堅持生本，經歷探索，深化概念理解

［摘? 要］ 學生在學習“銳角三角函數”時，大部分都是在生硬地記憶，并沒有達到對概念本質的理解，所以這一知識一直是教學的難點. 文章認為，教學“銳角三角函數”時，可以通過創設教學情境，讓學生經歷探索過程，深化學生對概念的理解，從而發展學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ 正切函數；函數意識；概念教學

銳角三角函數揭示了直角三角形中銳角與其中兩條邊的比值之間的函數關系，它不同于一次函數、反比例函數以及二次函數，它的自變量是“銳角的集合”. 對學生而言，銳角三角函數是抽象的，是初中數學學習的一個難點.調查表明，學生學完銳角三角函數的概念后難以理解其本質，不明白為什么可以稱之為函數［1］. “正切”是蘇科版教材介紹的第一個銳角三角函數，幫助學生理解上述問題的關鍵在于帶領學生發現直角三角形中的銳角與其對邊和鄰邊的比值是“一一對應”的函數關系［2］. 為此，在探索“正切”概念的教學中，筆者嘗試通過創設教學情境，引導學生動手操作，探究正切函數的本質，發展學生的數學核心素養.

教學目標分析

“正切”是蘇科版教材九年級下冊“銳角三角函數”第1節的內容，其中銳角度數與相應比值之間是一一對應的關系，這是本節內容教學的難點. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教師應重視單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯［3］. 因此，本節課要讓學生既見“木”又見“林”，從整體上先感受銳角三角函數，再細化認識正切. 正確理解正切概念，能為學生后續知識的學習打下良好的基礎. 通過本節課的學習，學生應達成如下目標：通過動手操作、推理驗證等過程，知道并理解正切函數的概念；會在直角三角形中求出已知銳角的正切值；經歷操作、觀察、推理、思考等過程，感悟符號化、數形結合等數學思想，培養學生的抽象能力和概括能力，發展學生的理性思維，提升學生的數學核心素養.

教學過程

1. 情境引入，激發學生思考

在生活中，斜坡帶給我們方便（PPT呈現幾張不同情境下的斜坡圖片），觀察圖片并思考下列問題.

問題1：哪個山坡更好走？為什么？

問題2：通過什么能描述山坡的傾斜程度？

問題3：除了用坡角的大小來描述山坡的傾斜程度，還可以用什么方法來描述？

【課堂回放】

師：（PPT呈現兩幅圖）這兩幅圖中的山坡，哪個更加陡峭？

生1：第二幅圖看起來更陡一些.

師：通常我們借助什么來描述山坡的傾斜程度？

生2：坡角，第二幅圖的坡角比較大.

師：對，可以把兩個山坡抽象成∠A和∠A′（顯示動畫），度量角的度數，比較角的大小即可. 在實際問題中，有時候不太方便測量角度的大小，那你們還有別的方式刻畫坡面的傾斜程度嗎？（稍作停頓）

師：換言之，能否在不度量角度的情況下，比較兩個角的大小呢？可以嘗試從邊的角度來思考.

生3：我想嘗試作垂線，比較垂線段的長短.

師：請同學們借助操作紙試一試.

生3：我發現，只看垂線段的長度并不能說明角的大小，垂線段與角的頂點距離近一點時，就短一點；遠一點時就長一點，所以這一做法沒法比較.

師：那有沒有辦法能使垂線段具有可比性呢？

學生自主探索，教師則個別指導. 當學生思考一會兒后，進行組內交流，教師請部分小組展示他們的思考成果.

小組1：我們在兩個角的邊上先截取相同的長度（AB=A′B′），再分別向底邊作垂線段BC和B′C′（如圖1所示），在這兩個直角三角形中進行比較，結果發現BC<B′C′，于是我們小組猜想對邊長的角度大. 當然，我們組還發現，AC>A′C′，于是猜想鄰邊長的角度反而小.

小組2：我們組的想法和小組1的想法有點相像，區別在于我們是截取鄰邊相等，然后比較對邊的長度，結果發現BC<B′C′，于是猜想對邊長的角度大；或者比較斜邊的長度，發現AB<A′B′，于是猜想斜邊長的角度大.

師：剛才兩個小組操作中的“截取”，可以看作是固定了垂線段的相對“位置”. 借助剛才的過程，大家想一想，能不能在不截取相同長度的情況下直接通過直角三角形中邊的關系比較角的大小. 請借助操作紙試試看.（教師給予學生一段時間研究，并讓學生互相交流）

生4：之前固定“位置”后就好比較了，我想，這些線段的長度是相對的，于是我任意作垂線BC和B′C′，度量出兩個三角形三邊的長度（如圖2所示），計算對邊與鄰邊的比值. 計算后第一個三角形的比值約0.45，第二個三角形的比值約0.91，所以第一個三角形的比值比第二個三角形的比值小.

師：有和生4一樣計算對邊與鄰邊的比值的同學嗎？（有一些學生點點頭）你們也發現第二個三角形的比值比較大嗎？

生5：我的大小關系和生4的一樣，不僅如此，計算的比值都和生4的一樣.

師：這是巧合嗎？我們晚一點點再來解決這個問題. 你們還有其他的方法嗎？

生6：我是計算對邊與斜邊的比值，分別約0.41和0.67，發現也是第一個比值比第二個比值小.

……

師：那這些邊的比值到底能否刻畫角的大小呢？這就是我們接下來這章所要研究的內容. 本節課我們便從其中的一種開始研究，也就是直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比值能否幫我們刻畫銳角角度的大小.

設計意圖 引入生活實例，體現數學源于生活，激發學生的學習興趣. 學生通過動手操作，在控制變量的情況下，初步感受直角三角形中，角的大小可以通過邊的長度之間的關系來比較，并提出猜想.

2. 合作探究，明晰概念

探索活動：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的大小能否通過∠A的對邊與鄰邊的比值來刻畫呢？

師：為了探索∠A的大小能否通過它的對邊與鄰邊的比值來刻畫，我們首先得確定這個比值會不會因為邊的長度的變化而發生改變.

請學生借助操作紙，邊操作邊思考.

生7：我發現在射線AB上取不同的點，作垂線后得到的直角三角形都相似（如圖3所示），所以∠A的對邊與鄰邊的比值相等. 所以不管點取在哪里，這個比值都不變.

（具體證明過程略）

師：那么改變角的大小，這個比值會改變嗎？

學生借助操作紙，經歷“作圖—測量—計算”過程.

生8：我畫了一個30°的角，在它的一邊上取一點后作垂線，度量出兩條直角邊的長度，計算出30°的對邊與鄰邊的比值約等于0.6.

生9：我畫了一個40°的角，用同樣的方法計算出來的比值約等于0.8.

……

教師借助幾何畫板向學生展示：銳角取任意值時，都能計算出對應比值；當銳角角度發生變化時，比值也會發生變化；當角度確定時，比值也隨之確定.

師：那比值與角度之間的這種關系與之前我們學習過的什么概念比較類似？

生（齊）：函數.

師：對，這是一種新的函數.它揭示了直角三角形中邊與角之間的關系. 那你們能表示出對邊與鄰邊的比值與角度之間的函數關系嗎？能像一次函數、反比例函數、二次函數關系式那樣具體嗎［4］？

教師給予學生一些時間，學生也認真討論了，但很快他們便沒有了方向.

師：過去，1÷7除不盡，我們用來表示其準確值；在與圓有關的計算中，我們用π來準確表示圓周率；我們還用x=±來準確表示方程x2=3的解. 數學家們為了能夠準確地表達我們今天研究的這個函數，創造了一個符號，即tan（板書）.（如圖4所示）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的對邊a與鄰邊b的比值稱為∠A的正切，記作tanA，即tanA=∠Ａ的對邊/∠Ａ的鄰邊=BC/AC=a/b.

教師詳細介紹“tanA”的讀法、寫法以及注意事項，要求學生嘗試寫出∠B的正切表達式.

設計意圖 讓學生經歷作圖—度量—計算—推理等過程，能讓學生感受到比值與角度這兩個變量之間存在函數關系，從而獲得數學基本活動經驗. 這樣的教學過程能加深學生從函數的角度認識正切，能為學生以后更深入地學習三角函數打下基礎，從而提升學生的數學素養.

3. 運用概念，深化理解

例1 如圖5所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，請求出∠A，∠B的正切值.觀察計算結果，你有什么發現？

變式1 在例1的條件下，CD是AB邊上的高，嘗試用不同的方法求∠ACD的正切值.

變式2 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=，求AC和AB的長.

歸納總結：互余的兩個銳角正切值互為倒數；正切值可以借助定義直接求解，也可以用等角轉換來求解；題目中已知正切值時，可以將其轉化成比值來解題.

例2 在等邊三角形ABC中，AB=6，求tanA的值.

變式1 tan60°=_______，tan30°=_______.

變式2 tan45°=_______.

讓學生體會到要解決正切問題，需要構造直角三角形，作垂線是常規作法.

設計意圖 通過例題教學，深化學生對正切函數的理解，讓他們掌握解決相關問題的基本策略，提升分析問題和解決問題的能力，滲透數學模型思想.

4. 知識梳理，小結提升

略.

回顧反思

1. 在經歷中生成概念

正切作為初中階段研究的最后一個函數，相較于之前研究的函數，它更加抽象，學生無法找出銳角度數與邊的比值之間明確的對應法則，這種抽象性學生也無法用已有的符號進行表示，加上函數概念本來就具有抽象性，這就給學生帶來了巨大的認知困難.

這節課設計了兩次操作活動. 教學伊始，教師從學生熟悉的斜坡入手，引導學生思考如何刻畫斜坡的傾斜程度，如何想到銳角與兩條邊的比值存在關系，如何刻畫這樣的關系.在學生操作的過程中，教師穿插問題引導，讓學生在自我探究的同時，也能有方向可尋. 教師在教學過程中故意放慢正切概念的形成過程，讓學生充分經歷操作、觀察、思考、推理等活動，以加深學生對概念的感悟，理解正切的本質. 當學生經歷了整個探索過程，發現了銳角角度與對邊、鄰邊的比值是函數關系后，教師再介紹正切的概念和符號，就變得水到渠成了.

2. 在交流中促進發展

數學課中的活動必須要體現思維的訓練，因為數學是一門啟迪學生智慧的學科. 時下的課堂不缺學生的參與，但更多的是表面熱鬧，而深度參與不夠. 本節課以生為本，隨著內容不斷深入，教師以問題串的形式將學生剛開始的積極參與，逐步引導為深度思考. 其中的每個問題教師都會反復斟酌，選擇最恰當的方式，幫助學生“搭”思維的腳手架.

當然，本節課教師也給予了學生充分交流和表達自己的時間與空間. 在每一次學生發言時，教師都認真傾聽，并及時給予肯定，讓學生敢于表達自己的想法，同時尋找學生思維中的閃光點，以問題的形式，加深學生的思考. 在課堂中，教師營造良好的數學研究氛圍，讓學生在交流中發展能力，增長智慧.

3. 在過程中滲透思想

“銳角三角函數”這一章涉及很多數學思想，教師若能在教學過程中進行適當滲透，必能達到事半功倍的效果. 例如本節課的教學內容能幫助學生認識“數形結合”思想——在具體的問題中，教師引導學生借助已有的圖形來分析邊與角之間的關系，在特殊的情況下，能構造直角三角形來輔助解決問題，將正切函數與直角三角形緊密聯系在一起.

本章內容亦是培養學生符號意識的理想材料. 要想讓學生接納并理解一個數學符號，必須讓他們體會到使用這個符號的必要性和優越性. 在本節課中，學生自主探索并發現銳角度數與兩直角邊的比存在函數關系，但這個關系卻不能被準確表達. 于是教師引導學生類比分數表示除不盡的數、π表示圓周率、根式表示開方開不盡的數，得出這里也需要用一個符號來表示這兩者之間的函數關系，從而讓他們體會到符號引入的必要性. 在后續問題的解決過程中，學生也能體會到用這樣的符號表達正切函數，非常方便、簡潔，能體會到符號的優越性.

參考文獻：

［1］黃林娟. 初中《銳角三角函數》教學現狀調查及研究［D］. 杭州師范大學，2017.

［2］劉一凡，陳算榮. HPM視角下初中“正切”概念教學設計［J］. 上海中學數學，2020（11）：13-15.

［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］李東. 經歷與思想并重——“正切”教學實錄與反思［J］. 中學數學月刊，2020（09）：1-3+6.

作者簡介：羅尉（1989—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作，曾獲江蘇省青年教師基本功大賽一等獎.