基于突變理論的兩斷層中間區域重疊頂底板穩定性分析

李弘博 陳俊智 陳明清 王子航 王 昊

(昆明理工大學 國土資源工程學院，昆明 650093)

采空區失穩是一種典型的非線性變化過程，出現于20世紀七十年代的突變理論對于分析這種非線性問題具有較好的效果[1-2]。

在使用突變理論分析礦山采空區支撐系統穩定性方面，國內外學者已取得了一定的成果。QIN等[3]建立了煤礦的頂板—礦柱支撐系統力學突變失穩模型，給出了煤礦采空區失穩的判據及位移突變計算公式。趙延林等[4]建立了基于突變理論的采空區重疊頂板穩定性強度折減法，提出了采空區重疊頂板安全系數的概念。徐曉鼎等[5]將礦柱破壞分為彈性核區與屈服區，構建了石膏礦的頂板—礦柱支撐系統力學突變失穩模型，給出了石膏礦采空區失穩的判據。姜立春等[6]發現含結構面礦柱會沿結構面破壞，因此將礦柱劃分為結構面上部彈性核區與結構面下部屈服區，構建了含結構面的頂板—礦柱支撐系統力學突變失穩模型，給出了含結構面的礦柱失穩判據。

對文獻進行總結可發現目前使用較多的采空區頂板—支護系統力學模型分別為：將頂板視為固支梁，分析支撐系統或頂板本身破壞[7-9]；將系統視為安裝在柱上的三鉸拱，分析頂板破壞[10-11]；將礦柱視為彈簧，頂板視為梁，分析頂板破壞[12]。但目前對頂板完全破壞階段研究較多，對頂板處于拱冒型破壞階段的研究較少。

同時在使用突變理論建立包含多個影響因素的采空區穩定性綜合評價與失穩預測模型方面也取得了一定成果[13-14]，說明突變理論可以有效分析影響采空區穩定性的多個因素。

云南某鉛鋅礦礦體絕大多數賦存于礦區內F1斷裂與F2斷裂中間區域，該組斷裂在礦區內控制長度為3 730 m，向礦區外南東-北西方向繼續延伸，延伸長度大于5 300 m。該組斷層垂直斷距高達600～900 m，破碎帶寬20～60 m。受該組特殊斷層影響，該礦山內采場基本處于該組斷層中間區域。受特殊地質情況影響，該礦山采場存在大量處于兩斷層中間區域的重疊頂底板。計算重疊頂底板合理厚度對礦山安全高效開采具有重大意義。因此，開展分布于兩斷層中間區域的采空區失穩機理研究，具有重要的理論和工程意義。

1 系統力學模型

1.1 采空區頂板結構破壞特征

對礦山采空區進行調查后發現：采空區重疊頂底板主要破壞形式表現為上部采空區底板先發生底鼓現象，隨后下部采空區頂板發生局部拱冒型破碎，在拉應力作用下，重疊頂底板拱冒型破壞范圍不斷擴大，最終重疊頂底板發生整體冒落型破壞。

根據礦山實際地質條件及其開采方式，繪制如圖1所示的礦山實際情況模型，考慮到實際情況模型較復雜，因此將采空區及其周圍區域簡化為如圖2所示的簡化模型。

圖1 原始礦山立體模型

1.2 采空區簡化模型數值模擬方案確定

建立與簡化模型對應的數值模擬模型，分析有無斷層對采空區頂板應力變化的影響。模型上部采空區頂板埋深為310 m，上下采空區參數一致，均為高25 m、長60 m、寬30 m，兩采空區重疊頂底板厚度10 m。在兩采空區重疊頂底板兩側及中部按不同高度共設置27個應力監測點，分析開挖形成采空區后，有無斷層對頂板兩端承受壓應力的影響。

計算模型如圖3所示：ZG_001與ZG_004為分布于礦體兩側的斷層，ZG_002、ZG_003與ZG_005為圍巖，ZG_006與ZG_007為礦體。計算方案1為該模型內無斷層，即ZG-001與ZG-004采用下盤圍巖參數計算；計算方案2為模型內存在兩條斷層，即ZG-001與ZG-004采用斷層參數。計算用參數如表1所示。

表1 巖體力學參數表

圖3 數值模型

將數值計算模型x方向與y方向位移與速度場均固定為0，將數值計算模型底面的位移與速度場固定為0，數值計算模型頂面不做約束，在模型頂面施加豎直向下大小為8.06 MPa的均布荷載代替計算模型上部覆巖產生的壓應力。

1.3 數值模擬結果分析

1)應力分析

對計算方案1的開采后采空區重疊頂底板Z向應力云圖(計算結果如圖4所示)與計算方案2的開采后采空區重疊頂底板Z向應力云圖(計算結果如圖5所示)進行對比分析，可發現與礦體兩側不存在斷層的情況相比，礦體兩側存在斷層的情況下，采空區重疊頂底板內受到的拉應力更大，且采空區重疊頂底板內受到拉應力影響的范圍更大。

圖4 計算方案1采空區重疊頂底板Z向應力云圖

圖5 計算方案2采空區重疊頂底板Z向應力云圖

2)位移分析

對計算方案1的開采后采空區重疊頂底板X向位移云圖(計算結果如圖6所示)與計算方案2的開采后采空區重疊頂底板X向位移云圖(計算結果如圖7所示)進行對比分析，可發現與礦體兩側不存在斷層的情況相比，礦體兩側存在斷層的情況下，采空區重疊頂底板內水平方向位移量相對更大，且采空區重疊頂底板內水平方向位移涉及范圍相對更大。

圖6 計算方案1采空區重疊頂底板X方向位移云圖

圖7 計算方案2采空區重疊頂底板X方向位移云圖

綜合以上分析結果可知：在斷層影響下，重疊頂底板內受到的拉應力與水平方向位移均更大。

2 采空區頂板部分失穩的非線性力學特征

2.1 采空區頂板系統力學模型構建

本文主要分析重疊頂底板發生拱冒性破壞階段穩定性。因此，假設空區周圍巖體為剛性，將頂板巖層視為固支梁，頂板巖梁彎曲變形以彈性破壞為主[15]，破壞發生在一個平面內，服從平截面假設。同時假設頂板未破壞時，發生彎曲伸長后，頂板厚度隨之減小。采空區頂板力學模型可簡化為如圖8所示的力學模型。圖中：L為采場跨度，m；h為采場頂板厚度，m；q為采場頂板所承受由自重及上部巖體壓力產生的垂直均布荷載，kPa；p為采場頂板巖梁受到的側向水平推力，kN；F為采場頂底板巖梁受到的拉應力(假設該拉應力集中作用于巖梁兩側與巖壁的交點處)，MPa。

圖8 固支梁力學結構模型

2.2 頂板系統總勢能函數

由力學模型可知[16]，系統總勢能由頂板巖梁的彎曲應變能、側向水平荷載做功、垂直均布荷載產生的勢能、下部產生的垂直向上作用于巖梁與圍巖連接處的集中應力做功組成。

設頂板巖梁在中部產生的最大撓度為u(單位：mm)。

根據邊界條件：

(1)

頂板巖梁的撓曲線方程可寫為：

(2)

式中：x為頂板巖梁端點到未變形軸線上任意點的長度，m；L為頂板巖梁長度，m；f(x)為頂板巖梁在x處對應的撓曲線方程；u為頂板巖梁在中部產生的最大撓度，mm。

頂板巖梁的彎曲應變能V1為：

(3)

(4)

(5)

式中：K(x)為巖梁彎曲后，以巖梁左側端點為原點的撓曲線在x點處的曲率；E為頂板巖梁的彈性模量，GPa；D為頂板巖梁抗彎剛度，GPa；μ為泊松比；h為頂板巖梁厚度，m。

頂部巖梁兩側水平荷載做功V2為：

(6)

式中：P為頂板巖梁受到的側向水平推力，kN。

頂部垂直均布荷載產生的勢能V3為：

(7)

式中：q為采場頂板所承受由自重及上部巖體壓力產生的垂直均布荷載，kPa。

下部產生的垂直向上作用于巖梁與圍巖連接處的集中應力做功V4為：

V4=Fε

(8)

式中：F為采場頂底板巖梁受到的拉應力，MPa；ε為采場頂板巖梁厚度變化量，m。

頂板巖梁厚度變化ε為(頂板巖梁在應力作用下會發生如圖9所示的微量形變)：

圖9 頂板巖梁長度變化示意圖

因頂板巖梁變化較小，因此撓曲線函數f(x)一半的長度可近似等同為AC段的長度。

已知在θ較小時，θ≈tanθ≈sinθ，因此由三角函數可推知：

(9)

式中：L′為頂板巖梁變形后總長度，m。

假設頂板巖梁變形處于線彈性階段，因此：

Lh=L′h′

(10)

式中：h′為頂板巖梁變形后的厚度，m。

對h′進行泰勒展開，同時略去過小項，最終可得頂板巖梁厚度變化為：

(11)

所以，下部產生的垂直向上應力做功V4為：

(12)

所以，將上述各勢能函數帶入上式，最終頂板巖梁支撐系統勢能函數表達式為：

V=V1-V2-V3-V4=

(13)

(14)

因此可轉化為尖點突變模型的標準勢函數形式：

(15)

式中：x為狀態參量，a、b為控制參量，說明該頂板巖梁支撐系統穩定性問題符合尖點突變模型。

頂板巖梁支撐系統的分叉集方程，即平衡曲面重疊部分在平面上的投影為：

Δ=4a3+27b2=0

(16)

描述平衡曲面的方程式(16)是一個3次方程，該類方程或有1個實根，或有3個實根，實根的數目和性質可由判別式Δ和a、b是否取零值而定。將平衡曲面x3+ax+b=0繪出，如圖10所示。設系統的狀態是以x、a、b為坐標的三維空間中的一點為代表，則相點必定位于該曲面上，且總是位于曲面的頂葉或底葉，因為中葉是對應于不穩定狀態。即Δ>0時，系統位于上葉，處于穩定狀態；Δ=0時，系統位于中葉，處于不穩定狀態；Δ<0時，系統位于下葉，處于穩定狀態。

圖10 尖點突變模型

根據式(14)與式(15)，可知尖點突變模型的控制參量為：

(17)

將控制參量代入式(16)，同時進行簡便計算，省略部分恒大于零的相，可知：

(18)

2.3 頂板巖梁突變失穩分析

1)系統受力分析

根據采空區頂板受力情況，將其所受各力計算方式分別如下：

a、巖梁自重對頂板產生的豎向壓力q：

q=γh

(19)

式中：γ為頂板巖梁自身容重；h為頂板巖梁自身高度。

b、頂板兩側受水平荷載P[17]：

P=σh

(20)

式中：σ為頂板兩側受水平荷載；h為頂板巖梁自身高度。

研究表明，總體上我國大陸淺層地殼最大水平主應力(σH)與最小水平主應力(σh)隨埋深的增大而增大，與埋深存在一定的線性關系，并擬合得到了一定的公式[18]，部分公式如下：

(21)

2)系統失穩的必要條件

由圖10可知，系統失穩時必須有a≤0，在此條件下，平衡點有條件跨越分叉集函數，進而引起系統失穩，因此a≤0是系統失穩的必要條件。為保證系統處于穩定狀態，則必有a>0。

3)系統失穩的充分條件

由尖點突變理論可知：當系統失穩時，系統狀態必須滿足分叉集方程，處于臨界狀態[19]。

對表2進行分析，系數處于穩定狀態必須保證分叉集函數不跨過臨界點，即Δ>0時。

表2 尖點突變理論狀態表

因此，系統失穩的臨界條件為Δ=0。

即系統失穩充分條件為Δ<0。

根據式(17)可推知，導數a′>0，因此函數f=a為增函數，故h1

(22)

根據處于斷層中間區域采空區的破壞特征，式(22)在實際的工程應用中可用于以下方面：

(1)對于正在作業的采場，可使用式(22)對采空區頂板穩定性進行實時監測。

(2)對未開采的采場，可利用同水平已開采采場監測數據，計算合理頂板厚度。

(3)對于已開采完畢的采場，可使用式(22)判斷現有頂板是否穩定，若頂板不穩定可通過加固頂板等措施保障頂板穩定性，保證后續采空區處理時作業的安全性。

3 工程實例

該礦山采空區剖面可簡化為圖1所示的結構，該礦山由于礦體賦存原因，大部分采空區頂板為礦體，存在部分采空區頂板為中厚層狀白云巖。同樣由于礦體賦存原因，該礦山采空區并無較統一參數。采空區頂板厚度一致性較好，而且形狀較為規整，因此可簡化為矩形巖梁結構。

對數值模擬分析，發現兩采空區重疊頂底板端部有斷層情況下頂板兩端中部受壓應力比無斷層情況下相同位置受壓應力減少了0.5 MPa，因此，認為下部產生的垂直向上作用于巖梁與圍巖連接處的集中應力F大小為0.5 MPa。將全部參數代入式(22)計算得到最小頂板厚度為5.5 m，取頂板安全系數為2[20]，由此得到頂板安全厚度為11 m。根據采礦設計，該頂板厚度為10 m<11 m，考慮到該礦山采取爆破開采，會對頂板產生損傷，因此認為該頂板處于不穩定狀態。

經過對礦山進行的實地調查，發現該采空區頂板已發生部分破壞垮塌。證明理論計算值略大于實際情況，這是由于假設將頂板巖梁視為均勻彈性介質，未考慮巖體內節理裂隙對整體強度的影響。同時對采場上部巖體進行了均一化處理，并未考慮上部存在的少量礦體對地應力的影響。且未考慮爆破等施工過程對頂板的損傷情況。但總體來說，理論計算結果與實際情況吻合較好，計算結果能滿足工程中監控頂板穩定性的要求。

4 結論

1)將采空區重疊頂底板系統簡化為固支梁力學結構，根據尖點突變模型構建支撐系統勢能函數，研究在兩斷層中間區域的采空區頂板穩定性。

2)根據采空區頂板支撐系統失穩的充要條件，確定采空區頂板失穩判據，保障采場內作業人員和設備的安全。

3)運用采空區頂板穩定性計算模型，分析采空區頂板穩定性，理論計算結果與實際情況基本一致，建立的模型可為預防處于兩斷層中間區域的采空區頂板失穩分析提供理論依據。