幾何非線性黏性阻尼隔振系統的傳遞率特性?

劉海超， 閆 明， 孫自強， 金映麗， 王開平， 惠安民

（1.沈陽工業大學機械工程學院 沈陽，110870）

（2.中國刑事警察學院刑事科學技術學院 沈陽，110854）

引 言

隨著中國艦船制造技術的快速發展，艦載設備越來越精密化、智能化，但其所處的工作環境卻日益復雜與嚴酷，這對艦載設備隔振裝置的設計提出了更高的標準與要求［1-2］。由于艦船上多為大型重載設備，所以隔振器應該具有更高的承載能力和更低的隔振頻率，而線性隔振器已經不能滿足工程實際需求，因此國內外學者對非線性隔振系統展開了廣泛而深入的研究。

Brennan 等［3］采用諧波平衡法求解具有軟化和硬化的Duffing 隔振系統響應方程，研究了跳降頻率和跳升頻率與系統參數的關系。張小龍等［4］推導了Duffing 型隔振系統跳躍頻率和力傳遞率的計算公式，分析了隔振系統主要參數對力傳遞率的影響規律。文獻［5-7］采用理論、仿真和試驗的方法對一類準零剛度隔振器的非線性動力學行為進行了研究，結果表明，準零剛度隔振器的高靜低動特性使隔振系統具有更高的承載能力和更優的隔振帶寬，但只適用于小幅振動。Sun 等［8-9］基于剪式結構，設計了一種新型非線性隔振器，進一步研究了隔振系統的非線性動力學特性，但這種隔振器會導致被隔振設備重心升高。文獻［10-11］以實測動態加載遲滯曲線為基礎，通過模型參數識別建立了膠質阻尼隔振器力學模型，并對其隔振性能進行評估，結果表明，膠質阻尼隔振器具有良好的低頻隔振性能。

非線性剛度雖然有利于提高隔振系統的承載能力，但常常會導致系統出現跳躍、分岔和混沌等不穩定現象，目前常采用提高阻尼來改善隔振系統的動力學性能。Sharma 等［12］分析了非線性阻尼對強迫達芬系統的分岔與混沌特性的影響，結果表明，非線性阻尼能夠降低系統首次進入混沌狀態的臨界值，增加發生混沌的參數空間，影響系統進入混沌的通道。Ho 等［13］采用輸出頻響函數法研究非線性剛度和非線性阻尼對Duffing 系統動態行為的影響，得知非線性阻尼對抑制隔振系統共振峰值、提高系統穩定性能要遠優于線性阻尼。文獻［14-17］采用不同的理論計算方法研究了立方阻尼對隔振系統力傳遞率和位移傳遞率的影響，結果表明，立方阻尼能夠有效降低共振區傳遞率峰值，但是會導致高頻區隔振性能變差。Laalej 等［18］利用主動試驗裝置對立方阻尼隔振系統進行了試驗研究，得出立方阻尼隔振器在一些特殊情況下才具有優勢的結論。王勇等［19］采用主動控制方式將立方速度反饋控制策略引入到非線性隔振系統中，不僅降低了主共振峰處的幅值，而且高頻傳遞特性得到有效改善。但是，主動控制存在成本較高、程序繁瑣以及可靠性低等問題。

為了分析非線性隔振系統振動特性，筆者在考慮系統干摩擦阻尼的基礎上，以典型的Duffing 系統為研究對象，采用線性黏性阻尼器與隔振系統運動方向垂直布置的方式，實現了系統阻尼的幾何非線性，即在豎直運動的隔振系統中添加水平線性黏性阻尼器，使二者呈垂直的幾何關系，當隔振系統上下運動時，水平黏性阻尼器在豎直方向產生的阻尼力會隨著黏性阻尼器與水平方向的夾角變化而變化，并隨相對位移的增加而增大。采用諧波平衡法求解了非線性隔振系統的主共振響應，對比分析了線性阻尼、庫倫阻尼和幾何非線性阻尼對系統絕對傳遞率的影響規律，進一步分析了激勵幅值對不同阻尼隔振系統振動特性的影響，并通過振動試驗驗證了幾何非線性黏性隔振系統的傳遞率特性規律。

1 隔振系統模型的建立

1.1 力學模型

隔振系統力學模型如圖1 所示，其中：M為設備的質量；K1，K2分別為隔振器垂向線性剛度系數和非線性剛度系數；C1，C2分別為垂向和水平線性黏性阻尼系數；Ff為垂向庫倫阻尼力；D為水平阻尼器初始長度；Y（t），X（t）分別為基座和設備的絕對位移。

圖1 隔振系統力學模型Fig.1 Mechanical model of vibration isolation system

1.2 數學模型

隔振系統隨基礎激勵做受迫振動，假設基礎激勵為諧波信號，即Y（t）=Bsin（ωt-θ），定義被隔振設備與基座的相對位移Z（t）=X（t）-Y（t）。隔振系統的彈性力和阻尼力分別為

當Z≤0.2D時，利用泰勒級數展開將式（2）簡化為

因此，系統的動力學方程為

定義式（5）中的無量綱參數為

進行如下變換

得到系統動力學方程的無量綱形式為

假設系統穩態響應的一次近似解為

同時，利用傅里葉展開對sgn 函數進行化簡，有

將式（8）、式（9）代入式（7），得到

根據三角函數化簡關系，有

將式（11）、式（12）代入式（10），得到

2 傳遞特性

絕對傳遞率和相對傳遞率是評價隔振系統隔振性能的重要指標。絕對傳遞率是指設備的絕對位移與激勵幅值的比值；相對傳遞率是指設備和基座之間的相對位移（即隔振系統彈性元件的變形量）與激勵幅值的比值。

由式（13）可得

相對傳遞率公式為

由絕對位移與相對位移的關系可得

因此，絕對傳遞率公式為

2.1 阻尼參數對傳遞率特性的影響

非線性隔振系統可以根據彈性元件的力學特性分為軟特性和硬特性隔振系統。假設彈性元件的恢復力為F（Z），形變量為Z，當dF/dZ嚴格單調遞減時，彈性元件具有軟特性；當dF/dZ嚴格單調遞增時，彈性元件具有硬特性。非線性彈性元件力學特性如圖2 所示，其中：曲線b所示系統為軟特性隔振系統；曲線a所示系統為硬特性隔振系統。

圖2 非線性彈性元件力學特性Fig.2 Mechanical characteristics of nonlinear elastic elements

選定隔振系統非線性剛度ρ=±0.02（正負號分別代表硬特性和軟特性隔振系統），振動激勵幅值b=1.0，分析隔振系統的線性阻尼ξ1、庫倫阻尼λ和幾何非線性黏性阻尼η單一參數對軟、硬特性隔振系統的絕對傳遞率的影響規律，如圖3~圖5 所示。

圖3 參數ξ1對絕對傳遞率的影響Fig.3 The influence of parameter ξ1 on absolute transmissibility

由圖3 可知，增加隔振系統線性阻尼ξ1，有效降低了軟、硬特性隔振系統共振區的絕對傳遞率，減小甚至避免了跳躍現象的產生，提高了系統的穩定性；但隨著線性阻尼的增加，振動隔離區的絕對傳遞率增加，即高頻隔振性能大幅下降。

由圖4 可知，隨著庫倫阻尼λ的增加，軟特性隔振系統共振區的絕對傳遞率快速下降，系統穩定性得以提高；但硬特性隔振系統共振區絕對傳遞率下降并不明顯，并且隨庫倫阻尼的增加，絕對傳遞率在共振區均出現了獨立封閉環形區域，即“頻率島”現象，這說明系統處于不穩定狀態，且隔振性能較差，只有大幅提高庫倫阻尼才能使“頻率島”消失。同時，由于庫倫阻尼的鎖定作用，絕對傳遞率起始頻率（逃離頻率）均大于0，并隨庫倫阻尼增加而向右移動。增加庫倫阻尼雖然有益于降低共振區傳遞率，但是高頻區的絕對傳遞率卻隨之提高，振動隔離區的隔振性能變差。

圖4 參數λ 對絕對傳遞率的影響Fig.4 The influence of parameter λ on absolute transmissibility

由圖5 可知，增加幾何非線性阻尼η，不但使軟、硬特性隔振系統的絕對傳遞率大幅降低，同時保證了高頻區的絕對傳遞率特性保持不變。因此，幾何非線性阻尼對降低系統的共振區傳遞率、提高系統的振動性能起到了重要作用。

圖5 參數η 對絕對傳遞率的影響Fig.5 The influence of parameter η on absolute transmissibility

2.2 3 種阻尼對傳遞率特性影響的對比分析

為進一步分析3 種阻尼對隔振系統傳遞率特性的影響，以非線性剛度ρ=±0.01、線性阻尼ξ1=0.04 的非線性隔振系統為參考，設計3 種阻尼參數在保證隔振系統共振區絕對傳遞率峰值相等的條件下，其軟、硬特性隔振系統絕對傳遞率對比分析，分別如圖6，7 所示。

圖6 軟特性隔振系統絕對傳遞率對比分析Fig.6 Comparative analysis of absolute transmissibility of vibration isolation system with soft characteristics

圖7 硬特性隔振系統絕對傳遞率對比分析Fig.7 Comparative analysis of absolute transmissibility of vibration isolation system with hard characteristics

由圖6，7 可知：無論軟特性還是硬特性隔振系統，在保證共振區絕對傳遞率峰值相等的條件下，線性阻尼和庫倫阻尼的增加均導致了振動隔離區的絕對傳遞率的增加，高頻隔振性能降低，這對非線性隔振器設計極為不利；而幾何非線性阻尼不僅有效降低了共振區的絕對傳遞率，同時確保了高頻區良好的振動隔離特性。

2.3 激勵幅值對系統隔振性能的影響

激勵幅值是直接影響隔振系統傳遞特性的重要因素。選取非線性剛度ρ=±0.02，線性阻尼ξ1=0.04，分析激勵幅值對庫倫阻尼和幾何非線性阻尼隔振系統傳遞率的影響，分別如圖8，9 所示。其中，箭頭標注方向為激勵幅值增大的方向。

圖8 激勵幅值對庫倫阻尼隔振系統傳遞率的影響Fig.8 Influence of excitation amplitude on transmissibility of coulomb damping vibration isolation system

由圖8 可知：隨著激勵幅值的增加，對于軟特性隔振系統，共振區絕對傳遞率峰值逐漸增大；對于硬特性隔振系統，“頻率島”現象消失，共振區絕對傳遞率峰值下降并進一步向右彎曲；逃離頻率向左移動，無諧振峰值區減??；隨激勵幅值的增加，軟、硬特性隔振系統高頻區的絕對傳遞率均有所降低。

由圖9 可知：隨著激勵幅值的增加，對于軟特性隔振系統，共振區的絕對傳遞率峰值逐漸降低，但會向左進一步彎曲，而且高頻區的絕對傳遞率也會有所下降；對于硬特性隔振系統，共振區的絕對傳遞率峰值同樣會隨之降低，但變化趨勢逐漸變緩，同時高頻區的絕對傳遞率基本保持不變。因此，幾何非線性阻尼能夠保證隔振系統在變激勵幅值環境中具有較低的傳遞率和較好的高頻隔振性能。

圖9 激勵幅值對幾何非線性阻尼隔振系統傳遞率的影響Fig.9 Influence of excitation amplitude on transmissibility of geometrically nonlinear damping vibration isolation system

3 非線性隔振系統振動試驗

3.1 試驗裝置及工作原理

幾何非線性黏性阻尼隔振系統試驗裝置如圖10 所示，主要由基座、水平阻尼器支座、導向裝置、傳感器測量裝置、線性彈簧、垂向黏性阻尼器、質量塊、水平黏性阻尼器和磁性彈簧元件等組成。試驗裝置工作原理如下：由磁性彈簧元件提供非線性剛度，內磁體安裝在豎直連桿上，且連桿端部與基座連接固定，外磁體通過上、下端蓋與質量塊相連并隨之運動，由于內外磁體的磁化方向相反，因此始終存在一個與質量塊運動方向相同的磁性力作用在質量塊上。其中，垂向黏性阻尼器提供垂向阻尼C1，水平阻尼器提供幾何非線性阻尼C2，由試驗裝置各部件之間的干摩擦力提供庫倫阻尼力Ff，采用位移傳感器、加速度傳感器和數據采集儀實現試驗數據的采集與記錄。

圖10 幾何非線性黏性阻尼隔振系統試驗裝置Fig.10 The test device of geometrically nonlinear viscous damping vibration isolation system test device

磁性彈簧元件如圖11 所示，是由2 對徑向磁化的環形永磁體組成。磁性彈簧的工作原理、磁性力和磁剛度的計算方法參見文獻［20］，得到磁剛度Km的近似計算公式為

圖11 磁性彈簧元件Fig.11 The magnetic spring element

其中：Km1，Km2分別為常數項和二次項剛度系數。

圖10 中線性彈簧的線性剛度KL和磁性彈簧磁剛度的常數剛度Km1共同提供線性剛度，由此可得

采用垂向液壓振動試驗臺進行振動試驗，試驗臺基本參數如下：最大推力為100 kN，正弦掃頻范圍為0.1~160 Hz。試驗裝置安裝如圖12 所示。

圖12 試驗裝置安裝圖Fig.12 The installation diagram of test device

3.2 振動試驗及結果分析

以硬特性隔振系統為例進行了定頻振動試驗，頻率范圍為0.6~24 Hz，頻率間隔為0.6 Hz，非線性隔振系統參數見表1。分別改變系統線性阻尼C1（ξ1）、幾 何 非 線 性 黏 性 阻 尼C2（η）和 激 勵 幅 值B（b）的大小，試驗結果與理論計算對比分析如圖13 所示。

表1 非線性隔振系統參數Tab.1 Non-linear vibration isolation system parameters

圖13 試驗結果與理論計算對比分析Fig.13 The comparative analysis of experimental results and theoretical calculations

由圖13 可知，振動試驗與理論計算曲線具有較好的一致性，最大誤差僅為5.43%。對比圖13（a，b）的 試 驗 曲 線可知：當ξ1增加 到0.05，或 者η增 加到0.06 時，系統絕對傳遞率峰值下降了相同高度；增加ξ1會導致高頻隔振性能變差；增加η系統依然具有較好的高頻隔振性能。由圖13（c）可得，隨著激勵幅值的增加，不僅降低了共振區傳遞率峰值，而且保證了高頻區良好的隔振能力，能夠適用于更為復雜的工作環境。

4 結 論

1） 增加系統庫倫阻尼能夠有效降低軟特性隔振系統共振區的傳遞率峰值，但對硬特性隔振系統共振區傳遞率特性影響較小，而且會出現不穩定的“頻率島”現象，并導致了振動隔離區絕對傳遞率增加，高頻隔振性能變差。

2） 增加幾何非線性阻尼不僅有效降低了軟、硬特性隔振系統共振區的傳遞率峰值，而且能確保高頻隔離區良好的振動性能，因此幾何非線性阻尼具有重要的研究價值。

3） 系統激勵幅值的增加導致庫倫阻尼軟特性隔振系統共振區傳遞率峰值增大，硬特性隔振系統共振區傳遞率峰值進一步向右彎曲，共振區隔振性能變差，高頻區隔振性能保持不變。

4） 增加系統激勵幅值，幾何非線性阻尼軟特性隔振系統的共振區和振動隔離區的隔振性能均得到有效提高；硬特性隔振系統共振區傳遞特性變優，且高頻區傳遞特性保持不變。因此，幾何非線性阻尼使隔振系統適用于更為復雜多變的振動環境，有效提高了系統的振動性能。

5） 定頻振動試驗進一步證明了幾何非線性阻尼能夠有效改善隔振系統共振區和高頻區的隔振性能，因此設計出阻尼力隨位移變化的新型隔振系統具有重要的研究價值與廣闊的應用前景。