基于PASCO轉動運動傳感器測量剛體轉動慣量

齊敬強,劉夢林

(北京交通大學 威海校區 實驗中心,山東 威海 264401)

剛體轉動慣量是描述剛體轉動時慣性大小的物理量。常用的剛體轉動慣量的測量方法有扭擺法[1]、三線擺法[2]和落體法[3]等。落體法測量剛體轉動慣量(以下簡稱落體法)是利用力矩、角加速度和轉動慣量之間關系,通過測量力矩和角加速度從而計算出轉動慣量的方法。落體法的實驗原理比較簡單,易于理解,但是實驗誤差相對較大。很多學者從不同的方面分析了落體法的實驗誤差并進行了改進[4-7]。在落體法實驗中如何精確地測量出轉動系統的角加速度是非常關鍵的步驟,在此之前大部分的測量方法都是通過計時計數器記錄不同時刻載物臺轉過的角度,然后計算出轉動系統的角加速度[8-9],這種測量方法較為復雜且誤差較大。

PASCO實驗平臺是一個集數據收集、應用和分析于一體的物理實驗系統。傳感器采集數據后,計算機可以對過程中的數據進行處理,尤其是對一些瞬態變化的物理量能夠做到實時測量[10-11]。利用PASCO轉動運動傳感器可以直接測量出物體轉動時角速度隨時間變化的數據,并且可以直接得出轉動物體的角加速度。通過這種方法可以簡化落體法的實驗步驟,從而提高實驗精度。

1 實驗裝置

圖1為實驗裝置圖。實驗中用到的裝置主要包括轉動慣量實驗儀(ZKY-ZS)、轉動運動傳感器(PS-2120)及支架、850通用接口(UI-5000)、一臺裝有PASCO Capstone軟件的計算機、游標卡尺、天平、圓盤試樣、圓環試樣、圓柱試樣、細繩和砝碼。

圖1 實驗裝置圖

2 實驗原理

剛體的定軸轉動定律為

M=Jβ。

(1)

其中M為剛體轉動時所受的總合外力矩,β為該力矩作用下剛體轉動的角加速度,J即為剛體的轉動慣量。只要測量出剛體轉動時所受到的總合外力矩M及該力矩作用下剛體轉動的角加速度β,即可計算出該剛體的轉動慣量J。

如圖1所示,在落體法實驗中,力矩M的大小為

M=TR,

(2)

其中,T為細繩的拉力,R為繞線塔輪的半徑。將細繩的一端系上質量為m的砝碼并將細繩繞過轉動運動傳感器,然后將細繩的另一端纏繞在半徑為R的繞線塔輪上,系統在恒外力矩的作用下做勻加速轉動。若砝碼的加速度為a,則細繩所受到的拉力為

T=m(g-a) ,

(3)

其中,g為重力加速度,g=9.8 m/s2。若此時載物臺的角加速度為β,則砝碼的加速度為

a=Rβ。

(4)

為了方便計算,先假設系統的阻力矩為零,由(1)(2)(3)(4)式可得:

(5)

為了計算圓盤、圓環和圓柱試樣的標準轉動慣量,下面列出具體計算公式。標準圓盤和圓柱繞中心軸旋轉時的轉動慣量計算公式為

(6)

其中,m圓為圓盤或圓柱的質量,R圓為圓盤或圓柱底面的半徑(以下簡稱圓柱的半徑)。

標準圓環繞中心軸旋轉時的轉動慣量計算公式為

(7)

其中,m環為圓環的質量,R內為圓環的內圓半徑,R外為圓環的外圓半徑。

根據平行軸定理可知,物體圍繞通過質心O的轉軸轉動時的轉動慣量最小。當轉軸平行移動一段距離后,繞新轉軸轉動的轉動慣量為

J平=J0+m0d2,

(8)

其中,J0為物體圍繞通過質心O的轉軸轉動時的轉動慣量,m0為物體的質量,d為轉軸平行移動的距離。

3 實驗過程

3.1 實驗準備

將細繩一端不重疊地密繞在直徑為5 cm的塔輪上,然后將細繩繞過轉動運動傳感器的滑輪,在細繩的末端懸掛砝碼。轉動運動傳感器通過850通用接口接入計算機。打開PASCO Capstone軟件,設置時間t為橫坐標,單位為秒(s),設置角速度ω為縱坐標,單位為弧度/秒(rad/s)。轉動運動傳感器的滑輪直徑為4.78 cm,而塔輪的直徑為5 cm,兩者的角速度不同,但是成一定的比例。通過PASCO Capstone軟件的計算器功能,可以將滑輪的角速度乘以兩者的比例系數即可將滑輪的角速度轉化為塔輪的角速度。

3.2 測量并消除阻力矩

在實驗原理的推導中為了計算方便,我們假設阻力矩為零,但是在實際的實驗過程中阻力矩不為零,我們需要測算出阻力矩并消除其對實驗的影響。在細繩的末端從小到大放置不同質量的砝碼,輕輕推動載物臺直至載物臺能夠勻速轉動,此時砝碼產生的力矩剛好可以抵消阻力矩。在計算剛體轉動慣量時,只需要將這一部分砝碼的質量減去即可。通過多次實驗,確定大約1 g砝碼產生的力矩剛好可以抵消系統的阻力矩,此時實驗系統近似處于平衡狀態。為了驗證實驗的準確性,在細繩末端懸掛1 g砝碼,分別在載物臺上不放試樣和放置不同的試樣,輕輕推動載物臺,通過PASCO Capstone軟件記錄角速度隨時間變化的數據。

3.3 測量試樣的轉動慣量

將細繩不重疊地密繞在直徑為5 cm的塔輪上,在細繩的末端懸掛30 g的砝碼。載物臺上不放任何試樣,此時為空載物臺。釋放砝碼,細繩帶動空載物臺和轉動運動傳感器加速旋轉,通過PASCO Capstone軟件記錄角速度隨時間變化的數據。將實驗裝置恢復到初始狀態,在載物臺上分別放置圓盤試樣和圓環試樣,重復以上的步驟,分別記錄角速度隨時間變化的數據。將實驗裝置恢復到初始狀態,將兩個質量相同的圓柱對稱地放置在距離載物臺中心為9 cm的位置,重復以上步驟,記錄角速度隨時間變化的數據。

3.4 測量試樣的基本參數

使用天平分別測量圓盤、圓環和圓柱試樣的質量。使用游標卡尺分別測量圓盤和圓柱試樣的半徑以及圓環試樣的內外半徑。

4 實驗數據及分析

4.1 驗證實驗系統的平衡狀態

通過多次測試可得,在細繩末端懸掛1 g砝碼時,系統近似處于平衡狀態。圖2為不同實驗條件下系統的平衡狀態圖。在平衡狀態時,空載物臺及載物臺上放置圓盤、圓環和圓柱試樣后系統轉動時的角加速度分別為0.006 75 rad/s、-0.001 72 rad/s、-0.001 25 rad/s和-0.001 80 rad/s。在實驗測量時,細繩末端掛30 g砝碼,空載物臺及載物臺上放置圓盤、圓環和圓柱試樣后的角加速度分別為1.197 rad/s、0.743 rad/s、0.620 rad/s和0.820 rad/s。平衡狀態時的角加速度與實驗測量時的角加速度的比值分別為0.56%、-0.23%、-0.20%和-0.22%。平衡狀態時的角加速度遠小于實驗測量時的角加速度,因此近似認為載物臺系統是勻速轉動。由此可以得出質量為1 g的砝碼產生的力矩近似可以抵消系統的阻力矩。

圖2 不同實驗條件下系統的平衡狀態圖

4.2 計算試樣的轉動慣量的實驗值

圖3為不同實驗條件下角速度變化的圖像?？蛰d物臺及載物臺上放置圓盤、圓環和圓柱試樣后的角加速度分別為1.197 rad/s、0.743 rad/s、0.620 rad/s和0.820 rad/s。前面已經給出1 g砝碼用來抵消系統的阻力矩,因此砝碼的有效質量為29 g。已知塔輪的半徑R為2.5 cm,砝碼的質量m為29 g,角加速度β由圖3可得,將以上數據代入(5)式可得空載物臺的轉動慣量為5.918×10-3kg·m2,圓盤加載物臺的轉動慣量為9.545×10-3kg·m2,圓環加載物臺的轉動慣量為1.1442×10-2kg·m2,圓柱加載物臺的轉動慣量為8.647×10-3kg·m2。因此圓盤的轉動慣量為3.627×10-3kg·m2,圓環的轉動慣量為5.524×10-3kg·m2,圓柱的轉動慣量為2.729×10-3kg·m2。

圖3 不同實驗條件下角速度變化圖像

4.3 計算試樣的轉動慣量的標準值

已知圓盤的質量為503.7 g,直徑為239.82 mm,由(6)式可得圓盤的轉動慣量的標準值為3.621×10-3kg·m2。已知圓環的質量為431.5 g,內圓直徑為209.90 mm,外圓直徑為240.16 mm,由(7)式可得圓環的轉動慣量的標準值為5.487×10-3kg·m2。已知兩個圓柱的總質量為331.2 g,圓柱的直徑為30.00 mm,圓柱平移的距離為90.00 mm,由(6)式和(8)式可得圓柱的轉動慣量的標準值為2.720×10-3kg·m2。

4.4 計算相對誤差

表1列出了圓盤、圓環和圓柱試樣的轉動慣量的實驗值和理論值,通過計算可得三組實驗的相對誤差分別為0.2%、0.7%和0.3%,三組實驗的相對誤差都小于1%,實驗數據準確。

表1 不同試樣轉動慣量的相對誤差

5 結 論

將PASCO轉動運動傳感器與剛體轉動慣量實驗儀相結合,用PASCO轉動運動傳感器通過PASCO Capstone軟件直接測量物體轉動時的角加速度,簡化了實驗步驟,讓實驗操作更便捷,有利于學生更好地完成實驗。用改進后的實驗裝置進行實驗,實驗結果的相對誤差都在1%以內,實驗精度很高,教學效果良好。