邊界條件對經典非對稱相互作用晶格熱化的影響

張 軒,韓雨圻,賀達海

(廈門大學 物理科學與技術學院，福建 廈門 361005)

0 引 言

非線性晶格的熱化問題是一個擁有漫長歷史,但仍未完全被人們所理解的課題.該類問題往往會涉及到極高的自由度,使得直接通過理論方法對其進行研究存在著巨大困難.隨著計算機的誕生與發展,通過數值模擬對該問題進行研究已成為重要手段.最早的數值研究可以追溯到1955年,Fermi, Pasta, Ulam以及Tsingou (FPUT)通過研究在簡諧鏈基礎上增加非線性項后的晶格模型的正則模式能均分問題[1],實現了對非線性晶格熱化問題的研究.受限于當時的計算機算力的限制,Fermi等人并未看到期望的能均分現象,而只觀察到了能量在初始幾個低頻正則模式間來回傳遞的類周期性行為,即著名的FPUT回歸現象,這一研究對象也被人們稱為FPUT模型.之后的一系列工作表明,FPUT模型的熱化過程存在兩個時間尺度[2-6],在達到后一能均分時間尺度之前,存在著一個亞穩態的時間尺度,其對應于FPUT回歸現象.在這一結論的基礎上,人們又進一步借助數值模擬發現了FPUT模型的熱化時間標度行為[5,7-8],并借助波湍流理論[9-10]給出了這一標度行為的解釋.

綜上可知,數值模擬在非線性晶格熱化的研究中扮演著提供實驗現象與驗證理論預言的重要作用.不過值得注意的是,前人在數值模擬對稱相互作用類FPUT模型[10]和非對稱相互作用類FPUT模型[7,9]時均采用了固定邊界條件,前者由于不存在熱膨脹或熱縮效應,如此選取邊界條件可能并不會引入人為因素的干擾,與之相反的是,由于非對稱相互作用會使模型存在熱膨脹或熱收縮性質,此時如果依然采用固定邊界條件將不可避免地引入限制模型的這一性質的人為因素,這是否會導致人們錯過該類模型熱化過程中的一些重要特征仍未明了.基于這一考慮,本文將通過數值模擬對比不同邊界條件下,相互作用勢中非簡諧項分別為3,4,5次的類FPUT模型以及FPUT-α-β模型的熱化時間尺度同波湍流理論預測之間的差異.同時,我們將觀察FPUT-α-β模型在不同邊界條件下、不同時間尺度下的正則模式能量的均分情況,以了解不同邊界條件對非對稱相互作用晶格熱化性質的影響.

1 模型及數值方法

本文所研究的是由N個僅存在最近鄰非線性相互作用的原子所構成的一維單原子晶格模型,其無量綱化后的哈密頓量可寫作:

(1)

其中pi和qi分別代表第i個原子的動量和其偏離自身平衡位置的位移.當上式中的相互作用勢滿足形式

(2)

時,人們稱之為類FPUT模型,其中n為滿足n≥2的整數,λ為表征模型非線性強度的參數.值得注意的是,若式(2)中參數n和λ為某些特定情況,則回到Fermi等人一開始所采用的實驗模型并擁有特定的稱謂,例如:若n=3,λ=α,則為FPUT-α模型;若n=4,λ=β,則為FPUT-β模型;若同時存在三次和四次項,即相互作用勢滿足

(3)

時,則為FPUT-α-β模型.

本文中采用的熱化時間定義源自文獻[7],這個定義承襲自Fermi當年的實驗思路.通過計算正則模式空間的能均分時間定義了熱化時間,并基于此給出了類FPUT模型的熱化時間標度律.對于自由邊界條件,第k個正則模式的正則坐標Qk和正則動量Pk同實空間中的坐標qi和pi轉換關系為:

(4)

相應色散關系為:

(5)

對于固定邊界條件,第k個正則模式的正則坐標Qk和正則動量Pk同實空間中的坐標qi和pi轉換關系為:

(6)

相應色散關系為:

(7)

注意,由于文獻[11]中已證明類FPUT模型在N原子固定邊界條件下同相應模型的2N+2原子周期邊界條件等價,因此考慮到有限尺寸效應的影響,本文將不再單獨考慮數值模擬實驗中常用的周期邊界條件.給定了不同邊界條件下的正則模式頻率以及相應變換關系后,可進一步定義正則模式能量:

(8)

正則模式空間的能均分要求時間長度T的正則模式能量時間平均

(9)

滿足

(10)

其中η為時間窗口的控制參量,取值范圍為[0,1),用以調整時間平均所需處理數據的量,ε=E/N表示系統的能量密度,E為系統的總能量.經數值驗證,參數η的取值并不會給最終的數值結果帶來影響[7].之后,引入能譜熵

(11)

來衡量不同正則模式空間能均分的程度,其中

(12)

表示第k個正則模式的能量在整個正則模式空間總能量中的占比.需要注意的是,正則模式空間中的能量只包含系統總能量E(實空間)中的簡諧部分,因此它小于總能量E.這也是上述公式中分母未直接采用E的原因.在高能密度區域,這種差別會變得尤為明顯,因為此時系統總能量主要存在于非簡諧項中,導致正則模式空間和實空間中的總能量有較大偏差.為了減小這種偏差,在實際數值實驗中會采用自洽聲子理論來修正式(5)和式(7)中的ωk項,具體的細節和討論可參考文獻[12-13].不過,由于相互作用為非對稱勢的類FPUT模型的勢能在高能密度條件下會發散,因此只有相互作用為對稱勢的情況才需要做這一修正.在此基礎上,進一步引入有效均分自由度[7]

Q陳老師，您好！家有女寶3周歲11個月，小班。我曾經因為認字過程中她注意力不集中，或者認字不理想而發過火，造成孩子現在對學習認字特別沒興趣，她常很輕聲地但帶有情緒地，扭捏地或者直接說“媽媽告訴我”來應付，我該怎么做讓她重新產生興趣？

(13)

另外,如文獻[7]所述,當初始條件采用低頻激發時(利于觀察能量在正則模式之間的傳遞),可對上述定義熱化時間Teq的參數做出一定優化.其優化思路在于:低頻激發條件下,能量最初將集中于低頻區,因此真正決定系統是否熱化的其實是高頻區(設定為k>N/2的模式)的能均分情況.相應參數修改如下:

(14)

(15)

本文在自由邊界條件下模擬的粒子數為N=1 024,固定邊界條件下的模擬則為N=1 023,統一選擇均勻激發前10%的低頻模式作為初始條件,之后轉換到實空間中進行數值演化,演化過程采用文獻[14]中的八階辛算法,時間步長dt會根據能量密度的不同取不同的值以避免發散,當ε≤10-2時,取步長為0.1;當10-2≤ε≤102時,取步長為0.01;當102≤ε≤105時,取步長為0.001.經驗證,只要演化過程中數值不會發散,不同的步長設定并不會影響到最終的結果.另外,為了保證同前人固定邊界條件下的數值模擬結果一致,本文同樣取q0=qN+1=0作為晶格的固定邊界.同時,由于自由邊界條件的第一個正則模式代表的是晶格的整體位移,不會參與到正則模式間的能量傳遞,因此該正則模式在初始激發時將被越過.最后,為降低所得有效均分自由度的數值漲落,本文還將在初始均勻激發時引入24組隨機均勻分布于[0,2π]的相位φk,并通過如下方式設置初始條件

(16)

以實現系綜中不同系統的隨機相位平均.正則模式能量的時間平均窗口控制參量η=5/6.

2 波湍流理論與類FPUT模型熱化

波湍流(WT)理論是一種處理隨機非線性色散波的非平衡統計力學方法.通常情況下,該理論適用于處理弱非線性的色散波,因此也被稱為弱湍流理論.它最早可追溯到1929年R. Peierls在處理非線性相互作用晶體中的聲子動力學時的工作[15].該理論主要發展于1965年,當時科學家V.Zakharov發現了一類新的動力學方程解[16],WT理論所應用的系統從此被歸類為多自由度的強非平衡統計系統,例如湍流系統.這意味著WT理論不再局限于平衡或近平衡態的限制,從而激發了一系列新的物理應用.之后,VE.Zakharov與VS.L’vov和G.Falkovich于1994年出版了經典著作《Kolmogorov spectra of turbulence I: Wave turbulence》[17],這本書與S.Nazarenko的《Wave turbulence》[18]至今仍是希望了解WT理論的研究者的主要參考資料.需要注意的是,盡管WT理論適用于弱非線性條件,但根據前人的推導[11],我們已經知道在一維非線性晶格的熱化問題中,強非線性條件下得到的結果可以看作是弱非線性條件下結果的推廣.另外,由于已經有相關的研究利用WT理論推導了類FPUT模型的熱化時間標度律[11,19-21],因此本文將不再詳細介紹,直接給出了WT理論得到的類FPUT模型的熱化時間標度律結果,具體的推導過程可參考文獻[11,19].對于低能密度極限,相互作用勢滿足式(2)的類FPUT模型而言,根據WT理論,這類模型在熱力學極限下的熱化時間標度律滿足:(1)若n=3,Teq∝ε-2;(2)若n≠3,Teq∝ε-(n-2).對于高能密度極限,則有:Teq∝ε-1/n.

(17)

其中λ(n)代表n次非簡諧項的非線性強度參數.對于這類模型,可借鑒凝聚態物理中的多聲子散射過程弛豫律Matthiessen’s rule[22]來實現預測.也就是說,其熱化時間標度律將擁有

(18)

3 數值結果與討論

在展示各類FPUT模型的熱化時間數值結果之前,有必要先確認式(15)隨時間的演化過程以及相應的漲落程度.具體結果如圖1所示.

圖1 (a)自由邊界條件下的FPUT-α-β模型在α=-1,β=1時有效均分自由度ξ隨時間的變化圖(圖中的曲線展示了不同能量密度條件下的ξ(t),從左至右分別為ε=1.6×10-3,8×10-4,4×10-4,2×10-4,10-4.其中的黑色曲線表示的是24組初始條件給出的系統平均值,紅色誤差棒則表示了相應的標準差).(b)有效均分自由度ξ(t)同ε×t之間的函數關系(圖中曲線均為圖(a)中的數據.兩圖中的黑色實線和劃線均為參考線,分別代表ξ=0.5和ξ=1)

由圖1(a)可知,在自由邊界條件下,隨著ξ→1,誤差棒逐漸變長,即代表數值漲落較大,這一點在展現其標度行為的(b)圖中也有所體現.相應的固定邊界條件下的結果可在文獻[7]中找到,除了標度行為Teq∝ε-2.25不符合圖1(b)圖中Teq∝ε-1的結果外,其他方面均與上圖類似.需要注意的是,由于本文關注的是邊界條件的選擇是否會給熱化時間標度律的數值結果帶來影響,因此并未對有限尺寸效應的影響做更多的討論,相應數值結果可見文獻[7,10-11,19,22].

在對定義熱化時間的參數ξ的標度行為和漲落有了一定認識以后,我們首先考慮的是n=4的FPUT-β模型在自由和固定邊界條件下的熱化時間標度律對比,如圖2所示.

圖2 不同邊界條件下的FPUT-β模型在β=1時的熱化時間對比(圖中實線為斜率-0.25的參考線,劃線則為斜率-2的參考線,橫縱軸采用雙對數坐標)

圖2表明,當相互作用為對稱勢時,不同的邊界條件的選擇并不會給模型的熱化時間數值模擬帶來明顯的差別.經過與WT理論預測的高能密度極限下的Teq∝ε-0.25進行對比,可以看到數值結果和理論吻合的很好.另外,盡管在低能密度極限下,數值模擬結果給出的Teq∝ε-2.4和WT預言的Teq∝ε-2存在一定差異,但我們認為這是有限尺寸效應所致.通過在固定邊界條件下增加系統尺寸的研究(參考文獻[7,19]),我們發現熱化時間標度律的數值結果會隨著系統尺寸的增加,逐漸趨于WT理論的預測結果,這為我們的觀點提供了支撐.

接下來我們考慮相互作用為非對稱勢時,n=3的FPUT-α模型和n=5的類FPUT模型不同邊界條件下的熱化時間數值對比,分別如圖3和圖4所示:

圖3 FPUT-α模型在α=-1時的熱化時間在不同邊界條件下的對比(圖中黑色劃線為斜率-1的參考線,黑色實線則為斜率-2的參考線,橫縱軸采用雙對數坐標)

圖4 n=5的類FPUT模型熱化時間在不同邊界條件下的對比,其中非線性強度參數λ=-1(圖中劃線為斜率-3的參考線,橫縱軸采用雙對數坐標)

圖3和圖4表明當相互作用為非對稱相互作用勢時,邊界條件將會給模型的熱化時間帶來明顯的影響.有趣的是,自由邊界條件下FPUT-α模型的熱化時間不僅在絕對數值上和固定邊界條件下的相應結果存在差異,甚至出現了違背WT理論預言的標度律Teq∝ε-1.這意味著邊界條件的選擇可能導致除了WT理論以外的其他能量輸運機制的出現.另外,結合上文提到的Matthiessen’s rule和這里Teq(3)∝ε-1的數值結果,就解釋了為何圖1(b)中FPUT-α-β模型有效均分自由度ξ的標度行為同文獻[7]中不同了,畢竟在低能密度條件下,非線性項中起主要作用的應該是3次項.

除此之外,我們還發現在自由邊界條件下FPUT-α-β模型的熱化過程不存在亞穩態,這與前人文獻展示的固定邊界條件下的結果不同[7].

圖5(a)的結果同文獻[7]的結果一致,系統的正則模式能量在時間尺度T=103,104,105上并未繼續均分,即出現了亞穩態.這一結果對應于FPUT回歸現象,對其最早的研究可以追溯到著名的文獻[23].目前,它是少數幾個在FPUT熱化問題中沒有爭議的結論之一,并且已經有大量相關研究對其進行了討論.然而,如圖5(b)所示,自由邊界條件下系統的正則模式能量一直處于均分的過程中,未能出現如固定邊界條件下那樣明顯的亞穩態.與此同時,經驗證,擁有對稱相互作用的FPUT-β模型則在不同邊界條件下都給出相同的結果.這些結果表明,當晶格中的相互作用存在非對稱性時,一旦不再抑制由此引出的熱膨脹或熱收縮性質,系統將不再出現以往人們所熟知的孤立波[23]結果,正則模式之間的能量傳遞在一開始就是暢通的,對其做進一步探索將是非常有價值的課題.

4 總 結

本文研究了邊界條件對經典非對稱相互作用晶格熱化的影響.通過數值模擬,我們分別對比了n=3,4,5時的類FPUT模型以及FPUT-α-β模型在不同邊界條件下的熱化時間標度律和WT理論的預測結果的差異,發現當相互作用為對稱相互作用勢時,可以忽略邊界條件帶來的影響,與之相對的是,對于非對稱相互作用勢,邊界條件的選擇會給熱化時間帶來不可忽略的影響,甚至還可能導致除WT理論以外的其他能量輸運機制的出現.更進一步,我們通過數值模擬對比了自由和固定邊界條件下不同時間尺度下FPUT-α-β模型正則模式能量的均分情況,發現邊界條件的選擇甚至會影響到亞穩態的出現.綜上可知,邊界條件對于非對稱相互作用勢而言是一個不可忽略的重要因素,對其物理機制的深入理解仍有待進一步研究.