擴展卡爾曼濾波方法在脈沖修正彈藥技術上的應用研究

王雨

(西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099)

近年來,在無人機集群/蜂群攻擊模式下,傳統防空彈藥表現出精度低、效費比低、持續作戰能力差等缺點,難以適應作戰需求。為克服上述不足,具有高精度和低成本優勢的彈道修正彈藥成為未來防空彈藥的發展方向之一。

關于彈道修正技術,王中原等系統地對彈道修正技術發展和未來研究趨勢進行了論述,從測量裝置和控制機構兩個方面總結了目前彈道修正彈技術的研究情況,并對卡爾曼濾波方法進行了簡要介紹,分析了卡爾曼彈道濾波方法的優缺點[1]。在彈道修正技術研究中,根據修正執行機構的不同,彈道修正可分為脈沖修正和舵機修正兩種方式。其中,脈沖修正彈藥是在無控彈藥基礎上,由地面雷達或彈上設備實時測量彈丸和目標的彈道信息,輸入給制導設備,按一定的制導控制律實時解算出修正指令,通過加裝脈沖發動機作為執行機構,實時修正彈道使彈丸飛向目標。

在彈道測量過程中,由于測量設備往往會受到噪聲干擾,實測彈道數據并不準確,直接使用測量數據進行指令解算就會帶來很大誤差甚至錯誤,因此必須進行實時去噪處理[2]。目前無控彈道數據的濾波方法研究較多,如文獻[3-4]提出通過反向擴展卡爾曼濾波方法進行彈道外推,用于提高炮位偵查雷達對炮位估計的準確度;文獻[5]通過建立卡爾曼彈道濾波模型進行彈道預報,用于一維彈道修正彈參數辨識及精度分析;文獻[6]通過對比基于“當前”動態運動線性模型和非線性質點彈道模型的卡爾曼濾波方法對GPS測量數據的處理,分析了兩種濾波模型的優缺點。

目前文獻資料對無控彈道和一維或二維修正彈道的濾波方法研究,大多基于卡爾曼濾波理論,較多用于彈道外推、參數辨識和彈道預報,而從脈沖修正動作導致彈道變化的角度,建立可用于準確反映脈沖修正后彈道變化的濾波方法,用于彈道制導和控制的研究較少。對于脈沖修正彈藥來說,脈沖點火時產生脈沖推力,原有彈道模型發生變化,若濾波模型中沒有考慮系統狀態方程的實時變化,將使濾波結果不準確,對實時彈道修正產生較大誤差。筆者在此背景下,針對彈道數據實時處理問題,以擴展卡爾曼濾波算法為基礎,結合外彈道理論,研究了脈沖修正彈無控彈道和有控彈道的濾波方法,建立了相應的數學模型,通過外彈道仿真,對模型的正確性進行了驗證。

1 彈道濾波方法

對彈道測量數據的處理,目前工程上使用較多的是最小二乘濾波、最大似然估計和卡爾曼濾波?？柭鼮V波作為一種數據處理方法,是線性無偏最小方差準則下的最優估計,對于狀態方程已知的系統,具有計算精度高,計算量適中的優點,同時具有實時數據處理能力,計算過程中只依賴上一個點的狀態數據,需用數據點少,計算速度快,在火箭、導彈、炮彈彈道、飛行狀態、衛星軌道觀測、目標檢測及跟蹤等實際工程中應用比較廣泛[7],因此,筆者使用卡爾曼濾波作為彈道數據處理的基本方法。

1.1 卡爾曼濾波及擴展卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波是一種以均方誤差最小為準則的最優化自回歸數據處理算法,適用于線性系統,由于彈丸運動模型是非線性的,因此彈丸彈道數據濾波實質是非線性濾波問題[8],因此,對于非線性系統,不能直接使用卡爾曼濾波,往往是通過泰勒級數展開,取線性部分[9],從而將非線性問題轉化為線性化問題來處理,稱為擴展卡爾曼濾波。非線性系統的擴展卡爾曼濾波方程如下[10]:

狀態預測估計方程:

(1)

量測方程:

(2)

式中,h為量測函數,將狀態變量轉換為量測變量。該式將預測的狀態變量通過量測函數轉換為預測的觀測值,相當于經過了坐標轉換。

預報誤差方差預測方程:

(3)

式中:φk-1為從k-1時刻到k時刻的狀態轉移矩陣;Pk-1為k-1時刻的協方差矩陣;Rk-1為k-1時刻模型噪聲。該式根據k-1時刻的協方差陣和模型噪聲,獲得k時刻的協方差陣。

濾波增益方程:

(4)

式中:Qk為k時刻量測噪聲;Hk為k時刻的量測矩陣;Kk為k時刻的卡爾曼增益。該式根據k時刻的協方差陣和雷達測量噪聲,計算卡爾曼增益。

狀態估計方程:

(5)

濾波誤差方差迭代方程:

Pk=(I-KkHk)Pk/(k-1),

(6)

式中,Pk是k時刻的協方差陣。該式對k時刻的協方差陣進行更新。以上公式的具體計算方法可參考文獻[11]。

根據擴展卡爾曼濾波方程中各參數可知,濾波模型可由彈丸彈道模型和雷達量測模型[12]推導而來。

1.2 彈道模型

彈道模型是對彈丸空間運動狀態的數學描述,通過多個方程組描述彈丸飛行過程中彈道參數變化?？紤]到計算量,彈道模型不能太復雜,本文涉及的是低旋尾翼脈沖修正彈,可使用三自由度質點彈道模型。

在彈道過程中,彈丸根據修正指令進行有限次修正,雷達以固定周期Δt輸出彈丸彈道數據。某個采樣周期內,若彈丸進行了修正,則記彈丸處于脈沖狀態,否則記為無控狀態,如圖1所示。t0時刻,雷達開始穩定跟蹤彈丸,彈丸以無控狀態飛行;t1時刻,彈丸進行脈沖修正;t2時刻,脈沖狀態結束,進入下一個采樣周期。在t1～t2時間段內,脈沖推力改變了系統狀態方程,使飛行狀態參數發生變化,為準確反映彈丸飛行過程中發生的點火修正動作以及彈丸的實際飛行過程,應針對圖1中的無控和脈沖狀態分別建立無控和有控(即脈沖)兩種狀態下的彈道模型。

1.2.1 無控狀態的彈道模型

根據彈丸運動方程,無控狀態的彈道模型為

(7)

式中:C為彈道系數,由表示彈丸形狀的量i(彈形系數)、彈丸口徑d和彈丸質量m組成,反映了彈丸的組合特點;H(z)為空氣密度函數,反映了大氣對彈丸飛行的影響,與彈丸的飛行高度有關;G(v)為空氣阻力函數,表示彈丸相對空氣的運動速度v對彈丸運動的影響;vx、vy、vz是速度v在發射坐標系的分量。以上參數可通過經驗公式計算,詳細計算方法可見參考文獻[13]。

1.2.2 有控狀態的彈道模型

脈沖點火時,推力作用于彈丸質心,不改變彈體姿態,只在彈丸橫向產生加速度,因此,只需在無控狀態彈道方程中加入脈沖加速度,有控狀態的彈道方程為

(8)

式中:aFx,aFy,aFz為脈沖推力產生的加速度在發射系下的分量;其他參數含義與式(7)相同。

1.3 量測模型

雷達測量參數為雷達坐標系下彈丸的斜距、高低角和方位角,與直角坐標系下彈丸坐標之間關系可表達為

(9)

式中:x,y,z為彈丸坐標在發射坐標系下的分量;r為目標斜距離。

2 擴展卡爾曼濾波工程數學模型

在確定了彈丸在無控狀態和有控狀態的彈道模型后,根據不同彈道模型可推導出相應的擴展卡爾曼濾波模型,即無控狀態濾波模型和有控狀態濾波模型。

2.1 無控狀態濾波模型

根據擴展卡爾曼濾波方程,動力矩陣f為狀態變量參數對時間的一階導,狀態轉移矩陣φK-1與動力矩陣f有如下關系:

(10)

f=[vx,vy,vz,-CH(z)G(v)vx,
-CH(z)G(v)vy-g,
-CH(z)G(v)vz,0],

(11)

(12)

(13)

式中:E為單位矩陣;Δt為數據采樣時間;X為狀態變量矩陣;動力矩陣f為狀態變量矩陣X對時間的導數,可由彈道方程得出,其中參數的定義與彈道方程中一致。

濾波初值包括狀態變量初值和狀態變量協方差初值。濾波初值的選取影響濾波收斂速度,應選擇較為準確的初值[14]。根據多次射擊試驗結果,雷達建立穩定跟蹤時,測量數據仍與真實值差距較大,因此適當調大初始協方差矩陣,使濾波更快收斂。狀態變量初值可由雷達測得的2個數據點A、B,從雷達極坐標系轉換到發射坐標系后,作差商進行計算:

(14)

式中:(xa,ya,za)、(xb,yb,zb)為數據點A、B經坐標轉換后在發射直角坐標系下的坐標;C為彈道系數;Δt為數據采樣時間。

量測矩陣H為量測函數h對狀態變量X的一階偏導:

(15)

(16)

(17)

式中,hij為量測函數對狀態變量X的一階偏導。

至此,無控狀態的濾波工程數學模型中所有未知量均已確定。已知雷達穩定跟蹤后測得的數據點,取兩數據點A、B計算得到初值后,即可通過無控濾波模型對雷達測量數據進行濾波。

2.2 有控濾波數學模型

在一個采樣周期內,由于點火持續作用時間Δt1較短,因此脈沖發動機點火結束后,彈丸又進入無控飛行狀態,持續時間Δt2。按彈丸的飛行狀態,彈丸彈道過程如圖2所示?？梢钥闯?在發生脈沖點火的采樣周期內,包含了點火和無控兩個階段,在點火階段彈丸受到脈沖推力,點火結束后彈丸轉入無控飛行,兩個階段中的系統狀態方程不同,相應的濾波模型也不同,可將脈沖濾波模型分成點火和無控兩個階段來研究。

當處于點火時,點火持續時間為Δt1,脈沖推力使濾波方程中的動力矩陣f發生變化,動力矩陣f為

f=[vx,vy,vz,-CH(z)G(v)vx+aFx,
-CH(z)G(v)vy-g+aFy,
-CH(z)G(v)vz+aFz,0],

(18)

式中:aFx,aFy,aFz為脈沖推力產生的加速度在發射坐標系下的分量;其他參數含義與式(2)相同。根據動力矩陣f,可得到Δt2后的狀態轉移矩陣、預報誤差方差矩陣和一步預測方程。

當點火結束后,彈丸進入無控飛行階段,持續時間為Δt2,濾波方程中的動力矩陣f重新變化,狀態轉移矩陣、預報誤差方差矩陣和一步預測方程相應發生變化。根據動力矩陣式(11),可得到Δt2后的狀態轉移矩陣、預報誤差方差矩陣和一步預測方程。

根據Δt1和Δt2時間段內的濾波模型,以t1時刻的系統狀態為初值,即可對t1時刻的雷達測量數據進行濾波。

3 濾波模型仿真驗證

3.1 無控狀態的濾波模型驗證

多項式擬合是數據事后處理的常用方法,其基本原理是最小二乘法,以加權離差平方和為目標函數。在擬合中,擬合函數由若干基函數加權和構成,通過使用不同的基函數,并根據最小二乘法計算函數族的最優系數,得到擬合函數。對多項式擬合的準確度,可通過擬合優度進行判斷,擬合優度值越高,擬合性越好,表明自變量對因變量的解釋越充分[15]。擬合優度的計算公式為

(19)

對某次靶場試驗外彈道測試數據分析發現,方位角測量數據波動較大,為檢驗濾波模型的處理效果,故選取波動較大的方位角測量數據作為原始數據,首先通過多項式擬合對測試數據進行處理,調整多項式階數和加權系數,從殘差平方和ESSE、均方根誤差ERMSE、擬合優度R2等擬合指標綜合考慮,選擇出合適的擬合多項式作為真值,然后通過無控狀態的濾波模型對測試數據進行處理,結果與真值比較,驗證無控狀態濾波模型正確性。

對方位角測量數據進行擬合時,采用三次多項式進行擬合,形式為

f(x)=p1x3+p2x2+p3x+p4,

(20)

式中,p1、p2、p3、p4為多項式擬合系數。

在數值計算軟件中對方位角測量數據進行多項式擬合,使用自帶函數polyfit,得到擬合系數p1、p2、p3、p4分別為-0.040 38、0.094 68、-0.376 5和102.2,擬合指標ESSE、R2和ERMSE分別為0.044 05、0.999 8和0.006 149。根據擬合指標,殘差平方和ESSE越接近0,擬合優度R2約接近1,說明擬合效果越好。

對彈丸的方位角測試數據進行多項式擬合和濾波處理,結果如圖3所示。從圖3中的方位角測量數據變化情況可以看出,由于雷達不可避免受隨機干擾影響,測量數據會有一定波動,通過多項式擬合和濾波處理后,數據波動降低。

進一步對兩種處理結果作差比較,分析濾波結果與多項式擬合結果的差別,結果如圖4所示。

圖4中,濾波與多項式擬合結果相差最大約0.04°,從結果上說明濾波取得了和事后多項式擬合處理相近的效果,并且在數據上誤差較小,表明無控彈道濾波原理及方法正確。

3.2 有控濾波模型驗證

對有控濾波模型進行驗證,首先要有脈沖修正彈道的雷達測量數據。由于目前尚未進行脈沖有控彈藥的外彈道試驗,還沒有相應的脈沖修正外彈道數據,因此將通過半實物仿真方法獲得的脈沖有控彈藥彈道數據作為彈道真值。具體方法是:根據脈沖發動機試驗參數、彈丸設計參數和脈沖修正控制算法,在實驗室制導控制儀上,對脈沖修正的彈道過程和閉環工作流程進行模擬驗證,獲得脈沖修正彈道數據,作為彈道真值。對真值加入高斯白噪聲,模擬雷達對彈丸飛行彈道的測量結果,然后通過有控濾波模型對雷達模擬數據進行濾波,將濾波結果與真值對比,驗證有控濾波模型。

通過半實物仿真對脈沖修正彈道進行模擬,獲得的修正彈道數據作為彈道真值。為使半實物仿真更加接近真實試驗環境,筆者使用已有的靶場試驗氣象測試數據作為氣象數據輸入,根據試驗場條件,目標初始斜距5 km,高低角30°,方位角30°?；鹂亟馑愠錾鋼糁T元:射角36°,方位角30°,彈飛時間13 s,火控解算誤差0.1 m?；鹋趽舭l后,目標發生機動;彈丸進入啟控段后,共進行了5次點火修正。脈沖點火的時刻和角度如表1所示。經仿真,彈丸修正彈道曲線和未修正彈道曲線如圖5所示。

表1 脈沖點火時刻和角度

根據半實物仿真結果,在點火時刻(6.65 s、6.67 s、6.69 s、6.71 s、6.73 s)使用有控彈道濾波模型,對模擬雷達測量數據進行濾波,方位角數據的濾波結果如圖6所示,高低角數據的濾波結果如圖7所示。

從圖6中看出,在對方位角濾波過程中,初期經過短時間振蕩后,濾波逐漸穩定,數據波動現象得到改善。從圖中7看出,在對高低角濾波時,與方位角濾波變化基本類似,在濾波初期經過短時間振蕩后,濾波逐漸穩定,數據波動改善明顯。

經濾波后,雷達模擬測量數據波動減小。為了進一步檢驗有控濾波模型的濾波精度,以半實物仿真得到的修正彈道數據為真值,重點分析在點火時刻的濾波結果與修正彈道之間的誤差,如表2所示。

表2 有控濾波模型的濾波結果與真值之間的誤差

從表2中數據可以看出,斜距上的誤差呈下降趨勢,從-13.8 m逐漸減低至-0.8 m,表明誤差呈收斂趨勢,濾波過程逐漸平穩;高低角上的誤差最大約-0.009°,方位角上的誤差最大約0.08°,均在2 mard以內,表明有控濾波模型可以良好地反映出點火修正動作,符合彈丸飛行時實際彈道修正過程。

3.3 濾波模型對比

為了說明有控濾波模型在脈沖修正彈道數據處理中的意義,筆者設置了對比仿真:使用無控彈道濾波模型對修正彈道數據進行濾波,在點火時刻,無控彈道濾波模型的濾波結果與修正彈道之間的誤差如表3所示。

表3 無控濾波模型的濾波結果與真值之間的誤差

將表3中數據與表2數據進行對比,可知使用無控彈道濾波模型對雷達模擬測量數據濾波后,斜距誤差最大約-21 m,高低角約0.05°,方位角約0.1°,比有控彈道濾波模型的濾波結果偏差高約一倍,說明無控彈道濾波模型不能反映出脈沖點火動作,不能識別出脈沖點火對彈道的修正效果;有控濾波模型可以檢測出脈沖點火對彈道的影響,濾波后的彈道更接近實際彈道,可為后續彈道控制提供準確的彈道數據,有利于提高彈道修正精度,減小彈目偏差。

4 結束語

針對修正彈飛行過程中,由于測量設備存在噪聲,彈道修正時脈沖點火動作時間短、彈道變化不顯著,導致雷達設備在測量彈道時,難以準確獲得彈丸飛行彈道數據,尤其是不能即時捕捉脈沖點火后彈道的變化,從而影響對彈道的實時控制問題,筆者從彈道數據濾波入手,基于卡爾曼濾波方法和外彈道模型,研究了無控狀態和有控狀態的彈道濾波模型。通過仿真驗證,無控狀態的濾波模型可以較好地改善彈道測量數據的波動情況,濾波結果與多項式擬合相近,具有較高精度;有控狀態的濾波模型能真實反映脈沖點火動作,捕捉點火后的彈道變化,可為彈道實時控制提供數據輸入,所研究的工作可為脈沖修正彈藥的工程化研制提供理論支撐。