前50階實模態振型的水平及豎向等效地震力,如圖9-10所示。

圖9 基于實模態橋跨結構順橋向等效地震力Fig. 9 Horizontal equivalent seismic forces of bridge span structure based on real model

圖9及圖10分別列出了對梁跨結構順橋向震動起主導作用的16個實模態振型對應的等效地震力,順橋向震動與水平向震動的主動振型各不相同,其中順橋向最高階主導振型為第40階,豎向最高階振型為第28階,說明剛構橋橋跨結構地震動響應分析均需要考慮高階振型。對比分析圖10,橋梁結構豎向地震力數值較大,不能忽略。

圖10 基于實模態的橋跨結構豎向等效地震力Fig. 10 Vertical equivalent seismic forces of bridge span structure based on real model

綜上所述,針對剛構橋地震響應的分析,需考慮多振型的影響,且橋跨結構的豎向振動不能忽略。

6 結論

論文研究了大跨度剛構橋在順橋向地震動作用下,雙向地震動響應譜矩和方差的解析解及等效地震力的計算方法,取得了如下結論:

1)在獲得各節點等效地震力方差后,利用結構力學的方法獲得全橋結構的彎矩、剪力及軸力等內力,然后利用SRSS方法可獲得剛構橋構件等效地震力作用下的內力值,并可與作用在橋梁上的其他荷載作用下的內力進行組合,從而可開展基于隨機振動理論的橋梁結構抗震分析及動力可靠度分析。

2)針對剛構橋在順橋向地震動作用下會產生順橋向水平和豎向地震動效應,兩種振動必須都要考慮;若采用實模態分解法進行地震動響應分析時,必須考慮多振型才能獲得正確解。

附 錄AHqlqk(ω)的二次式分解

針對Hqlqk(ω)進行整理:

(34)

由留數定理,式(34)可改寫為:

(35)

(36)

由于pl1是Hql(pl1)的根,所以式(36)改寫為:

(37)

對式(37)進一步簡化為:

(38)

(39)

(40)

對式(40)進一步簡化為:

(41)

(42)

由式(42)及式(35)改寫為:

(43)

對式(43)整理后,則式(35)的二次式表示為:

(44)