合理整合促高效 深度研究明素養

陳蓉蓉

（浙江省瑞安市濱江小學）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》在課程理念中指出：“課程內容選擇要符合學生的認知規律；課程內容組織要進行結構化整合；課程內容呈現要逐漸拓展加深?！痹诮虒W過程中，合理整合使用教材，一方面能夠幫助學生提高掌握知識的效率，構建完善知識體系，讓學生學會用聯系發展的眼光看問題；另一方面，能夠有效提高整體教學質量，更合理地開展教學。

課程目標中提出核心素養的構成：“會用數學的思維思考現實世界?！彼笇W生通過數學的思維能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系，形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度和理性精神。推理意識是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程。

筆者根據實際教學情況，對部分教學內容進行了調整與創造。下面就人教版“三角形的內角和”“四邊形的內角和”和“多邊形內角和”的整合教學，簡述教材整合與邏輯推理的策略。

一、教材編排與解讀

1.“三角形”教材解讀，理清編排的邏輯順序

人教版教材關于“三角形內角和”的教學主要安排在四年級上冊“角的度量”和四年級下冊“三角形”兩個單元。

從教材內容的具體編排來看，“角的度量”這一單元主要要求學生掌握角的度量方法以及初步感知直角三角形、長方形、正方形等這些常見圖形的固定角的度數，并且能感知銳角、直角、鈍角之間的關聯，能想象把一個角分一分，把兩個角合一合；教材在四年級上冊“平行四邊形和梯形”的練習中設置了測量一些四邊形各個角的度數以及四個角之和的綜合實踐；四年級下冊“三角形”這一單元主要研究三角形與四邊形的內角和，將多邊形的內角和作為拓展練習（見表1）。

表1 小學數學“三角形與多邊形”相關內容體系

以上是小學學段關于“三角形與四邊形的內角和”的相關編排內容。實際上，課程內容采取螺旋式的方法，在初中學段八年級的“三角形”單元中依然有“三角形和多邊形的內角和”的相關知識，呈現方式依然是通過測量得出結論。

然而，通過測量得出三角形以及四邊形的內角和是一個不科學、不嚴謹的探究。因此，教師應對三角形與多邊形的內角和進行整合，將未知轉化為已知，通過合理猜想、邏輯推理增強數學課程的科學性和嚴謹性。

2.“內角和”教材解讀，明確編排側重點

通過對教材的研究，我們發現教材對于三角形與四邊形的內角和的探究活動方式側重于“量角、拼角”（見表2）。這樣的操作活動不利于學生正確掌握內角和的研究方法，也不利于學生構建與掌握內角和的規律，使他們對于圖形的內角和的研究方法停留在淺層表面。

表2 小學數學“三角形與多邊形內角和”相關內容

筆者認為，對三角形與四邊形的內角和的教材內容有必要進行整合，從而加強嚴密性與邏輯性。

二、學情調查與分析

筆者就自己教學的兩個班學生進行問卷調查，用作“三角形的內角和”整合課的教學前測。此次前測，第1 題調查學生是否理解“內角”這一概念，第2 題考查學生對“三角形的內角和是180°”的推導方法。

1.你知道下面這些圖形的內角在哪里嗎？請在圖上標出來。

2.猜一猜：三角形的內角和是（）度。

寫一寫：寫下你猜測的理由：

通過對前測的分析可知，第1 題中，兩個班的學生都能夠根據字面意思理解“內角”并用角的符號標出各個平面圖形的內角；第2 題中，88.3%的學生猜測三角形的內角和是180°，其中92.1%的學生通過量角器量出三個角的度數從而得出結論，5.2%的學生通過剪下三個角拼在一起獲得結果，幾乎沒有學生從推理的角度得出三角形的內角和是180°?？梢妼W生對“三角形的內角和是180°”有一定的知識經驗基礎，但是缺乏嚴謹客觀的論證方法。

三、教學策略與思考

基于對教材與學情的分析以及新課標對學生素養的要求，筆者認為，可以對“三角形的內角和”“四邊形的內角和”以及“多邊形內角和的練習”進行適當整合，并從更科學嚴謹的推理意識展開教學，從而使知識聯系更緊密。

1.以舊知為根，引推理猜想

數學教學應扎根于學生的學習基礎和生活經驗。美國教育家杜威說：“一盎司經驗勝過一噸理論?！睂W生的數學學習經驗是教師開展課堂教學的基礎。在教學設計中，教師要充分利用學生已有的知識經驗和活動經驗，有效引導學生以已有的經驗為基礎建構數學知識。在設計“三角形與多邊形的內角和”一課時，通過前測，我發現學生對三角形和一些特殊四邊形的內角和并非一無所知，而是有了一定的知識積累。學生能找出圖形中的內角，并通過測量等“科學”的方法計算三角形與特殊四邊形（長方形和正方形）的內角和。那么，該如何在此基礎上突破原有思維，從而通過有條理、有邏輯性的猜想來驗證？于是，開門見山設計第一個問題串：你認為什么是內角？什么是內角和？

教學片段一：

師：你能說出下面圖形的名稱嗎？

生：三角形、長方形、正方形、四邊形、五邊形、六邊形。

師：今天我們要來研究三角形與多邊形的內角和。你知道這些圖形的內角在哪兒嗎？

生上臺指出，PPT 配合出示。

師：你理解內角和嗎？

生1：每個圖形里所有內角加起來。

師：不用測量，你已經知道哪些圖形的內角和？為什么？

生2：長方形和正方形的內角和都是360°。

生3：長方形和正方形各有4 個直角。

生4：90°× 4=360°。

引導學生回憶鞏固以往學習的數學知識，又可以為后續新知識的導入做好教學鋪墊。從長方形和正方形的內角和是360°，而想到直角三角形的內角和，很容易推理得出結論。鼓勵學生在已有的知識經驗上大膽猜測，發現數學學習的邏輯性與趣味性。

2.以推理為枝，建構知識網絡

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系?！逼喗艿恼J知結構學說認為：兒童的認識能力不能從外部形成，兒童思維結構的變化是由內部決定的，教育就是要用最合適的方法，在最合適的環境中去幫助兒童發展自己的認知能力。皮亞杰強調，兒童不是被動地接受知識，而是主動地探索知識，進行創新。三角形內角和的學習不僅僅要達成使學生掌握內角和是180°的知識性目標，更要指向學生推理能力的培養。根據學生敢想敢說、愛問問題的心理特點以及思維正處于逐步抽象化和邏輯化的年齡特點，在本課的設計中，筆者通過關鍵問題的設置引導學生轉化思想，將未知變已知，由已知推未知，幫助學生搭建思維的支架，從不同的學習視角驗證猜想的正確性，從而深度探究數學知識的本質。

教學片段二：

前測反饋：

師：大部分的同學猜測三角形的內角和是180°，不少同學通過測量得出結論，可也有一些同學猜測三角形的內角和是175°、182°，你認為是什么原因？

生：測量存在誤差。

師：既然測量存在誤差，你還有其他方法探究三角形的內角和嗎？

生：可以先研究直角三角形，兩個直角三角形可以拼成一個長方形，長方形的內角和是360°。

師：我們可以將未知的直角三角形的內角和轉化為已知的長方形的內角和，從而推導出直角三角形的內角和。

活動一：探究直角三角形的內角和

活動要求：

1.拼一拼：把兩個完全相同的直角三角形拼成已知內角和的圖形。

2.算一算：算出直角三角形的內角和。（ ）

3.說一說：同桌交流想法。

在學生探究展示后，借助多媒體演示任何的直角三角形都可以由兩個完全相同的直角三角形拼成長方形得出內角和。在初次操作、推理、驗證的學習過程中，讓學生感知測量的不嚴謹，意識到轉化思想以及用推理驗證猜想的嚴密客觀，加深學生對數學知識的認識和理解，為后面銳角三角形、鈍角三角形的內角和以及四邊形、多邊形的內角和教學做鋪墊。

教學片段三：

活動二：探究銳角、鈍角三角形的內角和

活動要求：

1.分一分：把銳角三角形、鈍角三角形轉化為已知內角和的圖形。

2.算一算：算出銳角三角形、鈍角三角形的內角和。

銳角三角形的內角和：（ ）

鈍角三角形的內角和：（ ）

3.說一說：同桌交流想法。

活動三：探究四邊形的內角和

活動要求：

1.分一分：把四邊形分成已知內角和的圖形。

2.算一算：算出四邊形的內角和。（）

3.說一說：同桌之間交流想法。

在經過銳角三角形、鈍角三角形轉化為直角三角形的操作后，學生感知數學轉化思想，在探究推理過程中完成數學學習目標。在探究四邊形的內角和的活動中，引導學生展開實驗操作，實踐應用轉化思想，建構模型，發展學生演繹推理能力。

3.以拓展為果，深化推理意識

數學學習不應該是僵化的知識記憶，練習是學生鞏固知識、提升技能的主要途徑。學生在理解知識點的基礎上，借助習題拓展相關知識點應用，對知識點進行內化深入。而如何創新習題設計，讓習題環環相扣、層層遞進，更好地體現數學學習的核心素養，是筆者設計后續練習時考慮的重點。筆者在設計練習時依舊重視轉化思想的運用，從四邊形拓展到五邊形、六邊形、七邊形……的內角和，破除題海戰術，用有效的推理學習思路應對變化的數學習題，從而發展到更高思維，發現多邊形的內角和的規律，實現數學學習的知識建構。

教學片段四：

作業設計：

1.你能用轉化的方法求其他多邊形的內角和嗎？快來試一試。

仔細觀察上表，你有什么發現？_________

2.拓展探究

（1）三角形ABC有3 個內角，也有3 個外角。如圖所示∠1、∠2、∠3 是三角形ABC的內角，∠4、∠5、∠6 是三角形ABC的外角，請你算一算三角形ABC的外角和是多少。

（2）四邊形ABCD有4 個內角，也有4 個外角。如圖所示∠1、∠2、∠3、∠4 是四邊形的內角。

①請標出下圖四邊形的外角。

②請你算一算四邊形的外角和是多少。

3.實踐發展

猜一猜，五邊形、六邊形分別有多少個外角？它們的外角和又是多少度呢？動手驗證自己的猜想。

總之，發展數學推理意識要考慮學生的實際情況。在進行數學教學過程中，教師要抓住學生對推理的濃厚興趣的心理，讓學生經歷觀察、猜測、驗證等活動，提高思維認知水平，在操作活動中理性認識數學，發展推理意識。