基于MSLDSMC窗的諧波與間諧波參數估計算法*

陳乾明,張志威,李明皓,汪旭明,雷可君

(吉首大學通信與電子工程學院,湖南 吉首 416000)

隨著我國新能源及智能電網技術的不斷發展,電力諧波對電力系統的影響日益擴大.為了減小設備損耗、提高電能質量,需要采取有效措施來應對諧波問題[1-3],而準確檢測電力諧波的各項參數是解決諧波問題中的重要一環.目前,應用較多的電力諧波檢測方法有瞬時無功功率理論[4]、小波變換[5]、人工神經網絡[6]及快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)[7-8]等.其中,FFT算法具有估計精度高、計算簡單及運算速度快等優點,廣泛應用于諧波檢測中.然而,在非同步采樣過程中,該算法不可避免地會出現柵欄效應和諧波泄露,降低諧波估計的精度.針對FFT算法的不足,通常利用窗函數來抑制頻譜泄漏,同時結合多種插值算法以減少柵欄效應造成的誤差[9-10].常用的窗函數有Hanning窗、Blackman窗、Nuttall窗、Rife-Vincent窗及Kaiser窗等[11].特性優良的窗函數具有主瓣寬度窄、旁瓣峰值電平低和旁瓣衰減速率快等特點,而旁瓣特性決定了窗函數抑制頻譜泄漏的能力.為了進一步提升窗函數的旁瓣性能,學者相繼構建了自乘窗[12]及自卷窗[13].這2類窗函數的旁瓣性能大幅提升,抑制頻譜泄漏的能力得到進一步改善,但同時也存在一些問題:自乘窗的主瓣寬度會隨著自乘計算次數的增加而增加,導致頻率分辨率降低[14];自卷窗的序列長度會隨著卷積計算次數的增加而增加,導致計算量增大[15].此外,當所采用的母窗旁瓣性能不夠理想時,即便經過乘積或卷積計算后,窗函數的旁瓣性能得到了一定的改善,但估計精度的提升仍然是有限的[16-17].應用較多的插值算法有雙譜線[18]、三譜線[19]、四譜線[20]和六譜線[21]插值算法.它們都是利用目標譜線附近多根譜線獲取信息,不過雙譜線插值算法對譜線信息的利用不夠充分,而四譜線插值與六譜線插值算法盡管利用了更多的譜線信息,但是計算復雜度也隨之提高[22].相較而言,三譜線插值算法能兼顧估計精度和計算復雜度的要求[23].

綜上考慮,筆者擬利用具有優越旁瓣性能的6項最大旁瓣衰減(Maximum Side Lobe Decay,MSLD)窗[24]并綜合自乘窗與自卷窗的優勢,構建MSLD自乘-卷積(MLSD Self-Multiplication-Convolution,MSLDSMC)窗,再在此基礎上,與三譜線插值算法相結合,設計一種新的高精度三譜線插值電力諧波檢測算法,推導信號幅值、頻率及相位的估計公式,以期進一步提高諧波與間諧波各項參數檢測的精度.

1 最大旁瓣衰減自乘-卷積窗

1.1 最大旁瓣衰減窗

這里:a0=0.246 093 750,a1=0.410 156 250,a2=0.234 375 000,a3=0.087 890 625,a4=0.019 531 250,a5=0.001 953 125.將MSLD窗與幾種經典余弦組合窗函數進行比較,它們的頻域特性參數見表1,幅頻特性曲線如圖1所示.

表1 MSLD窗與幾種經典余弦組合窗函數的頻域特性對比Table 1 Frequency Domain Characteristics Comparison of MSLD Window Function and Several Classic Cosine Combination Window Functions

圖1 MSLD窗與幾種經典余弦組合窗函數的幅頻特性對比Fig. 1 Amplitude-Requency Characteristics Comparison Between MSLD Window Function and Several Classic Cosine Combination Window Functions

由表1和圖1可知:窗函數主瓣寬度會隨著窗函數項數的增加而增加,頻率分辨率會相應降低;Hanning窗和Blackman窗有較小的主瓣寬度,但旁瓣峰值電平太高,4項1階Nuttall窗旁瓣峰值電平最小,但旁瓣衰減速率太慢,因此它們的旁瓣特性都不夠理想;與4項3階Nuttall窗、4項5階Nuttall窗和5項1階Rife-Vincent窗相比,MSLD窗的旁瓣峰值電平更低,旁瓣衰減速率更快,能更有效地減少頻譜泄漏造成的計算誤差.因而,本研究采用MSLD窗作為母窗,構建MSLDSMC窗對信號進行加權處理.

1.2 MSLDSMC窗的構建

p個長度為M的MSLD窗,在時域經p-1次乘積計算后得到p階MSLD自乘窗.考慮到隨著乘積運算階數的增加,窗函數主瓣寬度也會增加,因此為了確保頻率分辨率,本研究只進行1次乘積運算.乘積運算不改變窗函數長度,故2階MSLD自乘(MLSD Self-Multiplication,MSLDSM)窗的時域表達式為

(1)

其中bi為窗函數系數,具體取值見表2.

表2 MSLDSM窗函數系數Table 2 Coefficients of MSLDSM Window Function

為了兼顧算法復雜度和估計精度要求,利用wMSLDSM(m)進行1次卷積計算后得到MSLDSMC窗,其時域表達式為wMSLDSMC(n)=wMSLDSM(m)*wMSLDSM(m),其中n=0,1,…,N-1,N為MSLDSMC窗函數的長度.為了便于FFT實現,經過卷積計算后在序列末尾進行補0操作,使得離散MSLDSMC窗的長度N=2M.

1.3 MSLDSMC窗頻域特性

由(1)式可得MSLDSM窗的頻域表達式

其中:ω為角頻率;WR(ω)為矩形窗的離散頻譜函數,

根據卷積定理,函數在時域進行卷積等效于在頻域進行乘積.利用離散傅里葉變換性質,MSLDSMC窗的頻域表達式為

WMSLDSMC(ω)=(WMSLDSM(ω))2.

(2)

令ω=2πk/N,k為離散頻譜線的序號,k=0,1,…,N-1.由于在實際應用中N通常遠遠大于1,因此(2)式可近似表示為

其中c=0,±1,±2,….當c=±1時可得,MSLDSMC窗的主瓣寬度BMSLDSMC=44π/M=88π/N.

選擇長度M=64的MSLD窗構建MSLDSM窗和MSLDSMC窗,幅頻特性如圖2所示.

圖2 MSLD,MSLDSM和MSLDSMC窗幅頻特性Fig. 2 Amplitude-Frequency Characteristics of MSLD.MSLDSM and MSLDSMC Windows

由圖2可知:MSLDSMC窗與MSLDSM窗的主瓣寬度相等,且相較于MSLD窗的主瓣寬度更大;MSLDSMC窗的旁瓣峰值(-301.83 dB)遠低于MSLD窗的旁瓣峰值(-87.94 dB)和MSLDSM窗的旁瓣峰值(-152.26 dB),且MSLDSMC窗具有更快的旁瓣衰減速度.由此可知,MSLDSMC窗相比MSLD窗和MSLDSM窗的旁瓣特性改善很大,能更有效地抑制頻譜泄漏.

2 基于最大旁瓣衰減自乘-卷積窗的三譜線插值算法

設離散化的單頻信號為

(3)

其中A0,f0,θ0分別為信號的幅值、頻率和相位,fs為采樣頻率.由于復譜序列具有對稱性,因此一般忽略負頻點峰值的影響.對(3)式疊加MSLDSMC窗后進行傅里葉變換,可得

(4)

其中ω0=2πf0/fs.將(4)式離散化,令ω=2πk/N,ω0=2πk0/N,可得

(5)

(6)

可以看出γ是關于ε的函數,記為γ=g(ε).理論上,通過求解(6)式可得ε=g-1(γ),但這種操作使得計算復雜度高,不利于實時估計,而采用最小二乘法得到ε的多項式估計式的計算復雜度大大降低.ε的表達式為

ε=g-1(γ)=5.505 949 177 228 290 0γ-0.360 510 245 886 963 0γ3+

0.047 234 928 916 999 2γ5-0.007 707 827 943 080 4γ7,

從而可確定信號頻率的修正公式為f0=k0Δf=(k1+ε)fs/N,信號相位的修正公式為

θ0=arg(X(k1))-π(ε-0.5).

利用y1,y2,y3作幅值修正,因為k1最靠近真實峰值頻譜,對參數估計的影響最大,所以對這根譜線賦予權值2,而對譜線k2,k3分別賦予權值1.結合(5)式,可得信號幅值的修正公式

(7)

考慮到(7)式是關于ε的復雜函數,不利于實時計算,故仍利用最小二乘法求得簡化后的多項擬合式A0=N-2(y2+2y1+y3)h(ε),其中

h(ε)=65.954 764 271 573 910+2.995 806 576 073 435ε2+0.069 064 953 701 636 3ε4+

0.001 083 987 688 066 51ε6.

3 仿真分析

3.1 整次諧波信號參數估計實驗

為了驗證新算法的有效性,對含有14次諧波成分的弱幅值信號進行參數估計.假設該信號表達式為

(8)

其中:f為基波頻率,f=50.1 Hz;fs為采樣頻率,fs=2 500 Hz;N為采樣長度,N=2 048;h為諧波次數;Ah,θh分別為諧波信號的幅值和相位.具體參數設置見表3.

表3 諧波信號參數設置Table 3 Harmonic Signal Parameter Setting

將MSLDSMC窗與采樣長度相同的MSLD窗和MSLDSM窗分別對(8)式所示的信號進行仿真分析,并采用三譜線插值算法進行諧波參數估計,估計所得的基波各次諧波信號的幅值、頻率和相位的相對誤差如圖3所示.

圖3 復雜諧波信號幅值、頻率和相位的相對誤差Fig. 3 Relative Errors of Amplitude,Frequency and Phase of Complex Harmonic Signals

由圖3可知:在相同條件下,采用新算法對諧波進行分析,估計所得的幅值、頻率和相位的相對誤差絕對值范圍分別為10-13～10-11(圖3(a)),10-16～10-14(圖3(b)),10-15～10-10(圖3(c)),與MSLD窗和MSLDSM窗的三譜線插值算法相比具有更高的估計精度;圖3(b)中,新算法估計所得第3次諧波的頻率相對誤差為0;第11,13,14次諧波的幅值都偏小,但是新算法估計所得的幅值相對誤差絕對值分別為1.21×10-11,1.18×10-11,3.55×10-12,說明新算法估計整次弱幅值信號時精度較高.

3.2 間諧波信號參數估計實驗

電網在實際運行中產生的間諧波不僅會造成電壓、電流波動,還會干擾用電設備的正常運行,危及電力系統的安全運行,故進行間諧波參數的高精度估計非常有必要.為了驗證新算法估計間諧波參數的有效性,仿真過程選用6次間諧波組成的信號,信號表達式為

(9)

其中:p為諧波次數;Ap為諧波幅值;fp為諧波頻率;θp為諧波相位;fs為采樣頻率,fs=2 500 Hz.間諧波信號幅值、頻率和相位的具體參數設置見表4.

表4 間諧波信號參數設置Table 4 Inter Harmonic Signal Parameter Setting

利用新算法和基于MSLD窗三譜線插值算法分別對(9)式描述的信號進行參數估計,仿真結果見表5和表6.

表5 新算法估計間諧波信號各參數的相對誤差Table 5 New Algorithm for Estimating the Relative Error of Parameters of Inter-Harmonic Signals

表6 基于MSLD窗三譜線插值算法估計間諧波信號各參數的相對誤差Table 6 Three Spectral Line Interpolation Algorithm Based on MSLD Window for Estimating the Relative Error of Parameters of Inter-Harmonic Signals

對比表5和表6可知:與基于MSLD窗三譜線插值算法相比,新算法估計所得的幅值相對誤差降低了2個數量級,頻率相對誤差降低了2～3個數量級,相位相對誤差數量級降低了2～4個數量級;頻率相對誤差結果中,新算法估計所得的第4次間諧波信號頻率的相對誤差為0.由此可見,新算法估計間諧波信號參數時精度較高.

3.3 基頻變動實驗

信號基波頻率(基頻)的變動會導致非同步采樣發生,進而影響信號諧波估計精度.因此,驗證新算法在基頻變動情況下參數估計的穩定性是十分重要的.電力系統基頻偏差的最大范圍為0.5 Hz,故設頻率fi是f在范圍49.5～50.5 Hz內以步長為0.1 Hz變動.對(8)式描述的諧波信號進行參數估計,各次諧波信號參數的相對誤差如圖4所示.

圖4 基頻變動時幅值、頻率和相位的相對誤差Fig. 4 Relative Errors of Amplitude,Frequency and Phase with Fundamental Frequency Changes

由圖4可知,在基頻變動的情況下,各次諧波信號幅值、頻率和相位的相對誤差絕對值分別不超過1.20×10-11(圖4(a))、9.13×10-15(圖4(b))和2.89×10-10(圖4(c)).可見,新算法在基頻變動時同樣估計精度較高.

5 結語

鑒于MSLD窗比經典的余弦窗具有更優異的旁瓣性能,筆者利用乘積和卷積運算構建了MSLDSMC窗,并設計了一種基于MSLDSMC窗三譜線插值的諧波與間諧波參數估計算法.與MSLD窗函數相比,MSLDSMC窗具有更低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰減速度.整次諧波信號參數估計實驗結果表明,與基于MSLD窗和MSLDSM窗的三譜線插值諧波與間諧波參數估計算法相比,新算法對整次諧波信號參數的估計精度明顯提高.間諧波信號參數估計實驗結果表明,與基于MSLD的三譜線插值諧波參數估計算法相比,新算法對間諧波信號參數的估計精度更高.基頻變動實驗結果表明,新算法對間諧波信號參數和在基頻變動環境下對整次諧波信號參數的估計精度都較高.