雙耦合諧振子Fano共振特性的實驗設計與研究

翟立朋,劉 悠*,程 琳,常凱歌,張俊武

(1.西安交通大學 物理學院 大學物理國家級實驗教學示范中心,陜西 西安 710049;2.西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

Fano共振最早是在1961年由意大利物理學家Ugo Fano在研究惰性氣體的吸收特性時發現并解釋的一種反對稱共振現象[1],是因為氣體分子系統中分離態能級與連續態能帶進行量子干涉而產生的一種特殊的共振現象。隨著人們對Fano共振研究的深入,這種特殊的共振狀態已經被廣泛應用在納米超材料[2]、波導微腔[3]、石墨烯[4]、光子晶體[5]、電磁誘導[6]等前沿熱點領域。

Fano共振與傳統共振現象最重要的區別在于其共振譜線呈反對稱分布。傳統共振認為系統在做受迫振動時,當受迫頻率與自身的固有頻率相等時,系統做受迫振動的振幅最大,受迫頻率與固有頻率的差值越大,受迫振動的振幅單調減小,這種共振譜線稱為洛倫茲線型,這在大學物理[7-8]和大學物理實驗[9-13]課程中有比較系統地體現。Fano共振在共振點附近不僅出現了振動增強還出現了振動減弱的現象,所以構成了一種特殊的反對稱線型。

Fano共振在大學物理和物理實驗[14-16]中也有了初步的探索和應用。本文使用傳統的諧振子模型,系統地解釋Fano共振現象產生的動力學機理,詳細闡述了Fano共振特性在大學物理實驗教學中的設計與應用,設計并研究了一種既包含了傳統共振也包含Fano共振的物理實驗儀器,以期提高物理實驗課程內容的高階性、綜合性和創新性。

1 Fano共振的動力學原理

圖1 雙耦合諧振子共振實驗儀結構圖

為了更清晰的進行雙耦合諧振子模型的動力學分析,將圖1所示的儀器結構圖轉化為如圖2所示的受力模型圖,上下兩個模型分別表示振子處于平衡狀態和非平衡狀態時的受力情況,其中x為彈簧的原長,而x0、x1、x2表示的是驅動振子、振子A1、振子A2的位移,m1、m2為兩個振子的質量。

圖2 雙耦合諧振子共振實驗受力模型圖

振子A1、A2的動力學方程可表示為

(1)

(2)

將上式整理可以得到:

驅動振子受驅動力的控制做頻率特定的簡諧振動,可表示為

x0=A0eiωt。

振子A1、A2做受迫振動,在受迫振動穩定以后做頻率與驅動頻率一樣的簡寫振動,則x1和x2解的形式可表示為

x1=A1(ω)eiωt,

(3)

x2=A2(ω)eiωt。

(4)

將(3)(4)解的形式代入到(1)、(2)動力學方程中,待定系數以后可以得到:

(5)

(6)

從(5)、(6)關于振動的表達式可以看出,當滿足:

2k+iμω-m1ω2=0 ,

(7)

2k+iμω-m2ω2=0 ,

(8)

A1(ω)和A2(ω)的分母都為最小值,即振幅強度最大,可以出現共振峰。當滿足式(8)時,A1(ω)的分子為零,此時共振的最大值和最小值會出現狀態疊加,量子物理中解釋為暗模狀態和亮模狀態的疊加,即Fano共振現象。

A1(ω)和A2(ω)中不僅包含了振子的振幅信息還包含了振動的相位信息,所以還可以將其表示為

A1(ω)=|A1(ω)|·eiφ1(ω),

(9)

A2(ω)=|A2(ω)|·eiφ2(ω)。

(10)

結合歐拉公式可以得到:

(11)

(12)

其中imag和real分別表示取虛部和取實部運算。對于兩個振子的相位差,可以使用(9)(10)直接做差,也可以設:

Δφ=φ1(ω)-φ2(ω) ,

由歐拉公式,可以得到:

ei(φ1-φ2)=eiΔφ=cosΔφ+isinΔφ,

將(9)(10)兩式相除得到:

對應到實部和虛部:

整合以后可以得到:

則相位差Δφ可表示為

(13)

這樣即從理論上得到了雙耦合諧振系統的振幅和相位差。

圖3所示的(a)、(b)分別展示了該系統的幅頻與相頻特性。從幅頻特性上可以看到每個振子都有兩個共振峰,兩個振子的自由振蕩頻率ω1和ω2處分別對應式(7)、(8)計算得到的共振頻率,這與常規的共振特性是一致的。但振子A1在ω2附近會出現一個強度為零的谷,導致該處的幅頻曲線呈反對稱分布,即為Fano共振現象。

ω/(rad·s-1)(a)

ω/(rad·s-1)(a)

2 雙耦合諧振子共振儀設計與測量方法

2.1 雙耦合諧振子共振儀設計

按照如圖1所示的結構,本文設計了如圖5所示的雙耦合諧振子共振儀。共振儀主要包括信號源、驅動電機、驅動振子、振子A1、振子A2五個部分。

圖5 雙耦合諧振子共振儀實物圖

信號源輸出特定頻率的方波信號,控制驅動電機產生對應頻率的轉動,驅動電機與驅動振子之間通過機械桿相連,這樣驅動電機與驅動振子之間具有完全相同的振幅、相位。驅動振子、振子A1、振子A2之間通過彈簧連接,形成雙耦合共振系統。為了測量振子的振動周期和振幅,在振子上安裝BWT61CL型藍牙加速度(陀螺儀)傳感器,對振子運動的加速度進行實時測量。

2.2 振幅與相位差的測量方法

從加速度傳感器得到的數據需要經過處理才能得到本文需要的振幅與相位差。從傳感器得到a(t)數據以后,首先經過時間積分可以得到速度隨時間的變化關系:

(14)

對速度進行時間積分以后即可得到位移隨時間的變化關系:

(15)

如圖6(a)所示,當驅動頻率為1.562 5 Hz時,雙耦合系統陀螺儀輸出的A1、A2振子加速度隨時間的變化關系數據。經過時間積分以后可以分別得到圖6(b)、(c)所示的速度時間關系和位移時間關系數據?？梢钥吹诫p耦合振子在做簡諧振動時,振子的平衡位置有輕微的抖動,這也是本模型可能出現測量誤差的地方。

t/s(a)

得到振子的位移時間關系以后,對x(t)進行離散傅里葉變換得到:

(16)

A(f)代表的是每個不同頻率下對應的振幅,即振子振動的頻譜。從頻譜中找到最大值及其對應的頻率,即為此時振子受迫振蕩的振幅和頻率。如圖7(a)所示,經過頻譜變換以后可以得到各自振幅和頻率的具體數值。兩個受迫振蕩的頻率與驅動頻率1.562 5 Hz吻合,一方面證實了穩定受迫的頻率與驅動頻率一致,另一方面驗證了該方案測量頻率和振幅可行。圖7(b)畫出了本文所有測量點受迫振蕩頻率測量值與驅動頻率的相對誤差,發現頻率測量誤差不會超過5.0%。

頻率/Hz(a)

借鑒李薩茹圖形測量相位差的原理[3],將兩個振子的振動合成為如圖8所示的李薩茹圖形。因為振子做受迫振動的頻率都等于驅動頻率,所以李薩茹圖形為橢圓。將測量數據擬合后即可得到橢圓方程:

Al位移/cm圖8 相位差的測量

中的相位差Δφ為0.692 rad。

3 雙耦合諧振子模型的Fano共振特性

本文設計的雙耦合諧振子共振儀,兩個振子的質量分別為

m1=195.71 g ,

m2=299.80 g ,

兩個彈簧的勁度系數為

k=6.445 N/m ,

小車運動過程中阻尼系數為

μ=0.216 ,

控制驅動電機的振動頻率在[0.625 00 Hz,1.718 75 Hz]范圍內,均勻選取36個測量點,得到了雙耦合振子各自的幅頻曲線和相頻曲線。

圖9所示為所搭建的雙耦合共振儀測量得到的幅頻曲線和相頻曲線,其中點代表測量值、線代表的是理論值。從圖中可以看出,雙耦合諧振子振動過程中出現了兩個共振主峰,并且振子A1在第一個共振峰附近的振幅接近零,即出現了Fano共振現象;在Fano共振的頻率范圍內兩個振子之間的相位差發生了突變。另外,圖9所示的幅頻曲線既包含了經典的洛倫茲共振,也包含本文所展示的Fano共振。實驗上幅頻相頻的變化規律、共振主峰的位置、Fano共振谷的位置都與理論結果吻合很好,說明該模型有很好的應用可行性。

頻率/Hz(a)

4 結 論

本文先從理論上詳細闡述了雙耦合諧振子的共振特性,使用雙耦合振子模型可以非常好地展現出反對稱的Fano共振現象,同時在實驗上設計了一種雙耦合諧振子共振儀,給出了具體的實驗測量方案,為Fano共振現象在基礎物理和基礎物理實驗教學體系中的應用提供了理論和實踐方案。本文為了測量振幅和相位差,結合離散傅里葉變換和李薩茹圖形對雙耦合諧振子模型,詳細闡述了實驗數據的處理過程,提高了該實驗的綜合性和挑戰度,也得到了與理論值吻合非常好的Fano共振數據,為新實驗的開設提供了充分的理論和實踐依據。該實驗還可以在勁度系數、阻尼系數、振子質量比等參數對Fano共振特性的影響等方面進行更深入的拓展研究。