帶肋拱形抗爆門的振動基頻等效計算方法

田志敏,王思達,董尚委,曹興偉

(軍事科學院國防工程研究院,北京 100850)

0 引言

帶肋拱形抗爆門具有優良的抗高強爆炸沖擊波性能,通過選用高強金屬材料并合理優化帶肋拱的結構構造與設計參數,這種帶肋拱形抗爆門可以抵抗峰值達數十兆帕的核爆炸沖擊波荷載作用,在防爆安全領域具有廣泛應用前景。但另一方面,在高強爆炸沖擊波作用下,抗爆門的沖擊振動十分強烈,門的振動加速度峰值可達千個g以上。因此, 即使能經受住爆炸沖擊波作用不產生結構破壞,抗爆門的沖擊振動也可導致門的驅動控制系統失靈[1-2];因此,需要深入研究抗爆門的振動特性,提出其振動理論分析方法及振動的控制措施[3-4]。

帶肋拱形抗爆門一方面由于在拱形門內表增設了加強肋,其振動分析比等截面拱形抗爆門的振動分析更為復雜,另一方面抗爆門支撐在門框上,因支撐條件不同,抗爆門在爆炸沖擊波作用下的受力狀態及振動特性也不同。對于頂、底和兩側邊采用不同支撐方式的拱形抗爆門的振動分析,由于問題較為復雜,目前主要采用有限元方法數值求解[5-6],但有限元分析對設計人員的計算技能要求較高。因此,工程設計部門都希望提出更為實用的簡化計算方法。

帶肋拱形抗爆門振動特性的簡化分析方法以往缺乏研究,主要是針對無肋的等截面拱結構的基頻計算問題[7-10],但帶肋拱由于肋的加強改變了結構的剛度、承載性能及質量分布等特性,它的基頻不能直接按無肋的等截面拱結構基頻計算方法計算。為滿足工程設計需要,根據兩側支撐帶肋拱形抗爆門的平面內撓曲振動特性,將帶肋拱形抗爆門等效為等截面拱形抗爆門,研究提出了帶肋拱形抗爆門的等效等截面拱參數和反對稱振動基頻計算方法,同時討論了影響基頻的主要因素及等效計算方法的適應條件。

1 帶肋拱形抗爆門的平面內撓曲振動模型

左、右兩側邊支撐的帶肋拱形抗爆門的具體構造如圖1所示,抗爆門的有限元網格模型如圖2(a)所示。有限元計算表明,拱形抗爆門的基頻振動主要呈現反對稱形式如圖2(b)所示,計算參數如表1和表2所示。在水平向沖擊波荷載作用下,主要呈現沿沖擊波傳播方向的撓曲振動反應;可將該門先等效為等截面拱形抗爆門,然后按過門半高處橫截面的平面內撓曲振動模型分析。

圖1 立轉式帶肋拱形抗爆門示意圖Fig. 1 Schematic diagram of a vertical rotating blast resistance arched door with strengthening ribs

圖2 帶肋拱形抗爆門有限元計算結果Fig. 2 Finite element calculation results of a blast resistance arched door with strengthening ribs

表1 材料參數Table 1 Material parameters

表2 幾何參數及邊界條件Table 2 Geometric parameters and boundary conditions

1.1 帶肋拱形抗爆門的等效等截面拱參數計算

設帶肋拱的拱板內、外徑分別為R2、R3,肋板內徑為R1,拱的圓心角為θ,拱板和肋板厚度分別為t1和t2。設等效等截面拱的外徑R3、圓心角θ和高度H與帶肋拱相同,如圖3所示,假設帶肋拱形抗爆門和等效等截面拱形抗爆門具有相同的平面內撓曲振動特性,則可分別推導出等效等截面拱形抗爆門的內徑Re和質量密度m的計算公式為:

圖3 等效等截面拱形抗爆門示意圖Fig. 3 Schematic diagram of equivalent cross section for constant section blast resistance arched door

(1)

式中:t3為等效等截面拱形抗爆門拱板厚度;yc為抗爆門沿頂底方向帶肋拱板組合截面的形心距;a為肋板寬度;n為肋板數量;ρ為材料密度。

1.2 等效等截面拱的反對稱振動基頻計算

將帶肋拱形抗爆門等效為等截面拱形抗爆門后,可按過門半高處橫截面的平面內撓曲振動模型分析門的自振頻率[11-13]。圓拱發生面內屈曲后,微元ds=Rdφ在徑向荷載pr和切向荷載ps以及內力N、Q、M的作用下處于平衡狀態如圖4所示。由切向力、徑向力和彎矩的平衡條件得出:

圖4 圓拱微元受力圖Fig. 4 Force diagram of circular arch element圖5 變形幾何關系示意圖Fig. 5 Schematic diagram of deformation geometric relation

(2)

拱微元mn在平面內撓曲變形后至新的位置m′n′,如圖5所示。設m點的徑向和切向位移分別為v和w。由圖可知:由位移v引起的轉角為dv/ds;由位移w引起的轉角近似取為w/R,所以在v和w共同影響下截面的轉角為:

(3)

可得微元ds的曲率改變量即單位長度轉角增量為:

(4)

微元ds由于切向位移w引起的伸長為dw;由于徑向位移引起的伸長為(R-v)dφ-Rdφ,即-vdφ,故微元ds單位伸長為:

(5)

彎矩M和軸力N與撓曲率K和伸長率ε的關系為:

(6)

式中:EJ和EF分別為拱截面在拱平面內的抗彎剛度和抗拉(壓)剛度。將式(4)、式(5)、式(6)代入式(2)可得圓弧拱的平面撓曲的彈性平衡微分方程:

(7)

根據能量守恒原理,在拱的自振過程中最大變形能等于最大動能,即:

Umax=Tmax

(8)

計算變形能時只考慮彎曲變形,忽略軸向變形和剪切變形[14-16],則:

(9)

振動是簡諧的,設

(10)

將式(10)代入式(9),根據瑞萊法原理,由Umax=Tmax可得頻率公式為[8-10]:

(11)

對于采用兩側嵌固支撐方式的帶肋拱形抗爆門,在滿足拱端位移為0、徑向速度為0的邊界條件及拱軸不變形條件時,可求得反對稱基頻計算公式為[17-18]:

(12)

式中:Ω為頻率系數,如圖6所示;α為拱弧全長對應的半圓心角(α=0.5θ);l為圓拱計算跨度;E為圓拱材料受壓彈性模量;J為單位寬圓拱截面慣性矩;m為單位長度圓拱質量。

圖6 頻率系數圖Fig. 6 Diagram of frequency coefficient

等效等截面拱形抗爆門外徑為R3,內徑為Re。其單位寬圓拱截面慣性矩J,單位寬圓拱體積V,單位寬圓拱弧長S,單位長度圓拱質量m計算公式為:

(13)

式中:b為圓拱截面寬度;ρ為拱形抗爆門所用材料密度。

式(1)、式(12)、式(13)適用于采用兩側嵌固支撐方式的帶肋拱形抗爆門[19-20]的反對稱基頻計算。

2 基頻的主要影響因素及計算結果討論

2.1 肋板與拱板厚度比對基頻的影響

帶肋拱形抗爆門等效為等截面拱形抗爆門后,振動基頻可由式(12)算出,將式(13)代入式(12)可得:

(14)

式(14)表明,頻率系數Ω僅與拱弧全長對應的半圓心角有關,而彈性模量E和材料密度ρ為定值,因此振動基頻ω與t3/l2呈正比,即:

(15)

若拱板厚度t1不變,肋板與拱板厚度比t2/t1增加,則t2增加;使得t3增加、l減小,則t3/l2增加,ω變大;振動基頻隨肋板與拱板厚度比變化的關系曲線如圖7所示。

圖7 振動基頻與t2/t1關系Fig. 7 Relationship between the eigen-frequency and t2/t1

采用等效等截面拱基頻計算方法得出的具有不同肋板與拱板厚度比t2/t1的帶肋拱形抗爆門的反對稱基頻計算結果及其與有限元方法得出結果的比較如表3所示。由表可知,對于一般的帶肋拱形抗爆門(0.5≤t2/t1≤2.5),在滿足厚跨比0.03

表3 不同肋板與拱板厚度比算例結果Table 3 Example results for the door of different thickness ratios between ribs and arch plates

2.2 肋板數量對基頻的影響

由式(1)、式(12)、式(13)可知,肋板數量n增加,則等效等截面拱形抗爆門拱板厚度t3增加;ω與t3/l2的函數關系可簡化為:

(16)

因為t3

圖8 振動基頻與n的關系Fig. 8 Relationship between the eigen-frequency and n表4 不同肋板數量算例結果Table 4 Example results for the door of different quantities of ribs序號工況振動基頻模擬值/Hz振動基頻理論值/Hz誤差/%1n=52782626.02n=62912727.03n=73022817.54n=83112897.5

具有不同的肋板數量的帶肋拱形抗爆門的反對稱基頻計算結果及其與有限元計算結果的比較如表4所示。由表可知,一方面,隨著肋板數量增加,帶肋拱形抗爆門的反對稱基頻增大;另一方面,等效等截面拱基頻計算方法與有限元計算方法得出的基頻計算結果基本一致,二者得出的計算結果誤差也在8.0%以內。

2.3 拱的矢跨比對基頻的影響

矢跨比f/l增加,則抗爆門對應圓心角θ增加。由式(16)得:矢跨比f/l增加,θ增加,ω減小;振動基頻與矢跨比變化的關系曲線如圖9所示。

圖9 振動基頻與f/l關系圖9 Relationship between the eigen-frequency and f/l表5 不同矢跨比算例結果Table 5 Example results for the door of different sagittal height-to-span ratio序號工況振動基頻模擬值/Hz振動基頻理論值/Hz誤差/%1f/l=0.136196464.12f/l=0.164804672.73f/l=0.183693515.04f/l=0.212912727.0

具有不同矢跨比的帶肋拱形抗爆門的反對稱基頻計算結果及其與有限元計算結果的比較如表5所示,由表可知,隨著矢跨比增大,帶肋拱形抗爆門的反對稱基頻減小,本文給出的計算方法與有限元方法得出的基頻計算結果基本一致,二者計算結果的誤差在7.0%以內。

3 結論

通過本文對帶肋拱形抗爆門的振動基頻計算方法研究和計算結果,可以得出如下結論:

1)兩側邊支撐的帶肋拱形抗爆門的基頻振動主要呈現反對稱形式,當滿足0.5≤t2/t1≤2.5和0.03

2)肋板與拱板厚度比、肋板數量和拱的矢跨比是影響帶肋拱形抗爆門反對稱基頻的主要因素,基頻隨著肋板與拱板厚度比和肋板數量增加而增大;基頻隨著矢跨比增大而減小。