基于GaP 光子晶體的平板超透鏡設計與研究

余 越，申 桐，張磬瀚，鄭繼紅

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引言

傳統光學元件采用面形變化來實現特定的相位分布，從而實現相應的功能器件，系統體積和重量通常較大[1]。伴隨著工藝的發展與成熟，現在的光學系統對透鏡的體積和分辨率有著更高的要求，隨之一種新型透鏡出現在人們的視野中。2000 年，Pendry[2]和Zhang 等[3]提出了一塊負折射率材料平板，該結構被稱為超透鏡。由于超透鏡能夠顯著提高圖像分辨率，在光學成像應用領域引起了廣泛的關注。

超透鏡是基于超表面的成像器件，具有平面化、輕量化、易集成等優點[4]。在超透鏡高清成像領域中，可以通過設計大數值孔徑超構透鏡，用油浸的方式，實現高分辨率的聚焦成像。2012 年，Shen 等[5]提出了一種具有表面缺陷的蜂窩 光子晶體（photonic crystal，PC）結構的平板透鏡，并且使用頻率為 0.299 6（2πc/a）的點光源模擬該透鏡亞波長成像的結果，證實了表面缺陷可以幫助提升光子晶體的成像質量。2014年，Zong 等[6]基于隨機單分子定位技術，利用熒光分子確定其點擴散函數的中心，然后通過循環疊加提高顯微鏡的分辨率，將其應用在顯微成像中。2014 年，Digaum 等[7]發現了一種集成光子學的空間變化光子晶體結構，其中單元的排列作為位置的函數而變化，能夠僅使用具有非常高偏振選擇性的低折射率材料來引導光束，其中一種紅外偏振光遇到該晶格結構時不會通過，而另一種偏振光直接通過空間變體光子晶體傳播。2016 年，Mahin等設計了一種硅納米結構與空氣相結合的平凹透鏡，并結合Au 耦合涂層，利用其超材料的特性最終實現了成像質量的提高以及超分辨聚焦[8-10]。2016 年，哈佛大學Capasso小組利用微納米結構設計了一種超透鏡陣列，通過控制其陣列可以實現對入射光的調制，實現了數值孔徑NA=0.8，并達到了較高的聚焦效率[11]。2018 年，Haxha 等[12]利用光子晶體內嵌入銀棒，降低了光子晶體結構本身的色散，通過引入反射鏡等因素，提高了成像質量，最終突破了衍射極限。2021 年，仇宮潤等[13]提出了一種工作在800 nm（紅外波段）的超透鏡，它的主要結構是亞波長光柵，通過模擬后發現它的聚焦效率最高可達84.1%。通過克服光傳播的經典衍射極限[14]，獲得了分辨率超高的圖像?；诠庾泳w的相位調控特性來實現突破衍射極限的超分辨聚焦，紅外波段的研究偏多，而對于紅光的研究甚少，且著重于內凹結構中半圓形缺陷對超透鏡成像影響的研究，與此同時，當下使用較多的點光源和線偏振光源兩種光源中，以線偏振光源作為超透鏡的輸入光源方面的研究也比較少。因此，本文提出了一種工作在717 nm（可見光紅光波段，其輸入光源為TE 模式線偏振光）的超透鏡，將光子晶體結構與波導進行了結合，利用波導可以將光限制在波導內傳輸，從而提高了光的利用率，加上光子晶體可以產生負折射率特性，從而該透鏡實現了亞波長成像與納米尺度的高分辨率[15-17]；并引入了圓形、半圓形、矩形3 種典型的內凹缺陷因素，通過不斷改變缺陷的尺寸，發現矩形缺陷的成像效果最好，半高全寬達到了244.66 nm，分辨率也達到了0.556λ，明顯地提高了成像質量。

1 材料及方法

基于光子晶體的特性而產生的負折射率能夠實現納米尺度的高分辨率，本文提出了一種光子晶體平板超透鏡（后文中統稱為PC 超透鏡）。該PC 超透鏡的結構如圖1 所示，由R= 0.2a（R為光子晶體柱的半徑），a= 0.1 μm（a為光子晶體結構的晶格常數）的Au 和GaP 兩種周期相同、晶格常數相同、半徑相同的光子晶體構成，以兩者相切的結構刻入TiO2平板波導上。

圖1 PC 超透鏡結構Fig. 1 PC superlens structure

1.1 材料

Au 在FDTD 材料庫中分為Palik 和CRC 兩種模式[18-19]，除此之外，還有另外一種熟知材料庫未有的模式——Drude 模型[20]。Drude 模型是用類似于理想氣體的一個模型來簡化金屬材料中這些傳導電子的運動，Au 中大多數電子是自由的，它們不與原子核結合，回復力是微不足道的，并且沒有自然頻率發生，從而對光在Au 中的色散采用Drude 模型來解釋。Lumerical 軟件有官方的Drude 模型的公式，表達式為

式中：ε 為介電常數；ωp為等離子體共振頻率；νc為等離子體碰撞頻率；f為頻率。ε∞表示正離子核的凈貢獻：對于理想的自由電子氣體ε∞=1；對于金屬，取決于帶間響應[12]，ε∞= 1～10。

式中：m*為電子的有效質量；N為電子的密度；e為單個電子攜帶的電荷量；ε0為真空中的介電常數。

在模擬中，參數設置如表1所示。

表1 Drude 模型參數設置示意圖Tab. 1 Schematic diagram of Drude model parameter setting

GaP 光子晶體可以有效提高透鏡的成像質量，其主要是由于光子晶體本身的周期性結構對光的調制作用非常明顯[21]。襯底使用的是TiO2波導，目的是利用波導結構的全內反射使光能夠有效進入到光子晶體結構中。

1.2 方法

本研究是基于時域有限差分法（finite difference time domain-method，FDTD）對光子晶體與電場作用的仿真結果[22-23]。網格使用mesh 來細分，精度定位dx= dy＜λ/（10n），n為材料中的最大折射率。本文中除能帶圖外所有的仿真都是建立在2D（x，y平面）范圍內的仿真，能帶圖3D范圍模擬如圖2 所示。

圖2 能帶圖模擬3D 視圖Fig. 2 Simulation of 3D view of band structure

圖3 結構折射率圖Fig. 3 Structural refractive index

2 數值模擬與分析

2.1 結構設計與光源分析

本文研究了Au 和GaP 組合構成的平板PC 超透鏡結構對于光波長的選擇性以及不同形狀的缺陷對透鏡成像質量的影響，該PC 超透鏡的長為20 個周期，寬為10 個周期，光被限制在TiO2平板波導內傳播。為了觀測其結構，在空間內放置了折射率監視器，然后得到結構折射率（見圖3）。從折射率監視器上可以很明顯地觀察到三部分不同的折射率，分別是Au 光子晶體（下方圓柱），GaP 光子晶體（上方圓柱）和TiO2平板波導（襯底），Au 光子晶體和GaP 光子晶體在TiO2平板波導上相切，半徑用R表示，R= 0.02 μm，晶格常數用a來表示，a= 0.1 μm。

本文采用六角晶格狀結構的PC 透鏡設計，結構具有高度對稱性，對其進行TE 模式光的能帶分析如圖4 所示。

圖4 TE 模式能帶圖Fig. 4 TE mode band stucture

從能帶圖中可以分析出：有效負折射率是在當歸一化角頻率ω0=0.139 4，波長λ=0.717 μm時，在這種情況下，能帶的梯度指示電磁波以負群速度傳播，可以支持以倏逝波的形式來提高圖像分辨率[24]。

因此本次研究中選用光源波長為0.717 μm的TE 偏振光，如圖5 所示。光源在y方向上的范圍為2 μm，與PC 透鏡在y方向上的長度相同，厚度為2a，從而可以使透鏡達到最好的聚焦效果。

圖5 TE 模式光源圖Fig. 5 TE mode light source

將光源置于PC 結構左側0.5 μm 處（即緊貼光子晶體波導結構），并在結構右側放置一個監視器，用這個監視器檢測光強，本次模擬全部采用的都是近場成像（光源距離成像器件小于等于一個波長的距離稱為近場成像），且光的傳播方向全部都是由-x到x方向傳播，本次評定成像質量的好壞是根據光在圖像上呈現的焦斑大小以及其電場強度大小。強度越高，焦斑越小，成像質量越好。將Au 光子晶體移除前后，其成像結果如圖6 所示。

圖6 移除Au 光子晶體前后對比圖Fig. 6 The comparison chart before and after the removal of Au photonic crystal

從圖6（a）中可以看出，將Au 光子晶體移除前，光源只有少部分被反射回來，大部分通過結構之后形成一個圓點，即焦點。從圖6（a）和（b）的現象以及表2 的對比，可以清楚地觀測到加了Au 光子晶體之后，焦斑范圍減小，強度增大，成像質量也隨之有效提高。

表2 圖6 中焦點處最大強度對比Tab. 2 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.6

2.2 不同形狀缺陷對結構成像質量的影響

光子晶體具有光子局域的特性，缺陷的屬性決定了光子局域的性能和特性，光子晶體中加入面缺陷時，面缺陷相當于一塊完全的反射鏡，光波完全被局域限制在平面缺陷內。在光子晶體缺陷模式（頻率處于完全禁帶或模式禁帶內的缺陷結構本征電磁模式），和缺陷帶（所有缺陷模式覆蓋的禁帶頻率范圍），那么頻率處于缺陷帶的光波可以被長時間（低損失）地強局域在光子晶體中的缺陷結構中。當在光子晶體中引入缺陷介質時可以獲得較大的透射光強，缺陷的位置選擇要綜合考慮平板的對稱性，以此來提高成像的分辨率[16]。

為了研究不同形狀的缺陷對PC 結構成像的影響，本文討論了3 種形狀的缺陷。

當缺陷為圓形結構時，將透鏡右側做成內凹圓形結構（即移除一部分Au 棒和GaP 光子晶體以形成內凹缺陷），且圓形缺陷外側與結構右側相切，圓形缺陷的半徑：r= 0.3 μm，結構如圖7 所示。

圖7 圓形缺陷示意圖Fig. 7 Schematic diagram of circular defect

加入圓形缺陷之后，模擬得到的成像示意圖如圖8 所示。

相比于圖6（a）、圖8 焦點光斑形成在內凹缺陷內部，小且亮，表3 中圖8 強度對比有所變強，說明結構形成內凹缺陷后可以有效提高成像質量。為了觀察缺陷半徑對成像情況的影響，通過移除金棒和GaP 光子晶體，形成不同半徑的內凹圓形缺陷。將半徑減小至0.2 μm，發現雖然被反射回去的光很少，但是在圖像上并沒有很明顯的聚焦現象，成像質量并沒有達到明顯的提升；然后將半徑減小至0.1 μm，成像如圖9 所示。

表3 圖6（a）、圖8 焦點處最大強度對比Tab. 3 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.6(a) and fig.8

圖8、圖9 和表4 對比可以發現，當圓形缺陷尺寸r從0.3 μm 逐漸減小至0.1 μm 的過程中，成像質量下降十分明顯，繼續將r減小至0.05 μm，發現成像質量并沒有很明顯地升高，因此得出：當圓形缺陷半徑r從0.3 μm 逐漸減小時，成像質量并沒有提高，而呈現下降狀態。將圓形半徑增大，在增大的過程中發現：焦點亮度并沒有增強，甚至在逐步減弱，所以增大圓形半徑也并沒有明顯提高成像質量。綜上所述，圓形缺陷半徑r= 0.3 μm 時，成像質量最高。

當缺陷結構為矩形時，設置長Lx為0.5 μm，寬Ly為1 μm，右邊與PC 透鏡相切，結構示意如圖10 所示，成像結果如圖11 所示。

從圖11 可以看出來該矩形缺陷相比于r=0.3 μm 圓形缺陷來說，焦斑也是成像在缺陷內部，焦斑變得圓且亮，表5 對比最大強度時，圖11 有所減弱。改變矩形缺陷的尺寸，Lx保持不變，Ly增大至2 μm，相當于減少光子晶體x方向上的周期數，成像如圖12 所示。

表5 圖8、圖11 焦點處最大強度對比Tab. 5 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.8 and fig.11

圖12 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 2 μm 時的成像示意圖Fig. 12 Schematic diagram when rectangular defect Lx = 0.5 μm, Ly = 2 μm

逐漸改變Ly的大小，多次模擬之后可以發現，Ly從1 μm 到2 μm 的過程中，焦點亮度和強度（表6）都不如往前；嘗試減小Ly，觀察成像效果，減小至Ly= 0.8 μm 時，如圖13 與表7，發現成像質量最好。

表6 圖11、圖12 焦點處最大強度對比Tab. 6 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.11 and fig.12

表7 圖11、圖13 焦點處最大強度對比Tab. 7 Comparison of maximum intensity at the focus in fig.11 and fig.13

圖13 矩形缺陷Lx = 0.5 μm，Ly = 0.8 μm 時的成像示意圖Fig. 13 Schematic diagram when rectangular defect Lx = 0.5μm, Ly = 0.8 μm

保持Ly= 0.8 μm 不變，將Lx進行一些放大或者縮小，觀察其現象。經過多次重復模擬，發現改變對于成像質量的提高并沒有很明顯的作用，甚至還會降低成像質量。綜上，矩形缺陷尺寸為Lx= 0.5 μm，Ly= 0.8 μm 時成像質量最高。

當這個缺陷的形狀為半圓時，結構示意圖如圖14 所示。

首先設定半圓缺陷的半徑為0.23 μm，成像效果如圖15 所示，從圖像中可以觀察出明顯的聚焦現象，且焦斑半徑較小，成像質量較好。

圖15 半圓形缺陷r = 0.23 μm 時的成像示意圖Fig. 15 Schematic diagram when semicircular defect r = 0.23 μm

調節半圓缺陷的半徑，多次仿真之后，發現當半圓缺陷的半徑為0.23 μm 時，成像質量最高。

通過多次重復模擬實驗，將3 種形狀的缺陷進行最終成像效果對比：發現當矩形缺陷為Lx= 0.5 μm，Ly= 0.8 μm 時，焦斑呈現出來的效果最好，且光強最高。表8 列出了各個缺陷時的半高全寬（full width at half maximum，FWHM），圖16 畫出了表8 中對應各種結構的半高全寬圖。

表8 原結構以及3 種缺陷成像質量最好時對應的半高全寬Tab. 8 The full width at half maximum to the original structure and the three defects with the best imaging quality

圖16 原結構、半圓缺陷、圓形缺陷、矩形缺陷的半高全寬圖Fig. 16 The full width at half maximum diagram of original structure, half-circle defect, circular defect, rectangular defect

為了分析和獲得更高質量的分辨率，模擬中保持光源的厚度不變（厚度為2a），在PC 結構左側放置兩個相互平行的線光源（兩個光源的厚度相同，初相位相同，頻率相同，且相位差恒定，保證可以產生干涉），由于光源在空間中只要相遇就會產生干涉，所以在出口處放置一個監視器，用來觀測兩個光源的干涉情況，兩者之間的距離d= 0 時（見圖17）。逐漸改變兩光源之間的距離，可以發現，當d= 0.399 nm，也就是0.556λ 時，兩個光源恰好可以被分辨出來，成像如圖18 所示，干涉情況示意圖如圖19 所示。

圖17 兩光源之間的距離d = 0 時的干涉情況Fig. 17 The interference situation when the distance between the two light sources is d = 0

圖18 兩光源之間的距離d = 0.556λ 的成像示意圖Fig. 18 Schematic diagram of the distance d = 0.556λ between two light sources

圖19 兩光源之間的距離d = 0.556λ 時的干涉情況Fig. 19 The interference situation when the distance between the two light sources is d = 0.556λ

3 結論

本文提出了一種新型結構的PC 超透鏡，由Au/TiO2/GaP 構成，能夠有效地將平板波導和光子晶體結合在一起，并且研究了結構內部產生不同形狀的缺陷以及缺陷的數據改變對結構整體成像質量的影響，經過能帶圖的整體分析發現該PC 超透鏡整體結構對于717 nm 光波（即紅光）可以呈現有效負折射率，并且Au 光子晶體的添加確實有效提高了PC 超透鏡整體的成像質量；不同的缺陷形狀以及數據改變過程中，其中矩形缺陷Lx= 0.5 μm，Ly= 0.8 μm 時，成像質量最高，半高全寬最??；利用具有矩形缺陷的PC 超透鏡整體來對兩個平行光源進行干涉成像時，將兩個光源之間的距離從0 到0.556λ 不斷變化，通過曲線圖可以有效地觀測到兩個光源的干涉情況，d= 0.556λ 時，兩個光源恰好可以被區分開。經過此次模擬，提出了一種超透鏡的新型組成方式，對于現在的工藝來說可以實現，實現的過程也并不是特別復雜，精細程度上也可以達到要求，有望達到實體化；該PC 超透鏡在二維平面（x和y）內達到了成像中的可見光控制，可以應用于精細醫療設備、可攜帶設備等小型成像器件方面。