例談支架式教學在初中數學課堂教學中的應用

［摘? 要］ 中考數學壓軸題由于涵蓋的知識點多，具有較強的綜合性，學生普遍存在分析解答上的思維困惑. 支架式教學為解決此類問題提供了一種有效的探索. 支架式教學應當為學生理解知識提供一種概念框架，即把復雜的學習任務有效分解，一步步為學生提供適當的問題支架或建議支架，幫助學生逐步發現和解決問題，培養學生獨立學習的技能，進而提升學生的學科素養. 文章結合2021年度江蘇省徐州市的一道中考壓軸題的分析，從搭建腳手架、進入情境、獨立探索、協作學習和效果評價五個環節探討支架式教學的價值.

［關鍵詞］ 支架式教學；初中數學；課堂教學

中考數學壓軸題承擔著提升命題區分度，發展學生學科素養的功能，涵蓋的知識點多，具有較強的綜合性. 這類問題通常由于條件隱蔽，關系復雜，致使大部分學生難覓思路，望而生畏. 如果在平時教學中，教師能給學生搭建一個云梯，學生或許能順勢走出思考的低谷，攀上思維的山峰. 支架式教學給學生的就是這樣一架“云梯”. 支架式教學應當為學生理解知識提供一種概念框架，是以培養學生自主學習能力和問題解決能力為目標的教學. 具體指事先把復雜的學習任務有效分解，一步步為學生提供適當的問題支架或建議支架，學生在這些具體支架的引導下，小步調攀升，逐步解決問題，掌握所學知識. 同時把學生的智力從潛在水平引導到更高的新的水平，更好地發展學生的高階思維能力，促進學生核心素養的達成.

筆者以2021年徐州市中考數學第28題為例，淺談支架式教學解決這種大型壓軸題所表現的價值以及引領功能.

例題? （2021年徐州市中考數學第28題）如圖1所示，正方形ABCD的邊長為4，點P在邊AD上（P不與A，D重合），連接PB，PC.將線段PB繞點P順時針旋轉90°得到PE，將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到PF.連接EF，EA，FD.

（1）求證：①△PDF的面積S=（1/2）PD2：②EA=FD；

（2）如圖2所示，EA，FD的延長線交于點M，取EF的中點N，連接MN，求MN的取值范圍.

該題凸出考查正方形的性質、圖形旋轉、直角三角形的性質以及全等三角形等相關知識，是一道具有較強思維含量的四邊形綜合題. 根據支架式教學的內涵特征，可以從以下五個環節（即搭建腳手架、進入情境、獨立探索、協作學習、效果評價）引導學生試著解決該題，獲得獨立解決問題的技能.

搭建腳手架——分解重難點

學生獨立解題時的能力和教師指導下的潛在發展水平之間存在一定差異，這種差異就是最近發展區. 按照最近發展區的要求，圍繞當前問題中的難點與核心部分，將復雜的問題有效分解. 幾何問題的突破關鍵是添加輔助線，提煉模型. 幾何圖形中添加輔助線通常是“有跡可循”的，根據條件尋找題目中隱含的基本模型，注重對基本圖形的提煉與變化，便是本題的切入點.

常見的支架形式有問題支架、情境支架、范例支架、建議支架等，而問題支架是學生在學習過程中最常見的支架，為此通過搭建以下幾個問題支架，有效分解復雜的問題，降低問題的難度，輔助學生完成解答.

問題支架1：證明線段相等，常用的方法是構建全等三角形.

問題支架2：本著“承上啟下”的原則，弄清問題間是“平列關系”還是“遞進關系”.

問題支架3：“特殊的點，特別的愛”，深度關注第（2）問中的附加條件“點N是EF的中點”，并加以智慧運用，可巧妙轉化問題“MN的取值范圍”.

進入情境——深度理解

高質量的問題情境能有效啟發學生思考. 三個問題支架建立在學生的最近發展區內，源于題目本身，又對解決問題起著驅動作用，是學生深度理解問題所需要的. 像這類大型解答題，如果沒有問題支架的幫扶，很多學生會感到無所適從. 而現在通過問題支架的引領，有效分解復雜的問題，消除學生的畏懼心理，能產生真正吸引學生的力量，使學生走進解決問題的情境中來，感受一些教師所經歷的思維過程，在心理上增加學生解決問題的信心和勇氣.

獨立探索——逐步攀升

在學習過程中，學生本身就是一個積極的探索者. 讓學生自己獨立去思考、去探索、去發現，做學習的主人，充分發揮學生學習的主動權，這是每一位教師都應該做的最有意義的引導. 針對問題的復雜性，開始先由教師啟發引導，然后再讓學生自己分析. 根據問題的難度情況，起初的分析步調可以小一些，引導和幫助可以多一些，隨后逐漸減少幫助，愈來愈多地放手讓學生自己探索分析，獲取自己的認知成果，嘗試跨越最近發展區.

對于問題（1）的第①問“求證：△PDF的面積S=（1/2）PD2 ”，根據三角形的面積公式，可以通過添加輔助線“PD邊上的高FH”，將原問題轉化為“證明PD=FH”.學生借助自己的解題經驗，依據題意中的∠FPC=90°，構建全等模型之內弦圖，完全有能力自己解決這個問題.

對于問題（1）的第②問“求證：EA=FD”，由于兩條線段之間沒有聯系，直觀性不強，學生解決起來有一定難度. 教師可以根據學生的實際水平，將此問題分解成一些小的問題支架，幫助學生更好地探索. 比如，類比第①問中的∠FPC=90°的應用，處理∠EPB=90°；設PD=x，試著證明△AEQ≌△FDH（見圖3）. 在探索過程中要給予學生充足的思考時間，鼓勵學生勇敢地沿著支架慢慢攀升，一邊攀升一邊內化支架，理解問題，特別是對隱性知識的挖掘和基本模型的提煉有進一步的體悟.

對于問題（2）“求MN的取值范圍”，對學生而言區分度強、難度大，需要教師提供問題支架，以保證學生即使不能獨立完成任務，也可以使學習過程順利地進行下去. 比如，問題支架2提出的“承上啟下”的原則，是指借助EA=FD推導全等三角形，進一步猜想△EMF的形狀并嘗試證明；問題支架3中的“特殊的點，特別的愛”，即通過附加條件“N是EF的中點”，結合△EMF的形狀，把問題“求MN的取值范圍”轉化為“求EF的取值范圍”，進一步根據經驗，在直角三角形中用勾股定理求線段的長度來解決問題. 這些問題支架使學生的探索活動得以持續進行，使學生原本看起來不可能完成的任務有了成功的可能，增加學生的解題信心的同時，提高學生的認知水平.

問題解決中的大大小小的“支架”類似于程序中的轉換功能，每一層支架都是在轉換思想，把未知轉向已知，把復雜轉向簡單. 若干個小問題在不斷裁剪、組合、轉換的過程中，層層遞進，既豐富學生的思維，又為不同層次的學生展示自己的水平創造平臺，使學生在日后通過搭建支架的方法支持自己學習，完成問題解決.

協作學習——討論展示

通過恰當的教學干預，在個人獨立探索的基礎上，為建構知識展開必要的小組討論，進一步為學生學習提供“小支架”. 在討論過程中多種意見相互矛盾，爭論激烈，原本不確定的答案變成確定，原本迷茫的思路變得清晰，原本“走投無路”的誤區變成“柳暗花明”的正道，原本眾說紛紜的觀點逐漸趨于一致. 這些觀點的交流、碰撞、爭辯，使學生統一思想，達成共識. 逐步解除之前設置的大小支架，內化吸收，對當前問題的體悟和理解更全面，使思維走向更深處.

如圖3所示：

（1）問題（1）的第①問“求證：△PDF的面積S=PD2”.思路展示：根據題意，PC繞點P逆時針旋轉90°得到PF，可知PC=PF且∠CPF=90°，從而構造△CDP≌△PHF，所以PD=HF，所以△PDF的面積S=PD2.

（2）問題（1）的第②問“求證：EA=FD”. 思路展示：構造△PEQ≌△BPA，得到EQ=AP，PQ=AB，然后證明線段AQ=PD=FH（這步很關鍵，也是這一問的難點所在），最后證明△AEQ≌△FDH，得到AE=FD.

（3）問題（2）“求MN的取值范圍”. 思路展示：由△AEQ≌△FDH，可得∠1+∠2=90°，故∠AMD=90°，得出△EFM是直角三角形.由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得MN=EF，將“求MN的取值范圍”轉化為“求EF的取值范圍”.

（4）求線段EF的長度. 思路展示：過點F作FG⊥EQ，垂足為G. 設PD=x（0<x<4），則FH=AQ=x，AP=DH=EQ=4-x，故FG=QH=8，EG=EQ-FH=4-2x.在Rt△EFG中，由勾股定理得EF==.

（5）確定EF的取值范圍. 思路展示： 根據0<x<4，所以8≤EF<4，所以4≤MN<2.

思維成果共享的展示過程，既深化學生對問題全面正確的理解，又促進學生對知識的深層認知. 教師在肯定贊許這種解答過程的同時引導學生回顧完整的答案，重新斟酌，整合知識，從相互轉化的角度創新思考：對于線段MN的長度，還可以借助哪種方法求解？學生受到剛剛成功解答的鼓舞和教師的激發，課堂再次活躍起來，集思、討論、交流……拋開原有的思路，大膽嘗試新方法. 當學生集體困惑時教師適時給出提示支架——采用解析幾何法，建立平面直角坐標系，設關鍵點E，F的坐標，利用平面內兩點間的距離公式表示EF的長度. 學生順著提示支架定能發現“建系”思路，從而進一步創新解題方法，深化對答案的理解，提升知識間的綜合轉化能力.

（6）“建系”思路展示：如圖4所示，以點B為坐標原點，BC所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立平面直角坐標系. 由AQ=PD=x，EQ=AP=4-x，得點E的坐標為（-x，8-x）；由FH=PD=x，DH=AP=4-x，得點F的坐標為（8-x，x+4）；由平面內兩點間的距離公式，得EF=……用代數法研究幾何圖形，體現了數形結合思想，再一次豐富了學生的認知結構，促使學生形成了勇于探索創新的精神，讓教學走在了發展的道路上.

效果評價——反思提升

對學習效果的評價可以是自評、他評或組評. 教師通過問題解決的全過程，引導學生充分反思，做出相關評價.

（1）自學能力的評價. 你能獨立解決本題到什么程度？在你獨立解題時是否關注過對隱含條件的挖掘，對幾何模型的提煉？對題目中的某個關鍵條件你是如何處理的？突破難點時是否有效利用了支架的輔助功能？有沒有多角度地創新解題思路？

（2）對小組學習做貢獻的評價. 有沒有參與小組的討論并展示自己的觀點？在聆聽的過程中有沒有吸收他人的觀點？小組內的交流討論對你有哪方面的幫助？針對本題你為小組做了哪些貢獻？

（3）對本題知識建構的評價. 通過本題的解決你真正理解并掌握了相關知識嗎？能否規范整理出解答過程？思維、運算過程是否可以變得再簡捷些？解題開始時的困惑是心理上的障礙還是知識方法上的不足？通過問題的解決你獲得了哪些方面的收獲？這些收獲中對你幫助最大的是什么？這樣不斷地質疑、反思、評價能使學生的解題過程更清晰，解題思路更明朗，解題方法更靈活，有效完成知識建構.

數學學習實質是面向問題解決的學習，需要教師準確地分析學生的現有水平和潛在水平，帶領學生通過問題解決而達到新的發展水平. 支架式教學正是從學生思維的現有水平出發，利用支架有效等價轉化問題，提升學生的高階思維能力，引領學生學會利用各種途徑構建支架來支持自己學習，使自己慢慢成長為具有自主學習能力的學習者.

作者簡介：朱敏敏（1979—），本科學歷，中小學一級教師，從事初中數學教學工作.