一種用于激光跟蹤儀的無紋波最少拍控制器＊

毛帥，刁曉飛，王先強，周輝，李安琪

（1.山東理工大學電氣與電子工程學院，山東 淄博 255000；2.中國計量科學研究院幾何量計量科學研究所，北京 100029；3.中電裝備山東電子有限公司，山東 濟南 250000）

激光跟蹤儀具有速度快、精度高和測量范圍大的特點，在航天航空、汽車制造、電子工業及大尺寸計量等領域具有廣泛的應用[1]。激光跟蹤儀是光機電一體化儀器設備，其運動跟蹤主要依靠俯仰和水平旋轉的2 部永磁伺服電機（PMSM）來實現。PMSM 伺服系統一般為位置環、速度環和電流環三閉環控制結構[2-3]，如圖1 所示。目前，PMSM 控制結構中的電流環和速度環工程實現時都采用PⅠ控制器，而位置環采用P 調節器。這種工程的實現具有簡易可行和強魯棒性等特點[4-5]。但是激光跟蹤儀需要有非常好的跟蹤精度，不然會引起跟蹤測量中斷并干涉測量誤差，常規的PMSM 三閉環控制系統不是完全適合激光跟蹤儀的應用要求，所以需要設計跟蹤精度更高、跟蹤效果更好的PMSM 控制系統。

圖1 PMSM 三閉環控制系統結構圖

本文中，筆者在使用常規電流環和速度環PⅠ控制器的基礎上，設計了一種能實現控制系統無紋波最少拍狀態的位置環控制器，從而改進常規的PMSM 三閉環控制系統，滿足激光跟蹤儀高精度和快速跟蹤的要求。

1 無紋波最少拍控制機理

具有數字控制器的離散控制系統如圖2 所示。圖2中，R（z）為參考輸入，E1（z）為系統誤差信號，D（z）為數字控制器，E2（z）為E1（z）經D（z）后的誤差信號，G（z）為離散系統其他功能模塊傳遞函數整合在一起的傳遞函數，C（z）為實際輸出。

圖2 具有數字控制器的離散控制系統

該離散系統的閉環傳遞函數和誤差傳遞函數分別為：

顯然，Φ（z）+Φe（z）=1，由式（1）和式（2）可求出數字控制器D（z），公式如下：

假設輸入為斜坡函數，則輸入R（z）可表示為：

式中：Kslope為斜坡函數斜率的數值；T為采樣時間的數值。

由此可得誤差信號E1（z）和E2（z），公式為：

一個采樣周期稱為一拍，經過最少拍使誤差信號E1（z）為0，實現系統的無穩態誤差輸出，則此時的離散系統稱為最少拍系統；在最少拍系統基礎上，如果經過有限拍后，使誤差信號E2（z）為固定值，將無紋波輸入到G（z），則此時的離散系統稱為無紋波最少拍系統。將E1（z）和E2（z）表示為z-1的多項表達式，即：

要實現離散系統的無紋波最少拍化，就是使式（7）和式（8）中的k1拍時刻及其以后所有時刻的e1為0，表明此刻跟蹤上了目標位移；并且使公式中的k2拍時刻及其以后所有時刻的e2為固定值，表明此刻沒有紋波，從而可避免紋波對系統造成損耗。

PMSM 控制一般采用最大轉矩電流比的控制策略：d軸電流Id為0，主要控制q軸電流Iq，當d軸電流確定后，電磁轉矩與q軸電流呈正比關系，從而實現電機的調速控制。根據PMSM 的電流方程、轉矩方程和運動方程，便可建立PMSM 控制系統的速度環和電流環仿真模型，如圖3 所示。圖3 中，Lq為q軸電感分量，s 為s 域算子，R為定子電阻，J為轉動慣量，B為阻尼系數，轉矩系數KL為1.5 倍的磁極對數Pn，總延遲時間Tc在控制中近似表示為一階慣性環節，30/π為速度單位rad/s 轉換為r/min 的單位換算系數。因為跟蹤儀的負載是固定不變且質心對稱的，所以運動方程不用考慮負載轉矩；并且使用有功阻尼方式對速度環進行PⅠ調節[6-7]，所以在速度環中添加了有功阻尼系數Ba。

圖3 PMSM 控制系統的速度環和電流環仿真模型

PMSM 控制系統的速度環和電流環都是采用PⅠ調節方式，因此，兩環整合在一起的閉環傳遞函數可以等效為一階低通濾波器（即使整合在一起的閉環傳遞函數不為一階低通濾波器形式，通過調整兩環的PⅠ調節器，也可將其變為一階低通濾波器形式），該一階低通濾波器離散域（z變換）形式為：

式中：A為放大系數；a為負的極點值。

一階低通濾波器形式的響應類似過阻尼響應，響應中沒有振蕩響應變化。從激光跟蹤儀的實際測量角度來說，因為電機運動控制過程中的跟蹤的抖動振蕩會使干涉光斑重疊度變小或使光斑位置在其精確測量區域外，這會導致激光跟蹤儀中斷其測量并使位移測量誤差變大，因此激光跟蹤儀的運動控制只允許有微小振蕩，所以速度環和電流環整合在一起的閉環傳遞函數最適合整定為一階低通濾波器形式。由此可得PMSM 離散控制系統整體模型，如圖4 所示。

圖4 PMSM 離散控制系統

對比圖4 和圖2，可看出位置環控制器P（z）就是圖2 中的D（z），Gvi（z）、I（z）就是圖2 中的G（z），其中I（z）為積分環節，I（z）=（30/π）/（1－z-1），通過設計P（z）就能實現PMSM 無紋波最少拍控制。

激光跟蹤儀的跟蹤的任意運動軌跡可看成許多非常微小段線性位移的集合，在某時刻一個微小線性段中軌跡速度不變（該速度為軌跡在此刻對應切線方向速度），在不同時刻不同運動速度的微小線段可以看成是不同斜率Kslope的斜坡函數。所設計的無紋波最少拍控制系統就是要實現在該線性段對應的采樣時間內使PMSM 跟蹤上實際軌跡位置點。取PMSM 離散控制系統的閉環傳遞函數和誤差傳遞函數，分別為：

由式（10）、式（11）和式（3）可求出對應的位置環控制器P（z），即：

此時E1（z）和E2（z）為：

由式（13）可看出控制系統第二拍后值為0，即表示跟蹤上了目標；由式（14）可看出控制系統第三拍后變成固定值，即表示此時控制系統無紋波。

2 仿真實驗

這里使用圖4 模型進行跟蹤仿真。其中，Lq=12 mH，R=0.958 Ω，J=0.003 kg·m2，B=0.008 N·s/m，KL=6，Pn=4，Tc=0.5 ms，Ba=0.013，另外磁鏈值為0.182 7 Wb，電流環的比例調節系數取31.68，積分調節系數取1 053.8，速度環的比例調節系數取0.058 8，積分調節系數取2.66。

在仿真之前要先確定輸入的斜坡函數最大斜率（即確定最大跟蹤速度）。如果輸入為單位斜坡函數，對應激光跟蹤儀跟蹤速度為360°/s，對應的在1 m 處的跟蹤線速度約為6.3 m/s，在10 m 處跟蹤線速度約為63 m/s，該速度已經可以滿足現有的測量跟蹤場景。所以，這里確定仿真時所輸入斜坡函數的最大斜率為1。

圖5 為3 種斜率輸入時對應的輸出響應及紋波情況（采樣時間為0.001 s）。由圖5 可看出，當第二拍時輸出跟上了輸入響應，并在第三拍后紋波消失，這與第二小節推導的最終結論一致。在跟蹤儀測量時，PMSM 旋轉多少角度（位置命令）是由光斑位置探測器測量決定的，光斑位置探測器采樣時間TPSD內可認為是速度不變的微小段線性位移。

圖5 3 種斜率輸入時對應的輸出響應及紋波情況

另外，由圖5 可知，只要光斑位置探測器的采樣時間TPSD大于等于3 倍的控制系統采樣時間Tcon，就可以實現控制系統的無紋波最少拍狀態。

圖6 為單位頻率正弦軌跡跟蹤效果圖。由圖6 可看出，軌跡跟蹤效果很好，在采樣點（采樣時間TPSD=0.003 s）上完全地跟蹤上了命令。目前，PMSM控制系統中的位置環一般為比例調節器，如果將圖4模型的P（z）（公式（12））換成比例調節器，其3 種不同比例值對應的單位頻率正弦軌跡跟蹤效果如圖7 所示。相較圖6，圖7 的跟蹤效果明顯較差，當比例較小時會存在延遲跟蹤現象，比例較大時會出現超量和欠量跟蹤交替出現的振蕩式跟蹤效果。如果是一般的PMSM 控制應用，小幅度振蕩式的跟蹤現象是可以接受的，但是在激光跟蹤儀應用中，這種情況極易引起跟蹤測量中斷并干涉測量誤差。

圖6 單位頻率正弦軌跡跟蹤圖

圖7 3 種不同比例值對應的單位頻率正弦軌跡跟蹤圖

3 結束語

針對激光跟蹤儀測量跟蹤時快速性和高精度的要求，筆者設計了一種能實現控制系統無紋波最少拍狀態的位置環控制器，改進了常規的PMSM 三閉環控制系統，使PMSM 控制系統能以最少采樣周期跟蹤上運動軌跡，而且能避免紋波干擾造成系統損耗。通過仿真實驗，驗證了該系統相較常規的PMSM 三閉環控制系統具有明顯的跟蹤優越性。