結構力學位移法基本思想表述及課程思政映射與融入

蒲 爽，蔡繼倫，陳方舟，郭麗娟，雷 陽，黃川騰*

（1.遵義師范學院工學院，貴州 遵義 563006；2.遵義職業技術學院建筑與藝術設計系，貴州 遵義 563006；3.中建四局第三建設有限公司，貴州 遵義 563006）

超靜定結構是有多余約束的幾何不變體系，因體系未知量（內力和多余約束）超過3 個，無法僅通過三個力平衡方程（式1）直接求解。力法和位移法是求解超靜定結構的兩種基本方法，其本質都是找尋新的方程，以便聯合三個力平衡方程求解體系全部未知量，不同之處在于找尋平衡方程的基本思想不同。

如圖1 所示，力法基于變形協調的基本思想，通過取消多余約束代以多余未知力將超靜定結構轉化為靜定結構（即力法基本結構），針對每一個多余約束建立變形協調方程（即力法基本方程），變形協調方程表征的是基本結構在多余未知力和外荷載共同作用下引起的多余約束方向位移與原結構一致。

圖1 力法基本思想的圖解分析

力法基本思想和基本方程物理概念明晰，符合學生認知邏輯，其基本結構為靜定結構，基本方程中主系數、副系數和自由項均通過圖乘法計算，都是課程前面章節的學習重點，前后知識過渡連續、自然，學生掌握程度較好。但也應注意到，當求解具有個多余約束的超靜定結構時，需至少完成(+3)/2 次圖乘法，還需求解一個元1 次方程組；當較大且不能通過對稱性簡化結構時，計算工作量較大，甚至可能無法手算求解。位移法尤其適用于高次超靜定結構的計算，而且是常用的漸近法（如力矩分配法、無剪力分配法）和適用于計算機計算的矩陣位移法的基礎，在超靜定結構力學領域，位移法有著承前啟后的重要作用。

線彈性結構在荷載和非荷載作用下，其內力與位移之間具有確定的一一對應關系，意味著可以由內力計算位移或由位移計算內力，前者是力法的求解手段，后者是位移法的求解手段。龍馭球將力法和位移法比作“對聯”[1]——形式相同、實質相異。在位移法講授和學習時，往往將其與力法比照、模仿，這是高效的做法。但因為對“由力計算位移”的過程更熟悉，加之力法的基本未知量實際上與之前“結構幾何組成分析”章節聯系密切，力法顯然更符合長久以來形成的思維定式，教與學都更加容易。由于缺少符合邏輯的、可解釋的、統一的解題思路（或解題“想法”），位移法理解難度較大，導致教與學更多側重在解題技法層面，忽視了力學邏輯和力學概念的構建。由于缺乏邏輯假設，在諸如“基本未知量選取”“基本方程建立”“彎矩圖符號規定”等問題上，學生很難“知其所以然”?？傮w上，因為位移法基礎概念多、建模思想理解難度大、常數記憶量大、符號定義復雜、知識過渡存在突變，造成教學效果較差，對此眾多教師對位移法教學開展了大量研究與探討。

（1）教學技巧方面

吳耀鵬[1]、李遠瑛[2]和蔡長青[3]分別針對含剛性斜桿的平面有側移剛架、帶滑動支座斜桿剛架和具有剪力靜定桿的超靜定問題提出了計算的技巧。黃志剛[4]對位移法的基本思路和基本未知量的確定進行探析和歸納，深化了位移法“分解”+“疊加”的求解思路。趙志軍[5]提出一種“復舊導新”的教學設計，引導學生從已掌握的力法方法，通過思考、類比分析來過渡到位移法的建立。徐豐[6]指出準確求得位移法基本方程中的剛度系數和自由項是學生運用位移法解題的難點，提出了一套避免剛度系數和自由項符號發生混亂的解題規則。

（2）教學手段方面

田振國[7]對力法、位移法、力矩分配法等超靜定結構計算方法進行了歸納、梳理，便于有針對性地選取合理方法。闕仁波[8]提出以目標為導向，從總體到具體的“總體教育方法”，并以位移法為例展示了教學方法。邱秀梅[9]提出位移法教學時應與力法對應起來加以比較、總結、提煉，抽取兩種方法的理論精髓，形成解法口訣便于學生掌握。李煒明[10]提出采用一題多解的手段對各種超靜定結構計算方法、過程進行總結與比較，以便讓學生掌握各種方法之間的聯系與差異，有利于更為系統地掌握解法要點與技巧。

上述對位移法教學的探討集中在教學技巧和教學手段上，厘清了基本概念、凝練了解題技巧，有助于提升教學效果，但對位移法基本思想的講授仍未跳出傳統范疇，且鮮有涉及課程思政與位移法的有機融合。本文嘗試從能量視角，基于“能量平衡”闡述位移法基本思想，重新梳理在荷載及非荷載條件下位移法的解題思路，最后，針對力學課程思政存在的問題，提出以哲學概念為紐帶的力學課程思政模式，并以位移法為例展示了課程思政映射與融入的路徑和做法。

1 結構力學中的能量原理

萬澤青[11]整理和歸納能量原理的知識體系，指出了能量法與靜力法的對偶關系，明確了基于最小勢能原理的解法本質上是以能量形式表示的位移法。龔相超和胡百鳴[12]探討了如何完善能量原理的知識體系，如何在力學系列課程中系統地進行優化教學，提出了幾門課程間關于加強能量原理教學相關性的幾點建議，指出虛功原理的教學是建立能量知識體系的關鍵。龍馭球[13,14]探討了結構力學教學的方法論，指出力法和位移法實質是能量法，梳理了結構力學中包括傳統形式和能量形式在內的諸多對偶關系，詳細探討了結構力學中的能量原理。前述諸多學者已從理論上論證了能量法與靜力法、位移法與最小勢能原理的關系，上述觀點可作為本文的理論基礎和前提，不同之處在于，本文不從數學角度嚴密論證能量原理之于位移法，而是基于課程教學，以學生為中心，以如何更容易理解、更好熟練掌握位移法為導向，借用“能量原理”著重從物理概念上闡述位移法教學。

2 基于能量視角的位移法教學

在位移法教學中，需要解決三個問題：一是桿端內力與桿端位移（轉角、側移）及荷載之間的函數關系；二是確定結構基本未知量；三是建立求解基本未知量的位移法基本方程。其中尤以推導建立位移法方程是重難點，通常有兩種建立方式：一是直接平衡法。不通過基本結構，而借助于桿件的轉角位移方程，根據先“拆散”、后“組裝”結構的思路，直接由原結構的力偶（獨立結點角位移處）或力（獨立結點線位移方向）平衡條件建立位移法方程；二是典型方程法。通過選擇基本結構，并將原結構與基本體系比較，得出建立位移法方程的平衡條件。典型方程法能以統一的、典型的形式給出位移法方程，其推導方式與力法基本方程的推導方式十分相似，互相呼應，有助于進一步理解位移法基本方程的意義。本文以典型方程法開展基于能量視角的位移法教學。

2.1 基于能量視角的位移法基本思想

下面以具有一個獨立結點位移的兩個算例說明基于能量視角的位移法基本思想。

如圖2(a)所示剛架及圖3(a)所示排架，根據結構幾何組成分析可知，二者均為有多余約束的幾何不變體系，荷載（也包括支座移動、溫度變化、制造誤差等廣義荷載，下同）未作用之前，結構處于穩定狀態（假定為穩態一）。靜力荷載（指荷載由零逐漸以微小的增量緩慢地增加到最終值，結構在靜力加載過程中，荷載與內力始終保持平衡）作用在結構上以后對結構做實功，相當于向穩態一中注入能量，體系最終會歸于新的穩定狀態（假定為穩態二，也就是結構穩定承載荷載的狀態），達到穩態二的充要條件是結構各截面內力（M, FQ, FN）在對應廣義位移（d, d,du）上做功，宏觀表現為結構發生形變（撓曲和側移）以便吸收能量，當注入能量與吸收能量相等時，達到穩定狀態。

圖2 位移法基本思想的圖解分析之一——一個獨立結點角位移

圖3 位移法基本思想的圖解分析之二——一個獨立結點線位移

觀察圖2，作用于BC 桿的集中荷載并未與AB桿接觸，但仍舊引起了AB 桿的形變及內力，原因在于集中荷載首先引起BC 桿撓曲，進而引起BC 梁B端轉動（轉角為Z1）。由于B 結點為剛節點，匯交于B 點的桿件變形前后相對夾角不變，因此BC 梁左端轉動必然帶動AB 桿上端同方向轉動（轉角同樣為Z1），AB 桿上端轉動帶動整個桿件發生變形。觀察圖3，均布荷載并未與CD 桿直接接觸，但仍舊引起了CD 桿的形變及內力，原因在于均布荷載首先引起AB 桿側移（側移為Z1），加之BC 桿軸向變形剛度無窮大，必然導致CD 桿發生同方向側移（側移同樣為Z1），進而帶動整個桿件發生變形。

圖2 所示剛架中剛結點B的轉角和圖3 所示排架中頂端的側移引起了結構的整體變形，這種具有“紐帶、承遞”作用的桿端變形稱為“核心變形”，在位移法中，亦稱作獨立結點位移。很顯然，“核心變形”帶來的結構整體性對于結構受力來說是有利的，從能量角度解釋，可視為更多的桿件通過變形吸收能量則各桿件變形較為均勻合理，否則若只有荷載直接作用桿件吸收能量可能會造成變形過大。

在實際情況下，靜力荷載施加在結構上會同時伴隨結構形變，在本文中，將這一連續、同步過程拆分為荷載施加步（簡稱“荷載步”）和形變發生步（簡稱“形變步”）。荷載步只考慮與荷載直接接觸桿件在靜力荷載逐步增加到指定值的過程中產生的內力（如，圖2 中作用于BC 桿的集中力由0 逐漸增加至FP，圖3 中作用于AB桿的均布荷載由0 逐漸增加至）；形變步只考慮結構發生宏觀的撓曲或側移。顯然，為了實現荷載步和形變步的獨立，在荷載步中不考慮結構整體變形，必須人為限制“核心變形”的“紐帶、承遞”作用。為此，在獨立結點位移處增加附加約束（圖2b為獨立結點角位移，附加約束為剛臂；圖3b 為獨立結點線位移，附加約束為支座鏈桿），阻止發生“核心變形”（可將附加約束想象為一只無形的手，這只手握緊結點B讓其不再發生轉動，或是表現為抵住結點C 讓其不再發生側移）。但在形變步中，必須還原結構的整體變形特性，可令附加約束轉動結點（如圖2c 所示，轉角為Z1）或拉動結構側移（如圖3c所示，側移為Z1），從而使結構變形與原結構相同。

在位移法中，將在獨立結點位移處增加了附加約束的結構稱作基本體系（如圖2e 及圖3e 所示）。為了建立位移法基本方程，將附加約束作為研究對象，并從能量角度尋找平衡方程：在荷載步中，靜力荷載引起附加約束中的反力偶（或反力），視為吸收能量（從無到有，隱含被動性。如圖2b及圖3b中1P）；在形變步中，附加約束主動發生變形（轉動或平動），視為消耗能量（從有到無，突出主動性。如圖2c 及圖3c 中F11）。由于原結構沒有附加約束存在，因此針對每一個附加約束，必然要求能量“吸放”相等，即：

上式表征了能量視角下的位移法基本思想，需特別說明的是，“能量”主要有反力偶和反力兩種形式，取決于獨立結點位移的類型。對于只有1 個獨立結點位移的結構，式（2）進一步顯示為：

式（3）為位移法基本方程，式中：k11表征在形變步中發生單位形變時附加約束消耗的能量，可由等截面單跨超靜定梁在支座位移下彎矩圖查詢得到（即形常數表，各教材均有集中羅列）；1P表征在荷載步中荷載單獨作用時附加約束吸收的能量，可由等截面單跨超靜定梁在荷載作用下彎矩圖查詢得到（即載常數表，各教材均有集中羅列）；Z1表征結構在特定荷載作用下“核心變形”的大?。▽τ趫D2 所示剛架為剛節點B 的轉角，對于圖3 所示排架為結構頂部的水平側移）。為了便于實現能量的疊加運算，須約定獨立結點位移正方向（圖2 中約定剛節點順時針轉角為正，圖3中約定結構水平向右側移為正），附加約束反力偶（或反力）正方向與獨立結點位移正方向一致。約定正方向后，在查詢或記憶形常數表和載常數表時，只需關心彎矩圖形狀及彎矩值，不需關注彎矩值符號，大大降低了記憶量，減小了計算出錯的可能。

由式（3）求解出Z1后，根據彎矩圖疊加可求解整個結構的最終彎矩圖。

2.2 多個獨立結點位移結構

圖4 所示結構有兩個“核心變形”——剛節點B 處的轉角和結構頂端的側移，即結構獨立結點位移數為2，這兩個“核心變形”確保了沒有和外荷載直接接觸的桿件同樣可以參與受力，保證了結構的整體性。分別在B 結點和C 結點添加附加剛臂和附加支座鏈桿，并約定獨立結點位移正方向，得到基本結構和基本體系，分別如圖4(b)和4(c)所示。如前所述，把荷載作用在結構上引起變形的過程拆分為荷載步、形變步1 和形變步2 三個獨立過程。分別以附加剛臂和附加支座鏈桿為分析對象，確定在上述三個獨立過程中能量的吸收和消耗，最終根據式（2）完成基本方程組推導。對于有多個獨立結點位移的結構，基本方程推導可借助表1 完成。

表1 基于能量視角的位移法基本方程推導

圖4 位移法基本思想的圖解分析之三——多個獨立結點位移

表1 展示了基于能量視角的位移法基本方程推導流程，根據能量平衡可得到多個獨立結點位移狀態下位移法基本方程：

根據圖5，式（5）中Fip可由載常數表繪制MP圖后根據結點力偶平衡和附加支座方向力的平衡計算；k11和k21可由形常數表繪制1圖計算得到；k12和k22可由形常數表繪制2圖計算得到。

圖5 系數和自由項計算

2.3 非荷載因素——支座移動下的位移法

基于能量視角的典型方程法，同樣適用于非荷載情況下的超靜定結構位移法求解，本文以支座移動為例，如圖6 所示兩跨連續梁，支座A 發生A轉動，支座C 發生△C豎向平動。將支座移動（轉動或平動）視為廣義荷載，仍舊可以把結構在支座移動下發生形變的連續過程拆分為荷載步（廣義荷載單獨作用）和形變步（僅獨立結點位移處發生變形）兩個獨立過程。此例以附加剛臂為研究對象，從能量平衡的角度，在荷載步中吸收能量（1p），在形變步中消耗能量，基本方程如式（3）所示。

圖6 位移法基本思想的圖解分析之四——非荷載因素

3 位移法教學的思政映射與融入

教育部在2020 年5 月頒布的《高等學校課程思政建設指導綱要》中明確指出，“推進課程思政建設是落實立德樹人根本任務的戰略舉措，是全面提高人才培養質量的重要任務”[15]，對于專業教育課程，要求“從課程所涉專業、行業、國家、國際、文化、歷史等角度，增加課程的知識性、人文性，提升引領性、時代性和開放性”。對思政元素的挖掘是目前結構力學課程思政的研究熱點，傳統建筑、大國工程、事故案例、名家事跡、行業標兵、區域特色等素材自然可以服務于課程思政。但結構力學課程思政尚存在專業知識與思政案例“兩張皮”以及思政素材囿于力學和結構范疇的問題。

結構力學諸多概念（或方法）之間的伴生關系與哲學中辯證統一的思想相通，因此將力學方法與哲學思想相聯系，進而借助高度凝練、概括的哲學思想作為課程思政切入點，實現力學教學與思政案例的“軟融入”，能極大拓展思政素材選擇范疇，如此，有利于提升專業課程的廣度、深度和溫度。故此，本文提出“力學知識點→哲學思想→思政素材→思想引導”的課程思政模式，完全可以借助各種案例素材針對性開展價值觀教育、傳統文化教育、憲法法治教育、勞動與心理健康教育、中華優秀傳統文化教育、時政輿論引導等育人工作。根據這一思政模式，基于能量視角，選取“力法與位移法的互補統一、萬物相連”“獨立結點位移在保證結構受力整體性中體現出的關鍵少數作用”“結構受力整體性體現的個體和集體關系”“位移法基本方程體現出的平衡思想”等角度作為切入點開展位移法課程思政。本文展示若干位移法課程思政映射與融入設計，如圖7 所示。

圖7 位移法課程思政映射與融入設計

4 結論

本文針對結構力學求解超靜定結構的核心方法——位移法，總結了現有教學存在的不足，闡述了基于能量原理的位移法基本思想，在“能量”及“平衡”思想統領下，介紹了位移法重難點（基本未知量、基本體系、基本結構）的教學思考，進一步通過4 個算例展示了利用“能量”思維的位移法解題思路和步驟。最后，針對現有結構力學課程思政存在“兩張皮”和素材選取面狹窄的問題，提出“力學知識點→哲學思想→思政素材→思想引導”的課程思政模式，并以“互補統一”“關鍵少數”“個體與集體”“平衡思想”等哲學概念為切入點，展示了位移法課程思政映射與融入設計。