含主動約束阻尼懸臂梁兩種減振機理的模擬?

黎 明， 孫 偉， 劉 鉞

（1.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819）

（2.東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室 沈陽，110819）

引 言

主動約束層阻尼減振是相對于被動約束阻尼減振的一種新的結構形式，其將普通的金屬約束層替換為智能材料（常用的為壓電材料），利用智能材料的作動力來增強夾在約束層和基體之間的黏彈性阻尼層的剪切變形，從而提高了減振能力［1-2］。主動約束層減振由于適用的頻率范圍寬、減振能力強，已在航空航天領域得到了廣泛應用［3］。理解并能模擬主動約束阻尼減振的動力學機理是進行該項減振技術設計與實施的關鍵。

當前，已有學者［4-5］明確解釋了主動約束阻尼層的減振機理，即主動約束阻尼同時包含了兩種減振機理：①黏彈性阻尼層產生的剪切變形進而耗能；②壓電約束層產生的反相位作動力阻滯了結構的振動。但是，對上述兩種減振機理的有效模擬還未建立起來。

為了有效模擬主動約束阻尼減振的機理，必須創建合適的動力學分析模型，目前關于主動約束阻尼層結構的動力學建模已有大量研究。王攀等［6］利用有限元方法將對邊約束主動約束層阻尼板劃分為若干4 節點28 自由度板單元，并結合能量原理建立動力學模型。胡夢佳等［7］利用7 自由度平面矩形ACLD 單元建立了ACLD 板力學模型。Sarangi等［8］針對含主動約束層阻尼復合材料層合殼推導了機電耦合非線性有限元模型，并對其振動特性進行了分析。Xie 等［9］采用單層有限元模型來模擬ALCD 的3 層結構，且3 層均考慮剪切和軸向應變，應用能量法和拉格朗日公式求得ACLD 板模型的整體動力學方程。Sahoo 等［10］基于Galerkin 法和逐層理論創建了含橢圓主動約束阻尼層復合材料結構動力學有限元模型，并求解了復合結構動態特性。Li 等［11］將主動約束阻尼片的邊緣用附加點質量的等效彈簧來模擬，用假定模態方法和拉格朗日方程推導了含主動約束阻尼片旋轉梁的動力學模型。上述關于含主動約束阻尼層復合結構建模與分析的研究均是將ACLD 的作用轉化為一種阻尼的影響來引入動力學模型中，與所描述的兩種阻尼減振機理并不對應，但可作為本研究的參考。

筆者以部分貼敷主動約束阻尼層懸臂梁為對象，通過對主動約束層阻尼兩種減振機理的模擬，建立了ACLD 懸臂梁的動力學模型，并組建了主動約束阻尼減振實驗系統，用實驗結果校驗了ACLD 懸臂梁動力學模型的合理性。同時，對比分析了僅包含黏彈性約束阻尼或壓電阻滯單一減振機制以及同時包含兩種減振機制時復合梁的動力學響應特性。

1 主動約束層減振機理分析

以局部貼敷主動約束層阻尼懸臂梁為例，進一步解釋該項減振技術的兩種減振機理。懸臂梁主動約束阻尼減振原理如圖1 所示，其工作過程描述如下：當梁受到激勵產生振動時，壓電傳感層會因振動而產生電壓，電壓經電壓采集裝置傳輸給控制器；由控制器對數據進行處理后輸出，將指定的控制信號輸送給壓電驅動裝置；壓電驅動裝置按照接收到的信號對壓電作動層施加電壓，促使主動約束層阻尼對梁結構的振動進行抑制。整個減振效果可由附加的振動測試傳感器來評價。

主動約束阻尼的兩種減振機制，即中間黏彈性層剪切耗能和壓電層對振動的反相阻滯作用，可通過分析ACLD 結構的受力及變形過程來描述。主動約束阻尼層的兩種減振原理如圖2 所示。當梁產生振動時，由于壓電作動層與基體梁層的形變不同步，使得中間黏彈性阻尼層受到剪切，進而產生阻尼耗能。加載到壓電作動層上的電壓會讓壓電作動層因逆壓電效應而產生拉伸或收縮變形，給予梁層一個反相阻滯力抑制梁的運動。在含主動約束阻尼層結構建模中，必須有效模擬上述兩種減振機制才能再現該阻尼器的減振現象。

圖2 主動約束阻尼層的兩種減振原理Fig.2 Schematic diagram of two kinds of vibration reduction mechanisms in active constrained layer damping

2 局部貼敷ACLD 懸臂梁動力學建模與求解

圖3 為部分主動約束層阻尼處理懸臂梁的示意圖，以梁體下表面與截面中線交點為坐標原點建立坐標軸。其中：L為懸臂梁懸臂長度；b為梁寬；主動約束層阻尼貼敷在距離夾持端Lz處，長度為Lm；F為施加的外部擾動力。從有效模擬主動約束阻尼兩種阻尼減振機理出發，采用有限元法，創建局部貼敷ACLD 懸臂梁結構動力學模型并進行求解。

圖3 部分主動約束層阻尼處理懸臂梁示意圖Fig.3 Schematic diagram of partial active constrained layer damping treatment of cantilever beam

2.1 黏彈性層剪切耗能的模擬

這里用2 節點8 自由度單元模擬貼敷ACLD 部分的力學行為，ACLD 單元如圖4 所示，其節點位移向量可表示為

圖4 ACLD 單元Fig.4 ACLD element

其中：i，j為單元節點編號；w為撓度；θ為單元轉角；u為軸向位移；角標c 和b 分別代表壓電約束層和基體梁層；Le為單元長度。

單元內任一點位移同節點位移的關系可表示為

其中：Nw，Nb和Nc為各部分的形函數。

其中：ζ=x/Le為單元的局部坐標。

當梁體發生振動時，ACLD 單元會發生轉動，此時會出現基體梁層和壓電作動層的形變不一致，這使得中間的黏彈性阻尼層發生剪切，層間形變關系如圖5 所示。其中：γ為黏彈性阻尼剪切應變；t為厚度；角標v 代表黏彈性阻尼層。

圖5 層間形變關系Fig.5 Deformation relationship between layers

由幾何關系可得

可以得到

黏彈性層任一點剪應變γ和軸向位移uv同樣可以表示成形函數與節點位移向量的乘積形式，即

其中

從以上分析可知，式（6）描述了夾在基體及約束層之間的黏彈性層的剪切變形，可作為描述黏彈性剪切耗能的基礎公式。得到各層形函數后，結合能量法，可得到各層的單元剛度與質量矩陣表達式為

其 中：的 下 標wmasub 可 替 換 為wb 和wc，代表梁層和約束層撓度部分產生的單元剛度矩陣；的下標umasub 可替換為ub 和uc，代表梁層和約束層軸向位移部分產生的單元剛度矩陣；Kve為黏彈性層的單元剛度矩陣；Mmeasub的 下 標masub 可 以 替換為wb，wc，wv，ub，uc 和uv，代表各層撓度和軸向位移部分對應的單元質量矩陣；Esub，Isub，ρsub和Asub的下標sub 可替換為c，v 和b，代表各層材料的彈性模量、截面慣性矩、材料密度和截面積；Gv為黏彈性阻 尼 剪 切 模 量；Νsfsub，Ns′fsub和Ns″fsub下 標sfsub 可 替 換為w，c，b，γ和v，代表形函數對x的1 階導數和形函數對x的2 階導數。

需要說明的是，這里壓電傳感層單元分析方法與壓電作動層一致。最終，ACLD 單元的質量矩陣Me和剛度矩陣Ke可以表示為

其中：Mewb，Meub分別為基體梁撓度和軸向位移對應的單元質量矩陣；Mewv，Meuv分別為黏彈性層撓度和軸向位移對應的單元質量矩陣；Mewc，Meuc分別為壓電層撓度和軸向位移對應的單元質量矩陣；Kewb，Keub分別為基體梁層撓度和軸向位移對應的單元剛度矩陣；Kev為黏彈性阻尼層剪切形變產生的單元剛度矩陣；Kewc，Keuc分別為壓電層撓度和軸向位移對應的單元剛度矩陣。

黏彈性層的材料參數用復模量模型來模擬，即

其中：E*為復模量；ER為復模量實部；EI為復模量虛部；η為材料的損耗因子；i=。

這樣，由式（10）求解出的單元剛度矩陣就會存在虛部，成為復剛度矩陣，表示為

其中：Ke*為復剛度矩陣；KeR為復剛度矩陣實部；KeI為復剛度矩陣虛部。

式（12）中的iηKeR代表ACLD 單元的阻尼，為了便于時域求解，可將其轉化為等效黏性阻尼矩陣Ce，表示為

其中：ωex為激勵頻率。

懸臂梁結構中還含有非ACLD 單元，例如基體梁單元，可通過將式（10）中對應的壓電片和黏彈性阻尼部分去掉得到。同理，被動約束層阻尼單元以及主動控制單元也可通過對式（10）的調整得到。

2.2 壓電阻滯減振的模擬

壓電阻滯力的作用是在外擾力對結構進行激勵時，提供一個與外擾力相斥的作用，從而降低外擾力對結構的影響。壓電阻滯力是由于壓電作動器受到電壓后因逆壓電效應發生形變而產生的。

壓電材料受到電壓影響后會產生形變，二者之間的關系可由壓電第2 類方程［12］表示為

其中：σ為應力；D為電位移量；S為應變；為電場強度；cE為彈性剛度矩陣；e為壓電應力系數矩陣；εS為介電常數矩陣。

假如因振動產生的形變可以忽略不計，則壓電作動器受到電壓后產生的應力為

若考慮壓電作動器為厚度方向受到極化，關注其在1 維軸向的形變，則1 維數值表達式為

其中：e31為壓電應力系數為厚度方向的電場強度，=Vc( )t/tc，Vc(t)為施加的電壓值，可由實驗測得。

壓電作動器產生的力矩Mmo可表示為

綜上，可得到單元的阻滯力向量為

式（18）即為能削弱外擾力對結構作用的壓電阻滯力，由此描述出主動約束阻尼減振中壓電層的阻滯減振機理。

2.3 整體運動方程的建立與求解

整體結構還受到激振源的激勵，外力所做的虛功可以表示為

結合前述求解得到的單元質量、剛度、阻尼矩陣以及壓電阻滯力，可將主動約束層阻尼單元動力學方程寫為如下形式

組集后可得到整體的動力學平衡方程為

此整體動力學方程包含了所描述的兩種減振機理，可以有效預測主動約束層阻尼結構的減振效果。另外，還可根據需求通過改變等式中的項來模擬被動約束層減振、純主動減振以及不加減振措施等情況。

當式（21）右側的兩個力均為0 且不考慮阻尼時，可變為下列形式來求解系統固有頻率

其中：ωi為各階固有頻率；ψi為對應階次固有振型。

可以應用Newmark-β 法對整體動力學方程的時域進行求解

3 實 例

這里以部分主動約束層阻尼處理懸臂鋁梁為例，創建本研究提出的包含模擬兩種減振機理的動力學模型，并做相應的求解與分析。懸臂梁一端固定在專用夾具中（夾持區為50 mm），在距離夾持端125 mm 處進行主動約束層阻尼處理，所用的壓電材料為PZT-5H，黏彈性材料為ZN-1，激振器激勵點距夾持端52.5 mm，拾振點選取在距自由端25 mm處。試件幾何參數及材料參數如表1 所示。

表1 試件幾何參數及材料參數Tab.1 Geometric and material parameters of the test specimen

所搭建的主動約束阻尼減振實驗系統如圖6 所示，整體實驗系統包含振動激勵、數據采集和主動控制等部分。振動激勵主要包括PCB 模態力錘和聯能JZK-2柔性桿激振器，其中模態力錘用于錘擊實驗，柔性桿激振器用于提供穩態諧振激勵。數據采集部分主要有B&K 4517加速度傳感器，用于拾取振動信號，LMS 16通道便攜式數據前端用于采集振動信號。主動控制部分主要由NI電壓采集硬件、控制器以及壓電驅動電源組成，其中NI硬件設備負責采集由壓電傳感器產生的電壓以及將控制器處理后的控制信號進行輸出，控制器用于對采集信號進行運算處理，壓電驅動電源用于對信號進行放大后施加到壓電作動層?？刂破骼肔abVIEW 軟件進行編寫，控制率為比例控制。該實驗系統的主要儀器設備見表2。

圖6 主動約束阻尼減振實驗系統Fig.6 Active constrained layer damping vibration reduction experimental system

應用上述實驗系統對部分主動約束層阻尼處理懸臂梁進行固有頻率及定頻時域響應測試，相關結果用于校驗所創建的分析模型的合理性。

3.1 主動約束層阻尼懸臂梁固有頻率求解

將ACLD 懸臂梁劃分為70 個單元，共168 個自由度，按照式（9）和式（10）求解ACLD 單元及普通梁單元的剛度及質量矩陣，再基于式（22）求解懸臂梁系統的固有頻率，整個程序利用Matlab 軟件編制?？紤]到主動約束層阻尼減振中壓電阻滯對低階頻率的減振效果好，所以這里主要關注100 Hz 以內階次的情況。計算與實測的ACLD 懸臂梁固有頻率比對如表3 所示。

表3 計算與實測的ACLD 懸臂梁固有頻率比對Tab.3 Comparison of calculated and measured natural frequencies of ACLD cantilever beam

從表3 可以看出，在固有頻率方面，偏差均在5%以內，偏差較小，參照文獻［13-14］可認為仿真結果與實驗結果對比良好，從而證明了所建立ACLD單元的合理性。

3.2 主動約束層阻尼懸臂梁振動響應求解

這里將激振頻率分別設定為1 階共振頻率及其附近的兩個非共振頻率點，進行時域響應求解，并將求解結果與實驗進行對比。激振頻率及壓電作動層受到的電壓峰值如表4 所示，其中17.0 Hz 為1 階共振頻率，各電壓值是由壓電傳感器實測得到的。

表4 激振頻率及壓電作動層受到的電壓峰值Tab.4 The excitation frequency and the peak voltage of the piezoelectric actuating layer

對比的時域響應包含兩種工況，分別是加主動控制前及加主動控制后。其中：加主動控制前可視為被動約束阻尼減振系統，對其建?？蓛H考慮黏彈性層剪切耗能機理；加主動控制后對其建模分析則需同時考慮所描述的兩種減振機理。不同頻率下仿真計算與實驗結果對比如圖7~9 所示。

圖7 16.7 Hz 仿真結果與實驗結果對比Fig.7 Comparison of simulation and experimental results at 16.7 Hz

圖8 1 階共振頻率下仿真結果與實驗結果對比Fig.8 Comparison of simulation and experimental results at the first order resonance

圖9 17.2 Hz 仿真結果與實驗結果對比Fig.9 Comparison of simulation and experimental results at 17.2 Hz

施加控制前后各頻率仿真與實驗響應結果對比如表5，6 所示，其中17.0 Hz 為1 階共振頻率。各頻率下未控制結構對比偏差最大為18.9%，施加控制后的結果對比偏差最大為18.6%?？傮w上看，仿真與實驗對比偏差均在20%以內，參考文獻［15-16］可認為此偏差可以接受。仿真模型再現了實驗觀測到的主動約束阻尼減振現象，對兩種減振機制的模擬是合理的。在施加主動控制時，所需的壓電參數直接引用了表1 中廠家提供的數據，可能與實際所需的參數有偏差，導致仿真結果與實驗結果偏差較未控制時有所增大。

表5 未施加控制時各頻率仿真與實驗響應結果對比Tab.5 Comparison of simulation and experimental response results of each frequency without control

表6 施加控制時各頻率仿真與實驗響應結果對比Tab.6 Comparison of simulation and experimental response results of each frequency when the control is applied

3.3 各種減振處理的仿真對比

本研究所創建的包含兩種減振機理的局部ACLD 處理懸臂梁動力學模型是一個通用模型，在對單元剛度及質量矩陣調整后，也可模擬無減振措施、被動約束層阻尼處理和主動控制減振的情況。針對處理層大小與位置相同、尺寸相同的試件，在1 階共振的激勵條件下，各種處理情況響應仿真結果和幅值分別如圖10 和表7 所示。

表7 各種處理情況下的幅值Tab.7 Amplitude values under various treatment conditions

圖10 各種處理情況響應仿真結果對比Fig.10 Comparison of simulation results under various processing conditions

從圖10 可以看出，由于包含兩種阻尼減振機制，主動約束層阻尼處理減振效果最好，其振動幅值最小，優于被動約束層阻尼處理以及單純的壓電主動控制情況。對于本實例，相比于無處理的實驗件，壓電主動控制的幅值減少了17.3%，被動約束層阻尼處理減小了51.6%，而主動約束層阻尼在被動約束層阻尼處理減振的基礎上又將幅值減小了45%，與無處理情況相比減少了73.4%。

4 結 論

1） 提出了模擬主動約束阻尼振動控制方法中兩種減振機理的分析模型：用形函數表達出黏彈性層的剪切變形，并采用復模量模型將等效阻尼矩陣分離出來以模擬黏彈性層剪切耗能；利用壓電方程與力學公式推導出壓電阻滯力以模擬壓電反相阻滯減振。創建出包含兩種阻尼減振機理的通用ACLD處理懸臂梁動力學分析模型。

2） 組建了ACLD 處理懸臂梁實驗系統以校驗所創建的動力學模型的合理性。結果表明，共振及非共振激勵頻率下，施加控制后的仿真結果與實驗值對比最大偏差為18.6%，因而可認為仿真模型再現了實驗觀測到的主動約束阻尼減振現象，所描述的對兩種減振機制的模擬是合理的。

3） 基于所創建的包含兩種阻尼減振機理的通用動力學分析模型，通過調整單元矩陣，分別模擬并對比分析了無減振措施、被動約束層阻尼處理、主動控制和主動約束阻尼處理懸臂梁的時域振動響應。結果表明，主動約束阻尼由于同時包含兩種減振機理，其減振效果要優于其他僅包含單一減振機理的振動控制方法，相比于無減振措施，振動幅值減少了73.4%。