融合多策略的黃金正弦灰狼優化算法

陳 杰,陳歲繁,李其朋

(浙江科技學院 機械與能源工程學院,杭州 310023)

灰狼優化算法(grey wolf optimization,GWO)是由Seedily Mirjalil等人提出的一種群體智能優化算法[1],具有原理簡單、調整參數少和易于實現等優點,被廣泛應用于電力系統優化[2]、車間調度[3]、圖像處理[4]、機器人路徑規劃[5]、特征選擇[6]等研究領域。但GWO算法存在收斂精度不高、收斂速度較慢和因搜索后期種群多樣性的減少容易陷入局部最優等問題[7],為了提高GWO算法的性能,許多研究者提出了不同的改進意見。Liu等[8]提出了一種具有偽節點交叉操作和自適應控制參數a的改進算法,提高了算法在跳出局部最優和搜索精度上的優勢。Gao等[9]引入自然對數的底數e建立非線性收斂因子和可變權重策略,提高了算法的搜索能力和降低陷入局部最優的概率。Rodríguez等[10]提出基于加權平均和不同的適應度加權以及模糊權重的不同分層運算變體,驗證了分層算子模糊變量的GWO算法性能最好。Xu等[11]使用基于混沌映射的動態權重來引導灰狼進行搜索,克服了過早收斂到局部最優的缺點。韓太林等[12]提出改變候選解策略和動態權重因子的改進GWO算法,提高了灰狼個體多樣性,降低了陷入局部最優的風險。Meng等[13]結合交叉算子和貪婪機制改進GWO算法,其中水平交叉算子細化首領狼,增強全局探索能力;垂直交叉算子保持種群的多樣性,防止陷入局部最優中。Long等[14]基于物理學中的折射原理,提出了折射學習的新算子,有助于GWO算法跳出局部最優。Yu等[15]將佳點集初始化策略和甲蟲天線搜索機制引入GWO算法中,提高了算法初始化分散能力和全局探索能力。Mohammed等[16]將GWO算法和鯨魚算法(whale optimization algorithm,WOA)相結合,協調算法全局探索和局部開發的平衡。

上述研究成果雖能夠改善GWO算法的性能,但算法收斂精度不高和搜索后期易陷入局部最優的問題依舊存在。為進一步提高算法的收斂精度和收斂速度,解決搜索后期易陷入局部最優等問題,本研究提出一種融合多策略的黃金正弦灰狼優化算法(golden sine grey wolf optimization,G-GWO)。通過對三類基準測試函數的尋優測試結果對比,以及對Wilcoxon秩和檢驗的統計結果分析,驗證了G-GWO算法在收斂精度和魯棒性方面有顯著的提高;通過對BP神經網絡(BP neural network,BPNN)建立板料工藝參數與質量參數的代理模型精度不足問題的優化結果對比表明,G-GWO算法在實際應用中較其他算法具有一定的優勢。

1 GWO算法原理

GWO算法在求解優化問題時,設灰狼種群數為N,搜索的空間維度為D,第i只灰狼在D維空間中的個體位置為Xi={Xi,1,Xi,2,…,Xi,D},i=1,2,…,N。將種群中的最優解記為α,次優解記為β,次次優解記為δ,其余解為ω。

灰狼在狩獵過程中包圍獵物,對包圍行為進行數學建模,提出了以下等式:

D=|CXP(t)-X(t)|。

(1)

X(t+1)=XP(t)-AD。

(2)

式(1)和(2)中:t為當前迭代次數;A和C均為系數向量;XP(t)為獵物的位置向量;X(t)為當前灰狼的位置向量;D為當前灰狼與獵物的距離;X(t+1)為灰狼位置的更新。

系數向量A和C的表達式為

A=2ar1-a。

(3)

C=2r2。

(4)

式(3)和(4)中:r1、r2為[0,1]中的隨機向量;a為影響A變化的收斂因子,表達式為

(5)

式(5)中:t為當前迭代次數;tmax為迭代的最大次數。

在狩獵過程中,利用α狼、β狼和δ狼的不同位置來預估獵物的位置,數學模型如下:

(6)

式(6)中:Dα、Dβ和Dδ分別為當前灰狼趨向于α、β、δ狼之間的近似距離;C1、C2和C3均為式(4)中定義的系數向量。

每只灰狼按照以下方式更新自己的位置:

(7)

(8)

式(7)和(8)中:Xα、Xβ、Xδ分別為α、β、δ狼的當前位置;X1、X2、X3分別為ω狼向α、β、δ狼的前進步長和方向;X(t+1)為ω狼的最后位置。

2 G-GWO算法

2.1 收斂因子非線性調整策略

GWO算法的探索和開發能力很大程度上依賴于A的取值,當|A|>1時,灰狼群體通過擴大搜索范圍繼續搜尋獵物,即全局搜索;而當|A|<1時,灰狼群體則通過收縮搜索范圍來進攻獵物,即局部開發。由式(3)可知,A的取值取決于收斂因子a的變化。因此,收斂因子a的取值影響著算法的全局搜索和局部開發能力。

由式(5)可知,GWO算法中收斂因子a(傳統a)由2線性遞減至0,無法較好地實現“搜索前期應保持在大范圍的搜索空間中搜索,后期則快速收斂至獵物位置”的目標[17]。為在迭代前期擴大搜索范圍,迭代后期快速收斂,筆者提出一種新的非線性變化控制參數改進收斂因子a(改進a),改進a的表達式如式(9),改進a和傳統a的變化對比如圖1所示。

(9)

圖1 改進a與傳統a的變化對比Fig.1 Comparison of changes between improveda and traditional a

2.2 基于步長歐氏距離原理的比例權重動態調整策略

GWO算法將三類首領狼(α狼、β狼和δ狼)設置為同等重要程度,靜態更新ω狼的位置(如式(8)所示),雖然這種位置更新方式對大多數常規問題有效,但無法滿足高維、復雜的多模態問題求解。因此,筆者提出了基于步長歐氏距離原理的比例權重動態調整策略,改進后的比例權重動態調整策略表達式如式(10)和式(11)所示。

若|X2|>|X3|>|X1|或|X3|>|X2|>|X1|或|X3|>|X1|>|X2|,則

(10)

若|X1|>|X2|>|X3|或|X1|>|X3|>|X2|或|X2|>|X1|>|X3|,則

(11)

在式(10)和式(11)中,根據α、β和δ狼相對ω狼的位置分別計算三類首領狼的步長歐氏距離X1、X2和X3,動態調整ω狼的位置更新比例權重W1、W2和W3,使每次迭代過程中,離ω狼步長距離最近的α狼在下一步的位置更新過程中占有較大的權重,之后是離ω狼步長距離較近的β狼,并以離ω狼步長距離較遠的δ狼的最低權重結束。

2.3 黃金正弦策略

針對GWO算法在搜索后期由于種群多樣性的減少而易陷入局部最優的問題,將黃金正弦策略[18]融合到GWO算法中,以降低算法搜索后期陷入局部最優的可能性。黃金正弦策略通過使用正弦函數對單位圓掃描來模擬搜索空間,并結合黃金分割系數進行迭代搜索的方式,更好地遍歷算法搜索空間,防止算法陷入局部最優值。引入黃金正弦策略后的位置更新過程如下:

首先,將給定的N只狼在范圍[lb,ub]中隨機分布:

Xij=lb+r3(ub-lb),i∈[1,N],j∈[1,D]。

(12)

式(12)中:r3為[0,1]范圍內的隨機數。在第t次迭代中,第i只狼所在的位置為Xi={Xi,1,Xi,2,…,Xi,D},其中D為問題的維數;之后將所有的灰狼存放在N行D列的矩陣P中。

其次,當所有灰狼完成隨機分布后,引入黃金正弦策略計算在t+1次迭代中第i只狼的位置,其位置更新為

XiG(t+1)=Xi(t)|sinr4|+r5sinr4|x1Pi(t)-x2Xi(t)|。

(13)

式(13)中:r4為[0,2π]范圍內的隨機數;r5為[0,π]范圍內的隨機數;Pi(t)為在第t次迭代中第i只狼的最優位置;x1和x2為黃金分割系數,其表達式為

(14)

然后,對式(10)、式(11)和式(13)中所得到的兩個更新位置預備解Xi(t+1)和XiG(t+1)進行比較。

(15)

最后,將式(15)得到的下一個解的位置X(t+1)同X(t)進行比較,若新位置的適應度值比X(t)優,則按照X(t+1)進行位置更新;反之則保持不動。

2.4 算法步驟

綜上所述,將收斂因子非線性調整策略、比例權重動態調整策略和黃金正弦策略融合,形成融合多策略的黃金正弦灰狼優化算法(G-GWO),算法步驟總結如下:

1) 設置種群規模數N,最大迭代次數tmax,搜索維度D;生成a、A和C等參數,隨機初始化灰狼種群。

2) 計算種群中所有灰狼個體的適應度值,并進行排序,記錄排列前三的適應度并記錄位置為Xα、Xβ和Xδ。

3) 通過式(9)更新非線性收斂因子a,式(3)和式(4)更新系數向量A和C的值。

4) 通過式(6)和式(7)及步長歐氏距離動態調整策略式(10)和式(11)建立第一個預備解Xi(t+1)。

5) 通過黃金正弦策略的式(13)建立另一個預備解XiG(t+1),通過式(15)比較兩個預備解,選擇較優的值與X(t)比較,擇優作為灰狼的位置更新。

6) 判斷是否滿足結束條件,若達到預定的最大迭代次數tmax,則停止計算;否則重復循環跳轉至2)。

7) 輸出全局最優解。

3 試驗仿真結果與分析

3.1 試驗環境及參數設置

為測試G-GWO算法的性能,選擇文獻[1]中的單峰、多峰和固定維度多峰三類基準測試函數進行仿真試驗,三類基準測試函數見表1。試驗運行環境為Intel(R)Core(TM)i7-77700HQ CPU,主頻2.80 GHz,內存8 GB,Win10 64位操作系統;運行軟件為MatLabR2018b。

表1 測試函數Table 1 Test functions

為保證試驗的無偏性,灰狼總個數設定為30,總迭代次數設置為500次,所有試驗獨立運行30次,通過試驗比較得到的平均值和標準差值。

3.2 不同改進策略尋優性能對比

為驗證改進策略的有效性,將GWO算法與僅采用非線性收斂因子調整策略的GWO1算法、僅采用動態比例權重調整策略的GWO2算法、僅引入黃金正弦策略的GWO3算法和G-GWO算法進行比較。測試本研究提出的三種不同的改進策略單獨作用時的情況,使用三類基準測試函數進行仿真試驗,結果見表2,其中平均值和標準差的較優值加粗展示(下同)。

表2 不同改進策略對算法的影響比較Table 2 Comparison of influencesamong different improvement strategies on algorithms

由表2可知,對于單峰函數f1和f2,GWO1、GWO2和GWO3算法的平均值和標準差均比GWO算法更接近于理論最優值0。對于多峰函數f3、f4和f5,GWO1和GWO2算法在f4和f5的平均值和標準差值比GWO算法更接近于理論最優值,GWO3算法的平均值和標準差均比GWO算法更接近于理論最優值(f3的最優平均值為-12 569.487,f4與f5的最優平均值為0)。對于固定維度多峰函數f6、f7、f8和f9,GWO3算法在f6的平均值和標準差結果最優(f6的最優平均值為0.000 30),GWO、GWO1、GWO2和GWO3算法在f7和f9平均值和標準差值較為接近,在f8中均收斂到理論最優值3。融合三種策略的G-GWO算法除了在多峰函數f6的平均值僅次于GWO3算法外(優于其他算法),對其他8個測試函數的收斂精度均為最優,且在單峰函數f1和多峰函數f4收斂到理論最優值0,在固定維度多峰函數f8收斂到理論最優值3,相較于GWO算法而言,G-GWO算法的標準差值更小,對三類基準測試函數的魯棒性均有明顯提升。由此可見:在對提升單峰函數、多峰函數與固定維度多峰函數的收斂精度和魯棒性上,三種改進策略均是有效的。

3.3 與其他智能優化算法對比

將G-GWO算法分別與黃金正弦算法(golden sine algorithm,Golden-SA)[18]、WOA算法[19]和粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[20]進行比較,其中設置PSO參數為wmax=0.9、wmin=0.2和c1=c2=2,其余的參數設置則參照上述相關文獻,試驗結果見表3。

表3 G-GWO與其他優化算法對比結果Table 3 Comparison of results between G-GWO and other optimization algorithms

由表3可知,對于單峰函數f1和f2,G-GWO算法的平均值分別為0和1.948 9e-217,標準差值均為0,明顯小于Golden-SA、WOA和PSO算法的平均值和標準差值,G-GWO算法在單峰函數的收斂精度和魯棒性較優。對于多峰函數f3、f4和f5,G-GWO算法的平均值分別為-1.256 7e+04、0和8.881 8e-16,且在f4和f5的標準差值為0,與Golden-SA算法相比,兩者在f3的平均值結果相近,在f4和f5中測試結果一致;與WOA算法相比,兩者在f4均收斂到理論最優值0,但在f3和f5中,G-GWO算法的平均值更接近理論最優值,具有更高的收斂精度,同時,G-GWO算法的標準差值在f3和f5均小于WOA算法,具有較優的魯棒性;與PSO算法相比,G-GWO算法的平均值和標準差值明顯較優,其收斂精度和魯棒性均有顯著優勢。對于固定維度多峰函數f6、f7、f8和f9,G-GWO算法的平均值分別為3.335 8e-04、3.980 4e-01、3.000 0e+00、-3.860 3e+00,均收斂到理論最優值附近(f6的最優平均值為0.000 30,f7的最優平均值為0.398,f8的最優平均值為3,f9的最優平均值為-3.86),較Golden-SA算法均有明顯優勢;與WOA和PSO算法相比,G-GWO算法在f6、f7和f9收斂精度更高,在f8中則均收斂到理論最優值。

3.4 與其他改進GWO算法對比

選取具有變權重的改進灰狼優化算法(variable weights grey wolf optimization algorithm,VM-GWO)[9]、自適應正態云模型的灰狼優化算法(adaptive normal cloud model grey wolf optimization algorithm,CGWO)[21]隨機對立學習的灰狼優化算法(random opposition-based learning grey wolf optimization algorithm,ROLGWO)[22]三種改進GWO算法進行對比,其中設置CGWO算法的參數為ω=0.3、τ=1和ξ=2,其余的參數設置則參照上述相關文獻,試驗結果見表4。

表4 G-GWO與其他改進GWO算法對比結果Table 4 Comparison of results between G-GWO and other improved GWO algorithms

由表4可知,對于單峰函數f1和f2,與VM-GWO、CGWO和ROLGWO算法相比,G-GWO算法的平均值更接近理論最優值0,標準差值更小,G-GWO算法的收斂精度和魯棒性均有明顯的優勢。對于多峰函數f3、f4和f5,與VM-GWO和CGWO算法相比,G-GWO算法的平均值更接近于理論最優值,標準差更小;與ROLGWO算法相比,G-GWO算法在f3的平均值和標準差均比ROLGWO算法接近于理論最優值,而在f4和f5中的測試結果相同。對于固定維度多峰函數f6、f7、f8和f9,與VM-GWO算法和ROLGWO算法相比,三者僅在f8中得到相同的平均值,其余則G-GWO算法的平均值和標準差更優;與CGWO算法相比,G-GWO算法在f6、f7和f9中的平均值明顯更接近理論最優值,在f8中兩者均收斂到理論最優值。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗分析

為了評估G-GWO算法的性能,將G-GWO算法與其他7種算法在三類測試函數的運行結果進行Wilcoxon秩和檢驗,并計算p值,其中選擇顯著性水平0.05,使用+/≈/-來表明算法優于、相似或者差于比較的算法,N/A表示算法結果接近,無法進行顯著性判斷。測試函數的Wilcoxon秩和檢驗結果見表5。

表5 測試函數的Wilcoxon秩和檢驗結果Table 5 Results of Wilcoxon rank sum test of test functions

由表5可知,G-GWO算法的Wilcoxon秩和檢驗結果p值大部分小于0.05,統計結果表明:相比其他7種常用優化算法,G-GWO算法對三類測試函數的尋優性能具有顯著優勢。

3.6 收斂性分析

為了直觀地反映G-GWO算法的收斂性能,選取GWO、Golden-SA、WOA、PSO、VM-GWO、CGWO、ROLGWO和G-GWO等8種算法對單峰函數f1、f2,多峰函數f4、f5和固定維度多峰函數f6、f7作為典型函數進行收斂性分析,得到適應度均值隨迭代次數的變化曲線,各算法尋優曲線對比如圖2所示。

圖2 各算法尋優曲線對比Fig.2 Comparison of optimization curves for each algorithm

由圖2可知,G-GWO算法在單峰函數f1和多峰函數f4中能夠快速地收斂到理論最優值,且不存在明顯的停滯,并在單峰函數f2、多峰函數f5及固定維度多峰函數f6和f7中快速收斂至較優值并保持穩定,與其他算法相比具有明顯優勢。GWO、PSO、VM-GWO和CGWO算法在三類基準測試函數中存在不同程度的停滯,收斂精度低;Golden-SA、WOA和ROLGWO算法除了在多峰函數f4外,其他基準測試函數中均陷入局部最優值。綜合圖2結果分析,G-GWO算法在收斂速度和收斂精度上較其他算法具有較大的優勢。

4 G-GWO算法對板料沖壓成形的代理模型精度優化研究

為驗證G-GWO算法在實際應用中的有效性,對建立的板料沖壓成形的BP神經網絡代理模型精度進行優化,并將G-GWO算法優化結果與GWO、Golden-SA、WOA、PSO、VM-GWO、CGWO和ROLGWO算法的結果進行對比。

4.1 沖壓件簡介

本文選取異形薄壁不銹鋼隔熱罩為研究對象,其幾何模型見圖3,三維尺寸為378 mm×227 mm×76 mm,沖壓件的厚度為0.25 mm。

圖3 異形隔熱罩幾何模型Fig.3 Geometric model of special-shaped heat shield

板坯材料所使用的是SUS304不銹鋼,其材料性能參數如下:屈服強度為239 MPa,抗拉強度為520 MPa,彈性模量為2.1×105MPa,泊松比為0.28,硬化指數為0.40。

4.2 成形質量與目標

將沖壓件的最大減薄率和最大增厚率兩個質量參數作為優化目標,優化目標函數如下:

Y1=miny1;

(15)

Y2=miny2。

(16)

式(15)～(16)中:Y1和Y2為目標函數;y1為沖壓件最大減薄率;y2為最大增厚率。

在影響沖壓成形質量的主要工藝參數中,壓邊力(F)、沖壓速度(v)、模具間隙(t)和摩擦系數(u)的取值范圍見表6。

表6 參數的取值范圍

4.3 試驗設計

使用拉丁超立方抽樣法(latin hypercube sampling,LHS)抽取樣本,在壓邊力、沖壓速度、模具間隙和摩擦系數4個優化參數的取值范圍內抽取滿足數值擬合要求的90組試驗參數,使用有限元軟件Dynaform進行仿真試驗,得到各組在抽樣點條件下的沖壓件最大減薄率和最大增厚率,并通過BP神經網絡采用單輸出的擬合方式[23],即對隔熱罩異形件的質量參數最大減薄率和最大增厚率為輸出分別建模。將90個樣本中的80%作為網絡訓練數據,余下20%作為網絡預測數據,截取前兩組和后三組的抽樣仿真數據的結果,見表7。

表7 抽樣仿真數據的結果Table 7 Results of sample simulation data

4.4 精度分析

分別使用G-GWO和其他7種算法優化BP神經網絡的權值和閾值,建立4個工藝參數與最大減薄率和最大增厚率的代理模型。通過均方誤差和決定系數來檢驗BP神經網絡模型的精度。其中,最大減薄率和最大增厚率的預測相對誤差比較如圖4所示,均方誤差(mean square error,MSE)和決定系數(coefficient of determination,R2)比較結果見表8。

表8 均方誤差和決定系數比較結果Table 8 Comparison results of mean square error and coefficient of determination

圖4 預測相對誤差比較Fig.4 Comparison of relative errors of predictions

由圖4(a)可知,G-GWO算法優化的代理模型精度較高,最大相對誤差為3.47%;由圖4(b)可知,G-GWO算法優化的代理模型的最大相對誤差為4.99%,明顯優于其他算法。綜合圖4分析,G-GWO算法優化的代理模型的相對誤差值均小于5%,訓練的代理模型精度高。由表8可知,G-GWO算法優化的最大減薄率代理模型的MSE和R2分別為2.72e-05和0.946 3,最大增厚率代理模型的MSE和R2分別為4.73e-06和0.992 4,G-GWO優化BP神經網絡的代理模型精度明顯優于其他算法,預測精度高,建立的高精度G-GWO算法優化BP神經網絡代理模型可以滿足后續對沖壓工藝成形優化設計的要求。綜合以上結果,G-GWO算法在板料沖壓成形的代理模型精度優化問題上具有一定的優越性。

5 結 論

本研究在GWO算法的基礎上,以提高GWO算法的收斂精度、收斂速度和跳出局部最優為目的,提出了一種融合多策略的黃金正弦灰狼優化算法(G-GWO),得出如下結論。

1) 引入非線性收斂因子和動態比例權重策略,協調算法全局探索和局部開發的能力,提高算法的收斂速度;結合黃金正弦策略更新灰狼位置,提高算法在搜索后期處理局部最優的能力,采用多種策略融合可以使算法尋優性能更加良好。通過三類基準測試函數進行尋優測試,從平均值、標準差及收斂曲線的結果表明,G-GWO算法具有較優的收斂精度和魯棒性,以及快速收斂的能力;并進行Wilcoxon秩和檢驗,從統計學的角度驗證了G-GWO算法的顯著優勢。

2) 將G-GWO算法與其他7種優化算法應用于建立板料沖壓成形的BP神經網絡代理模型中,其中G-GWO算法建立的最大減薄率和最大增厚率代理模型誤差均小于5%,具有顯著優勢,驗證了G-GWO算法在實際優化問題中的有效性。

未來,通過將不同的灰狼位置更新模型以及結合各種優秀的算法來增強GWO算法的搜索能力,同時也將致力研究應用于更多的領域。