隨機連續攪拌釜式反應器模型的動力學行為

楊 穎,李 芳

(長春師范大學數學學院,吉林 長春 130032)

1 預備知識

本文將文獻[1]中關于等溫自催化反應連續攪拌釜式反應器(CSTR)模型加入隨機擾動,構建合適的隨機模型并研究其性質.在給出隨機模型之前,回顧一下CSTR模型豐富的動力學行為,其反應機制可以分為以下2步反應:

A+2B→3B(K1)(三分子),

B→C(K2).

這里:A,B是反應物;C是某種惰性產物.

原型三分子自催化反應A+2B→3B構成了表現出“奇異”行為的最簡單齊次系統.由于A和B的濃度不是相互獨立的,所以該反應是單變量系統.但在化學反應計量學中,A→B的反應只與進口流的成分有關.如果B的流入量b0不是很大的話,系統會呈現多樣性.

在自催化劑B不是無限穩定的情況下,B→C的這種行為在經歷一級衰變(或中毒)的情況下更加豐富.盡管催化劑B是無限穩定的,但它們卻表現出停留時間范圍,在該范圍內存在不同的穩定態和唯一解的范圍,即使在充分攪拌、等溫、開放的條件下,也可以發現多重穩定、熄滅、滯后、點火等性質和來回弛豫時間.

將化學反應速率和流入、流出率聯系起來的質量平衡方程為

(1)

這里a0和b0分別是反應物A和B在進口流的濃度.本文利用與文獻[1]類似的方法作無量綱化變換.令α=a/a0,β=b/a0,τres=1/kf為平均停留時間,這樣方程(1)變為如下的無量綱形式:

(2)

(3)

通過(3)式,系統降為1維,αss是下面三次方程的根:

(4)

文獻[1]利用分歧理論的方法指出:系統(2)在任何給定的停留時間可能有3種平衡狀態α1≥α2≥α3,并且可能有9種不同性質的結構.由3種平衡狀態的穩定性可以產生很多不同的動力學結構:最小解α1,中間解α2和最大解α3.

對于進水中無催化劑流入的特殊情況,即b0=0時,最小解α1始終是穩定的;中間解α2始終是不穩定的;最大解α3的穩定性則隨催化劑的穩定性和停留時間而變化.

當流入的催化劑濃度不為零,即b0>0時,最小解α1可能是結點或者焦點,并且可能變得不穩定;中間解α2總是一個鞍點;穩定狀態α3的最上面的那支可能被一個穩定或不穩定的極限環包圍,表現為穩定或不穩定的結點或焦點.

最近,文獻[2-5]討論了一些帶有隨機擾動的化學反應模型,并且得到了很好的結果.本文在系統(1)中加入白噪聲,得到如下的隨機CSTR系統:

(5)

在本文中,令(Ω,F ,{Ft}t≥0,P)是帶有域流{Ft}t≥0的完備概率空間,滿足通常的條件,即它是右連續的、F0包含所有的P-零集.記

(6)

已有工作中隨機系統(5)還未曾被研究過.本文將證明隨機CSTR模型正解的存在唯一性,并進一步證明隨機系統(5)具有遍歷性和平穩分布,并通過數值模擬來驗證本文的理論結果.

2 正解的存在唯一性

隨機CSTR模型(5)的解是正的和全局的,這對于研究模型(5)的遍歷性是很必要的.

定理2.1 如果σ1,σ2滿足

(7)

或

max{a(t),b(t)}≥m}.

換句話說,為了完成證明,需要說明τ∞=∞.用反證法.如果假設這個斷言是錯誤的,則存在常數T≥0和ε∈(0,1),使得

P{τ∞≤T}>ε,

從而存在一個整數m1≥m0使得對于所有的m≥m1,有

P{τm≤T}≥ε.

(8)

LVdt+σ1(a-1)dB1(t)+σ2(b-1)dB2(t)+C(a+b)(σ1adB1(t)+σ2bdB2(t)).

(9)

這里L是系統(5)的生成算子,并且

(10)

根據條件(7),以下兩個不等式同時成立:

令

進一步可得

其中K是一個正常數.因此

對上式取期望得

(11)

由(8)和(11)式得

V(a(0),b(0))+KT≥E[IΩm(ω)V(a(τm),b(τm))]≥εf(m),

這里IΩm(ω)是Ωm的示性函數.

當m→∞時,

∞>V(a(0),b(0))+KT=∞,

矛盾.因此τ∞=∞,a.s..

3 遍歷性

設X(t)是由隨機方程描述的El(El表示歐幾里得l-空間)中的齊次馬爾可夫過程,X(t)的擴散矩陣為

隨機微分方程描述為

(12)

結合方程(12)定義一個微分算子L,

引理3.1[7-8]假設存在具有如下性質的帶正則邊界Γ的有界域U?El,滿足:

(B1) 在U和它的一些鄰域,擴散矩陣Λ(x)的最小特征值λ(x)非0;

則馬爾可夫過程X(t)存在平穩分布kf(·).令f(·)是關于測度kf可積的函數,則對所有的x∈El,有下面的公式成立:

注1 引理3.1的證明由文獻[7]給出.文獻[7]定理4.1和引理9.4給出了具有密度平穩分布的存在性;定理5.1和定理7.1得到了弱收斂性和遍歷性.為了驗證條件(B1),只需要證明F在任何有界域U上一致橢圓即可,其中

即存在一個正數M,使得下式成立:

由文獻[9]和瑞利原理[10]即可知上式成立.為了驗證條件(B2),只需證明存在某個鄰域U和一個非負的C2-函數,使得對于任意的ElU,LV<0[11].

引理3.2 設X(t)為El中的正則自治馬爾可夫過程.如果X(t)相對于某個有界域U是常返的,那么它相對于El中的任一非空區域也是常返的.

證明為了證明該結論,只需證明條件(B1)和(B2)滿足即可.隨機系統(5)的擴散矩陣為

從而系統(5)可改寫成如下形式:

從而引理3.1中的條件(B1)滿足.

定義C2-函數V：

令

則有

(13)

記

其中ε是使得下面不等式同時成立的充分小的正數:

(14)

(15)

(16)

(17)

令

從而由(14)式有LV≤-1.

因此由(13)和(15)式可得LV≤-1.

因此由(13)和(16)式可得LV≤-1.

由(13)和(17)式可得在這個區域上有LV≤-1.

對上述4種情況的討論表明,引理3.1中的條件(B2)滿足.定理3.1證畢.

4 數值模擬

使用離散化的方法,選取Δt=0.002.在文獻[1]中,τres=1/kf是一個非常重要的參數,因為其值的變化會導致確定系統(1)穩態的多樣性.

在模型(5)中選取以下3組參數:

k1=0.4,k2=0.022 5,kf=0.005 263 16(τres=190),a0=1.5,b0=0.1;

(18)

k1=0.4,k2=0.022 5,kf=0.004(τres=225),a0=1.5,b0=0.1;

(19)

k1=0.4,k2=0.022 5,kf=0.003 174 6(τres=315),a0=1.5,b0=0.1.

(20)

總是選取σ1=0.5,σ2=0.5.

例4.1 選取參數為(18)式所示,系統(1)的相平面呈現出盤旋至穩定焦點的軌道.系統最開始時遠離奇點,但是經歷了一系列的阻尼振蕩后逐漸向其趨近,模擬結果如圖1—2所示.

(a)確定性模型(1) (b)隨機模型(5)圖1 選取參數為(18)式所示時系統的散點分布比較圖

圖2 參數選取為(18)式所示時,隨機系統的解及其柱狀圖

例4.2 選取參數值為(19)式所示,系統(1)的相平面對應于一個圍繞著不穩定焦點的穩定極限環,并且x和y呈現持續的無阻尼振蕩,在經歷了初始時刻的“沉降”之后,變成了具有恒定頻率和振幅的脈沖.在x-y的相平面中,系統退繞到包圍不穩定焦點的閉合曲線.模擬結果如圖3—4所示.

(a)確定性模型(1) (b)隨機模型(5)圖3 選取參數為(19)式所示時系統的散點分布比較圖

圖4 參數選取為(19)式所示時隨機系統的解及其柱狀圖

例4.3 選取參數為(20)式所示時,振蕩是發散的.系統越過鞍點邊界,在低反應性的穩定結點上穩定下來.在x-y相平面上,這個分支由鞍點和穩定極限環的組合來表示.模擬結果如圖5—6所示.

(a)確定性模型(1) (b)隨機模型(5)圖5 選取參數為(20)式所示時系統的散點分布圖

圖6 參數選取如(20)式所示時隨機系統的解及其柱狀圖

讓人覺得很有趣的是,確定性模型(1)的3個平衡點9種性態,無論其表現出什么樣的動力學行為,相應的隨機模型(5)只需要滿足條件(7)中對白噪聲強度的限制條件,就總是具有平穩分布和遍歷性.