基于拉格朗日乘子的交流放大電路參數優化方法

蔣樂群,陳冰雪,褚良宇,李青青,趙夢浩,李泓鋼,洪 葳

(華中科技大學物理學院,精密重力測量國家重大科技基礎設施,基本物理量測量教育部重點實驗室,引力與量子物理湖北省重點實驗室,湖北 武漢 430074)

交流放大電路是一種能夠將特定頻段的交流信號放大的電路,被廣泛應用于信號放大、濾波和調制等領域,如音頻放大器、無線電接收機、通信系統和醫療設備等。由于運算放大器具有增益高、穩定性好、輸出線性等優點,采用運算放大器設計的交流放大電路被廣泛應用于精密的空間科學測量任務中[1-2]。

交流放大電路的核心設計指標主要包括放大增益、中心頻率、品質因數[3]。放大增益是交流放大電路中心頻率處的放大倍數;中心頻率是交流放大電路響應最強的頻率;品質因數是交流放大電路帶通特性以及損耗大小的重要指標。這些設計指標可以通過改變電路的元器件參數和拓撲結構等方式來優化[4-6]。交流放大電路的分析通常是建立電路的電壓和電流的微分方程,從而獲得電路的傳遞函數,對電路的元器件參數進行優化設計[7-8],或者基于Multisim等仿真軟件的優化設計[9-10,13-14]。然而,電路的元器件參數通常與多個性能指標關聯[11],從而給元器件參數的確定帶來了一定的困難。同時,元器件參數的不連續,主要是電路中的電阻和電容值的不連續也導致電路的性能指標無法達到最優,即品質因數不能取最大值?；诖吮疚奶岢龌诶窭嗜粘俗臃ù_定元器件參數從而使電路達到最大的品質因數。

1 實驗原理

1.1 交流放大電路

典型交流放大電路的基本結構如圖1所示。

根據基爾霍夫定律,交流放大器相關特點可以列出方程:

(1)

式中符號如圖1所示,Z為相同下標的電容復阻抗,聯立公式和可得傳遞函數,如式(2)所示。

(2)

其中,s=jω,ω為電路信號頻率,j為虛數單位。

1.2 設計參數

對于交流放大電路的設計,首先需要明確中心頻率和放大倍數。交流放大電路的傳遞函數最大值處對應的頻率即為中心頻率,利用柯西不等式可知:

(3)

將公式代入公式可得交流放大電路的放大倍數為

(4)

(5)

可解出兩大于0的頻率為

(6)

(7)

將式(6)和(7)兩頻率做差可得通帶寬:

(8)

這時根據品質因素的定義,可以得到品質因數的表達式:

(9)

可以發現在給定中心頻率,放大倍數時,品質因數隨著R1和C2的增加而增加。

2 實驗內容

2.1 拉格朗日函數建立

一般情況下,交流放大電路需要在給定中心頻率ωs和放大倍數as下工作,同時希望品質因數盡可能地大,根據式(10)可知,在ωs、as下,品質因數只與R1和C2有關。因此,將中心頻率與放大倍數視為約束,同時將品質因數的優化問題轉化為在兩完整約束下求函數極大值的問題,故使用拉格朗日乘子法,寫出拉格朗日函數:

(10)

其中,α和β為拉格朗日乘子,將其寫成隱式的形式以簡化計算:

L=R1C2aω+α(a-as)+β(ω-ωs) 。

(11)

2.2 極值點求解

對拉格朗日函數求偏導并使其為零可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

聯立公式,可解出:

(19)

因此,品質因數可寫為

(20)

這時,可以得出結論:在需要的中心頻率和放大倍數下,為了得到最大的品質因素,需要取最小的R2,盡量大的R3以及與R3成1/(2as)倍的R1,相等的C1和C2。

3 數值計算

以中心頻率為50 kHz,放大倍數為3的交流放大電路設計需求為例來進行驗證論文提出的方法。將設計需求代入公式和可以得到:

(21)

為了進一步探究品質因數達到最大值時各參數之間的關系,分別在各參數空間進行繪圖。電容電阻器件選擇范圍為:電容5.00×10-13～1.00×10-6F、電阻1～1.00×10-6Ω。首先在中心頻率與放大倍數的約束下,確定品質因數與R2關系,這時任意選定R1,不失一般,選取R1=1 Ω,如圖2所示。從圖中可以看出品質因數隨R2的增大而單調減小,故將R2的取值定為參數空間內最小值,即R2=1 Ω。

圖2 品質因數代表值與R2關系

確定了R2=1 Ω之后,在此條件下,接著討論R1,C2、R1,R3和C1,C2分別滿足何種關系時品質因數可以達到最大值。選取R2=1 Ω繪制圖3至圖5,圖3是參數空間內品質因數與R1,C2的關系圖,圖4是參數空間內品質因數與R1,R3的關系圖,圖5是參數空間內品質因數與C1,C2關系圖。從以上各圖可以看出,品質因數Q隨R1,C1的增大而增大,在圖4和圖5的空間中,品質因數最大值分別各在一條曲線上,經確認這兩條曲線分別為R3=6R1、C1=C2,與理論計算的公式值一致,進一步說明品質因數最優值應在理論計算的超平面上。

圖3 品質因數Q與R1,C2的關系圖

圖4 品質因數Q與R1,R3的關系圖

圖5 品質因數Q與C1,C2的關系圖

最后在給定器件參數空間中進行遍歷,以對比理論給出的結果。由于中心頻率與放大倍數給定時,品質因數可以直接通過R1C2求出,為減小計算量以品質因數代表值R1C2來評價品質因數,遍歷結果如圖6所示。

圖6 品質因數代表值

最大代表值處的器件參數如表1所示。

表1 遍歷最優值參數表

使用該組參數計算品質因數,再根據理論預言計算關鍵數據有:

(22)

雖然由于器件取值的非連續性,關鍵數據與理論之間存在一定出入,然而在考慮器件非連續性帶來的誤差的允許范圍內與本文的理論模型一致,這足以表明本文理論的正確性。

4 仿真驗證

考慮到實際使用的運算放大器不是理想運算放大器,因此為了保證虛短和虛斷條件成立電阻R2不能太小,因此將R2限制為不能小于1 kΩ,并依據提出的約束條件,給出可行參數如表2所示。為了驗證參數的正確性,使用Multisim14.0進行仿真驗證[12]。

表2 最優值參數表

仿真結果如圖7(a)所示,可測的此參數條件下品質因數Q為

(a)

Q=15。

(23)

同時為了確定表2中的選取的參數是參數選取范圍內最優參數,在滿足放大倍數和中心頻率設計要求的情況下,另外設計四組不同參數,仿真其波特圖,如圖7(b)～(e)所示。

對式(23)中參數與其品質因素進行匯總對比,如表3所示?？梢钥闯鲭m然這五組參數都達到了預期的放大倍數和中心頻率,但本論文提出的優化方法獲得的品質因數具有明顯的優勢,由此說明所提出的優化方法的有效性。

表3 不同參數品質因數

5 結 論

本文提出了一種基于拉格朗日乘子的交流放大電路參數優化方法。首先采用基爾霍夫定律推導出典型交流放大電路的傳遞函數;隨后通過建立拉格朗日函數討論了使用拉格朗日乘子來求解在給定中心頻率和放大倍數下品質因數的最大值問題;最終通過理論參數遍歷和仿真實驗驗證了優化方法的有效性。

通過對交流放大電路的系統闡述,本文為設計和研究交流放大電路提供了理論基礎。研究結果可以幫助工程師優化電路的性能,提高設計精度。