基于PZT機電耦合效應的工作平臺調平方法

徐愛群,高津烜,饒 勝,王名宏

(浙江科技學院 機械與能源工程學院,杭州 310023)

在機械零件的加工過程中,使工作平臺保持水平十分重要。隨著微機電系統的發展,大多數機械設備對水平度的要求越來越高,許多機械設備的工作平臺在受力時會發生微小的傾斜,各種誤差的累積嚴重影響成品的品質,因此必須進行水平調節。

傳統的位置反饋調平方法所檢測的變量是平臺的位移量,由于產生的位移是力作用的結果,因此平臺的位移較之作用力具有明顯的滯后性。關于調平方法的實際工程應用已有大量研究。在提高裝置抗沖擊性能方面,李琳等[1]針對設備傾斜造成姿勢不當等問題,提出了一種對旋轉輸出軸根部增加圓角和加裝橡膠緩沖墊及彈簧支撐件的方法,以降低調平裝置受到的沖擊應力,提高調平裝置的抗跌落性能。在提高調節速度方面,鄧傳濤等[2]針對平臺調平控制,提出了一種結合比例、積分和微分等3種方法于一體的控制算法,相比傳統控制算法具有更高的控制精度和動態性能,調節速度提高了40%以上。在模型優化降低誤差方面,張強等[3]針對高空作業平臺液壓調平機構的工作原理進行了研究,對上下調平機構六變量優化的數學模型進行優化,將調平誤差最大值降低了49%,上調平液壓缸所需最大推力降低了2%。在調平精度方面,馮儀等[4]采用伺服電機控制的四支點支撐平臺,設計的系統實現了機電一體化,調平精度結果小于1′,調平時間小于2 min。

綜上所述,現有調平方法并不完全適用于微系統和精密機械,應用領域有限,實現成本較高,不能滿足精密零件加工對工作平臺水平精度的要求;且大多采用四點支撐結構,容易因受力不均而產生“虛腿”現象,造成伺服電機過載[5]。因此,本研究設計了一種等邊三支腿調平結構,仿真分析工作平臺受力時可驅動支腿的4種受力情況。鑒于以往對壓電陶瓷的研究主要集中于材料自身的特性及能量存儲方面[6-8],故本研究提出一種基于PZT(piezoelectric ceramics,壓電陶瓷)功能材料固有的壓電應變屬性的調平方法,工作平臺的調節根據材料本身的微動位移來實現,避免了液壓和電機等介質造成的誤差。

1 調平機構工作分析

在無外電場作用時,壓電陶瓷表面電疇由于內部的極化作用相互抵消。經過極化處理后,內部電疇自發極化方向都趨于外加電場方向,即呈現壓電效應。而壓電陶瓷的逆壓電效應原理則是壓電陶瓷在電場作用下產生極化,在電場力的作用下產生形變[9-11]。

調平機構整體結構主視圖見圖1,壓電陶瓷的局部結構如圖2所示。工作平臺用于承載工作載荷,俯視呈等邊三角形結構。底座和工作平臺由3只可驅動支腿通過預緊螺釘連接,呈等邊三角形分布。在壓電陶瓷的局部結構中,壓電陶瓷驅動器、傳感器、柔性鉸鏈及電絕緣材料環氧樹脂以豎直方向依次排列;傳感器用來檢測電壓,驅動器用來控制支腿的伸縮量,環氧樹脂用作驅動器和傳感器的絕緣黏結劑。柔性鉸鏈為可驅動支腿提供軸向支撐。由于底座對可驅動支腿的軸向約束,當工作平臺受到工作載荷時,支腿的位移量會沿著豎直方向變化,通過對比各支腿分力的大小關系來施加驅動電壓控制壓電陶瓷的微小形變,從而實現工作平臺的調平。

圖1 調平機構整體結構主視圖Fig.1 Front view of overall structure of leveling mechanism

圖2 壓電陶瓷的局部結構Fig.2 Localized structure of piezoelectric ceramics

壓電陶瓷的微小形變由施加到PZT功能材料上的電壓大小來控制。調平順序如下:工作載荷→支腿受力→比較各分力大小→施加驅動電壓→PZT形變產生微動位移→分力差值在精度閾值內→調平結束。調平過程幾乎沒有能量損失,能夠滿足高精度的調平要求。

1.1 調平步驟

在工作平臺施加載荷F,3只可驅動支腿的分力分別為F1、F2、F3,對應的壓電陶瓷結構中壓電陶瓷傳感器所產生的電壓值分別為U1、U2、U3。根據壓電陶瓷在電場中的逆壓電效應[12],壓電陶瓷應變量表示如下:

(1)

式(1)中:ε為壓電陶瓷驅動器的應變量;c為壓電陶瓷材料的壓電系數;M為壓電陶瓷材料的電致伸縮系數;d為組成壓電陶瓷驅動器與壓電陶瓷傳感器的單組極板之間的距離。

施加驅動電壓后,壓電陶瓷驅動器所產生的驅動力f1、f2、f3與驅動電壓U1、U2、U3的關系式如下:

(2)

式(2)中:E為PZT的楊氏模量;A為可驅動支腿的橫截面積。

調平機構的工作流程圖見圖3。

圖3 工作流程圖Fig.3 Work flow chart

當工作平臺承受外部作用力F時,各驅動支腿受分力示意圖見圖4,圖中a為等邊三角形工作平臺邊長的1/2,(x,y)為工作平臺作用力F作用點的坐標。

圖4 各驅動支腿受分力示意圖Fig.4 Schematic diagram of force component of each driving outrigger

根據空間平行力系可求得各支腿分力之間的關系式如下:

(3)

根據式(3)推導出F1、F2、F3后,3只可驅動支腿的受力情況可分為三力相等、三力互不相等,以及三力中有兩力相等且小于第三力及三力中有兩力相等且大于第三力4種情況。由于工作平臺為等邊三角形結構,為不失一般性,三力關系可表達為F1=F2=F3、F1F3。

1) 當F1=F2=F3時,工作平臺處于水平狀態,無須調平。

2) 當F1

(4)

式(4)中:ΔLi(i=1,2,3)分別為各可驅動支腿的形變量;Fi(i=1,2,3)分別對應第一、第二、第三可驅動支腿所分擔的壓力,L為可驅動支腿的長度。

初始狀態下,可驅動支腿的長度相等。此時3只可驅動支腿的形變量之差分別如下:

(5)

此時平臺要恢復水平狀態,應使第二壓電驅動器的形變量等于ΔL2-ΔL1,第三壓電驅動器的形變量等于ΔL3-ΔL1,即

(6)

式(6)中:Lp為壓電陶瓷驅動器長度。

對第二可驅動支腿處的壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓U′2,第三可驅動支腿處的壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓U′3:

(7)

檢測第一可驅動支腿中由于第二可驅動支腿和第三可驅動支腿伸縮而產生的分力的增量ΔF1。其中ΔU1是在ΔF1作用下第一可驅動支腿上的壓電陶瓷傳感器所產生的電壓;δ為精度閾值,根據工作平臺所需要的工況調平精度確定;若ΔF1<δ,則調平結束。

(8)

否則第二和第三可驅動支腿處的壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓修改為U″2、U″3:

(9)

3) 當F1=F2

(10)

若ΔF′1<δ,則調平結束;否則重新對第三可驅動支腿處的壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓U″3:

U″3=U′3-ΔU1。

(11)

4) 當F1=F2>F3時,需同時對第一、第二兩支腿施加相等電壓U′1,得到第一、第二兩支腿因此產生的分力增量。若ΔF′1>δ,則重新施加驅動電壓U″1:

(12)

1.2 工作平臺傾斜角分析

調平步驟完成后需要進行水平度分析,本研究以傾斜角大小作為衡量工作平臺水平度的標準[13-15];傾斜角即工作平臺傾斜后的平面與基準平面所形成的夾角,在工作平臺受外力產生傾斜后,通過推導傾斜角與支腿形變量之間的關系來分析工作平臺的水平度,由此判斷工作平臺水平度是否滿足工況精度要求。由于工作平臺受力時可驅動支腿產生的4種受力情況而產生的受力形變情況見圖5。

圖5 各支腿受力形變情況Fig.5 Force and deformation of each outrigger

支腿受力形變情況為ΔL1≠ΔL2≠ΔL3時的傾斜角示意圖見圖6,圖中A(0,0,z1)、B(x,0,z2)、C(0,y,z3)、D(x,0,0)、E(x,y,0)、F(0,y,0)。圖6中由于各支腿受力形變均不相同,工作平臺在立體空間內可向任何方向傾斜,故采用向量法分析傾斜角。設平臺ABC受力時A點支腿受力最小,C點支腿受力最大,則支腿間的形變量為z1-z3=ΔL3-ΔL1,z1-z2=ΔL2-ΔL1,工作平臺ABC的法向量為n,水平基準面S1法向量為m=(0,0,1),再將式(5)代入面S和面S1夾角β的余弦值cosβ,此時β為傾斜角,即

(13)

圖6 傾斜角示意圖Fig.6 Schematic diagram of tilt angle

圖7 工作平臺面與傾斜面的幾何關系Fig.7 Geometric relationship between working platform surface and inclined surface

由圖7可知,支腿形變量與工作平臺傾斜角的數學關系為

(14)

由于β→0,故上式簡化為

sinβ≈β。

當工作平臺受力時,各支腿形變量如式(4)所示。將式(4)代入式(14)可得各支腿由于形變量而造成的傾斜角為

(15)

當工作平臺受力產生傾角時,按上述調平步驟,將式(6)的支腿形變量之差代入式(14),可得調平的理論傾斜角

(16)

在調平步驟完成后,驗證工作平臺水平度時,將ΔF代入式(15),可得:

(17)

又因ΔF<δ,將式(10)代入式(17),則傾斜角與精度閾值滿足如下關系:

1.59×107β′=ΔF<δ。

2 ANSYS模擬仿真

2.1 仿真前處理

對機構材料進行定義,壓電片選擇PZT-4壓電材料,密度ρ為7 450 kg/m3,泊松比為0.269,楊氏模量E為1.06×1011(Pa)。工作平臺結構選用碳素結構鋼材料,密度ρ=7.85 g/cm3,彈性模量E的范圍為200～210 GPa,泊松比的范圍為0.25～0.33。沿豎直方向極化的材料剛度矩陣K(×1010N/m2)、壓電矩陣d(C/m2)和介電矩陣ε分別如下:

在仿真軟件前處理模塊中,首先對調平機構進行網格化處理,網格化處理方式決定了仿真結果的精準度,主要包括材料屬性定義、網格屬性定義、網格劃分等步驟。

2.2 加載與求解

驅動電壓在壓電求解時,PZT材料在豎直方向極化,耦合上下表面電壓。壓電片網格化共生成5 906個結點和1 190個單元,示意圖見圖8。壓電驅動模塊工作示意圖見圖9。

圖8 壓電片網格化示意圖Fig.8 Schematic diagram of piezoelectric grid

圖9 壓電驅動模塊示意圖Fig.9 Schematic diagram of piezoelectric drive module

2.2.1 支腿受力分布仿真

在調平分析中,對支腿施加電壓前必須了解各支腿的受力情況。分析支腿受力情況時,定義工作平臺模擬載荷F為50 N。當外載荷作用點發生變化時,支腿受力狀況也將發生變化,故將受力點分別設置在工作平臺中心點、中心線等不同區域。各可驅動支腿形變及受力的4種情況如圖10所示。

圖10 各可驅動支腿形變及受力的4種情況Fig.10 Four conditions of deformation and force of each drivable outrigger

由圖10(a)可知,當受力點在中心點時,各支腿受力相等,即F1=F2=F3;由圖10(b)、(c)可知,當受力點在中心線上分布時,其中兩個支腿受力相等;圖10(d)表示當受力點位于其他區域時,各支腿受力均不相等,用F1

圖11 工作平臺的受力區域與各支腿的受力分布關系Fig.11 Force distribution relationship between force bearing area of working platform and each outrigger

2.2.2 支腿受力形變仿真

為便于計算所需要的微動位移補償,因此要分析支腿因受力而產生的形變情況。通過仿真得到各支腿的形變量后,再對壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓使其產生等量級的位移補償。4種受力情況下支腿受力產生的形變如圖12所示,由圖可知,當受力點位于工作平臺的不同區域時,各支腿的形變量與其所受分力大小呈正相關變化。

圖12 4種受力情況下支腿受力產生的形變Fig.12 Deformation of outrigger under four force conditions

由圖12(a)可知,各支腿形變量相等,即ΔL1=ΔL2=ΔL3;圖12(b)、(c)表示形變量為ΔL1=ΔL2<ΔL3和ΔL1=ΔL2>ΔL3的2種情況,其中兩支腿形變量ΔL1、ΔL2分別為-3.07×10-8～-9.22×10-8(m)和-1.42×10-8～-1.27×10-7(m),ΔL3為-3.07×10-8～-2.77×10-7(m)和-1.42×10-8～-1.13×10-7(m);圖12(d)表示各支腿形變量的關系為ΔL1≠ΔL2≠ΔL3,其中各支腿的形變范圍分別為-2.89×10-8～-8.68×10-8(m)、-2.89×10-8～-1.16×10-7(m)、-2.89×10-8～-2.60×10-7(m)。

3 調平結果分析

以F1=F2

3.1 傾斜角理論分析

驅動電壓在10～150 V范圍內時,代入式(2)、式(6)中得到的壓電陶瓷理論受力與變形關系曲線如圖13所示。由驅動力曲線可知,對壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓后產生的驅動力f在0～13 N范圍內,與工作平臺支腿所受分力大小F在同一量級范圍內;由壓電陶瓷形變曲線可知,施加電壓產生的位移范圍在10-8～10-7m。與上述受力形變的仿真結果相比,驗證了支腿受力時的形變量與壓電陶瓷產生的微動位移量的統一。從理論計算來看,結合式(19)、式(20),調平前后工作平臺傾斜角變化曲線如圖14所示。平臺受外力時產生的傾斜角為β,調平后的傾斜角為β′。以支腿橫截面受分力的大小為0～13 N范圍內為例,工作平臺在受外力時產生的最大傾斜角為2.15×10-6(°),施加驅動電壓后傾斜角減少了1.95×10-6(°)。理論計算可得調平后工作平臺傾斜角可減小到原來的10%。

圖13 壓電陶瓷驅動電壓理論受力與形變關系曲線Fig.13 Relation curve between theoretical force and deformation of piezoelectric ceramic driving voltage

圖14 調平前后工作平臺傾斜角變化曲線Fig.14 Change curve of tilt angle of working platform before and after leveling

3.2 傾斜角仿真分析

在ANSYS壓電耦合仿真分析中,根據具體工況對壓電模塊進行建模,壓電陶瓷驅動器長度為7 mm,驅動電壓范圍為10～150 V。當應力作用在可驅動支腿橫截面上時,在豎直方向產生壓縮變形。而在壓電陶瓷兩端施加電壓后,對可驅動支腿的豎直方向產生相應的微動位移。當外力50 N作用在平臺中心線時,取壓電陶瓷處的仿真應力值為6×105(Pa),支腿橫截面積S=25.13×10-6(m2),通過上述工作原理計算,得出1只腿分力F為15.078 N,代入式(2)可得該支腿壓電陶瓷驅動器在上述工況下的驅動電源電壓理論值約為43 V,理論形變量為-1.038×10-7(m)。

電壓值為43 V的壓電陶瓷微動位移仿真結果如圖15所示,由圖可知,支腿的微動位移仿真值基本上在1.072×10-7～1.787×10-7(m)之間。與圖12(a)、(b)和(c)的支腿形變量仿真結果相比,壓電陶瓷微動位移仿真結果與受支腿分力時的理論形變量在同一量級范圍內,理論形變量ΔL=-1.038×10-7(m),與仿真結果的誤差值為0.034×10-7(m),誤差波動為3.276%,在合理范圍內。

圖15 壓電陶瓷微動位移仿真結果Fig.15 Simulation results of piezoelectric after ceramic fretting displacement

根據圖12(b)仿真結果進行計算,當工作平臺受外力作用時支腿所受分力差值ΔF的形變閾值ΔL=4.65×10-8(m)。對形變量最大的支腿壓電陶瓷驅動器施加驅動電壓后,各支腿因受力差而產生的形變情況如圖16所示,理論計算可得ΔL′=-2.94×10-8(mm)。將ΔL、ΔL′分別代入式(19)可得:調平前傾斜角為1.12×10-6(°),調平后傾斜角β″減小了0.71×10-6(°)。仿真結果可得調平后工作平臺傾斜角可減小到原來的37%。

圖16 施加電壓后各支腿因受力差產生的形變Fig.16 Deformation of each outrigger due to force difference applying voltage

4 結 語

基于壓電陶瓷功能材料在機械工程領域的應用,提出了一種基于壓電材料逆壓電特性的調平方法。首先推導出力的作用點與各支腿分力之間的相互關系;再利用ANSYS中的瞬態結構模塊進行仿真試驗,結果表明調平理論計算值與仿真試驗值處于同一量級范圍,可實現微米級精度的水平調節功能。通過平臺平面度驗證,當支腿分力產生的增量在精度閾值范圍內時,則符合調平要求。相比四支點支撐結構,本研究提出的等邊三支腿結構具有穩定性好、支撐可靠性高等優點,避免了因“虛腿”而造成支腿受力不均的現象,其應用場合更加廣泛,具有控制邏輯清晰、響應速度快、調整精度高等特點。