大概念視域下的章節起始課研究
——以《數列的概念與簡單表示》為例

江蘇省溧水高級中學 李寬珍 (郵編:211200)

1 問題的提出

章節起始課,是指每一章教學內容的第一節課.大概念視域下的章節起始課要基于數學的邏輯系統思考,需要整體設計.大概念教學注重概念產生的情境,更注重學生已有的數學認知.因此,基于大概念下的數學教學,一方面,教師要對整個知識體系、整章知識結構了如指掌,進而才能對新概念做好“解構”,即對知識進行選擇和重組,使之更貼合學生已有的認知水平;另一方面,借助利于概念所依托的情境,引導學生經歷知識的形成,從而更好的滲透數學思想,真正完成學生個體對知識體系的構建.

下面以蘇教版選擇性必修一第四章第1課時“數列的概念與簡單表示”的為例,具體闡述如何在大概念下設計和實施教學.

2 學情分析

數列是蘇教版選擇性必修一第四章的內容,涉及的知識點有數列的定義,數列的項,通項公式及數列的表示,數列的分類等概念.本章是學生在學習了集合、函數、三角函數等知識后的內容,學生對新知識的研究已有一定的方法和“研究套路”.因此,本課通過大量的情境讓學生獲得概念的初體驗,抽象出數列的概念;根據學生在前面學習函數時積累的知識結構,在問題的引導下,能嘗試去觀察、分析、猜想和證明.通過類比,得到研究數列的知識體系,讓學生勾勒出研究新事物的一般框架.在新知識的形成過程中幫助學生最終相對獨立地去完成數列的建構活動,培養了學生的數學核心素養——數學抽象,直觀想象,邏輯思維.

3 教學過程

活動一創設情境場 明示課題

情境1古希臘數學家畢達哥拉斯研究過的數學問題,他們提出的一組數:1,3,6,10,… 這些數可以用三角形點陣表示,故稱其為三角形數.

(1)1,3, 6,10,…

情境2“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,剩余棰長問題:

情境3劇場座位數問題:

(3)20,22,24,26,…,78.

情境4我國從1984年后參加的8次奧運會獲得的金牌數:

(4)15,5,16,16,28,32,51,38.

問題1通過以上情境,我們可以得到哪些數組?

生1:根據以上情境,我們可以得到如下幾列數:

(1)三角形數依次為:1,3, 6,10,…

(3)座位數依次為:20,22,24,26,28,…,78

(4)金牌數依次為:15,5,16,16,28,32,51,38.

問題2以上情境中有什么共同特點?又各有什么特點?

生2:以上情境都是數,按照一定的順序排列.

設計意圖根據幾個情境,創設一定的情境場,引導學生體驗引入數列概念的“必要性”.情境1和2是傳統的數學史引入案例,先通過展示古希臘畢達哥拉斯學派的數學家的三角形數和《九章算術》中的例子,使得數學課也有了文史色彩．情境3和4來自實際生活中的案例,這兩類案例意在告訴學生數列問題不僅是一個歷史悠久的問題,而且是身邊常見的現象.這些例子其實也是數學建模的典型案例,對學生今后數學建模思想的形成會起到不可忽視的作用.四個實際問題,說明數列模型在現實生活中大量存在,告訴我們學習數列的必要性,同時四個實例也涉及到了本章要學習的等差數列、等比數列核心的知識,使得研究的數列問題已經有了一定的思維高度．

活動二師生互動,建構新知

師:說的很好!我們把這種按一定次序排列的一列數叫做數列. 你能舉出一些數列嗎?

(學生舉例)

師:再看下面兩組案例:

(1)①場地上堆放了一批鋼管, 從上往下數有4,5,6,7,8,9,10;

②場地上堆放了一批鋼管, 從下往上數有10,9,8,7,6,5,4.

這兩個數列是不是同一個數列呢?為什么?

生3:不是同一個數列,因為順序不一樣.

師:恩,很好!再看下面的數列呢?

(2)某人2022年1～12月的工資,按月順序排列為:4800,4800,4800,…,4800 .這一列數是數列嗎? 與其他數列有何不同?

生4:也是數列,這個數列中的每個數都相同.

師:很好!你能用不同的標準給下列數列分類嗎?

(1)1,3, 6,10,…

(2)20,22,24,26,28,…,78

(4)15,5,16,16,28,32,51,38.

(5)15,5,16,16,28,32,51,38,…

(6)5000,5000,5000,…,5000

(7)4,5,6,7,8

生5:可以通過項數和項兩個標準來進行分類,若根據數列項數的多少,可分為有窮數列和無窮數列.根據項的大小來看,又可分為遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列.

師:你能用不同的標準對問題情境中引入的數列進行分類嗎?

(學生按照剛才的標準對情境中的數列進行分類.)

師:數列中的每一個數叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第n項,數列的一般形式可以寫成:a1,a2,a3,…,an,…,或簡記為{an}.

活動三類比遷移,滲透方法

問題3數列中的每一項與其序號之間是怎樣的關系?

生6:數列的項和序號是一一對應的,也就是說對于每一個正整數n,都有惟一的數an與之對應.

問題4這個概念是否似曾相識?你能從函數的角度解釋數列嗎?

生7:和函數的定義類似,對于定義域中的每一個自變量x,都有唯一的y與之對應.

師:那數列的自變量是什么?定義域是什么?函數值和值域又是什么?

生8:類比函數,數列可以看成定義域為孤立整點的函數,此函數的值域即為數列.

師:我們是按照什么樣的思路研究函數的?

生9:是按照函數的背景——函數的概念——函數的性質——特殊函數——函數應用的順序研究的.

師:數列是一種特殊的函數,你覺得數列的研究路徑是什么?

生10:可以類比數列,按照數列的現實背景——數列的概念——數列的性質——特殊數列——數列應用這樣的過程研究數列.

活動四鞏固概念,反饋矯正

師:既然大家知道可以類比函數來研究數列,現在給出數列:

(1)1,3,6, 10,…

(2)20,22,24,26,28,…,78

(3)2,4,8,16,32,64,128,…

問題5你能用一個式子表示數列嗎?你認為數列可以用哪些方法表示?為什么?

生11:可以用第n項an與n之間的關系來表示.

師:很好!這就是數列的通項公式.即第n項an與n之間的關系,可以表示成an=f(n).類比函數,數列也有三種常用表示方法:(1)列表法;(2)通項公式法;(3)圖象法.

設計意圖類比函數的研究方法得到數列的研究過程,滲透數學中類比的數學思想.通過類比促使學生更好的認識數學的整體性,將所學的數學知識、方法結構化、系統化,串成一個完整的體系．在運用、研究某個概念時,其本質上是重啟、喚醒概念所屬的知識體系．因此,教學概念時,應以本概念的系統結構為基礎,從學生已有的知識體系出發,引導學生感知新舊概念的關聯,探究概念建構的內涵與外延,從而新概念逐步融入到學生已有概念網絡體系中去．

活動五質疑答辯,運用新知

師:運用新知識解決下列問題:

例1已知數列{an} 的通項公式,寫出數列的前5項,并作出它的圖象.

例2寫出數列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數:

設計意圖通過例1的教學讓學生先寫前幾項,再畫圖象,再次體驗函數的研究方法.通過動手操作體會數列是特殊的函數．通過例2寫通項公式,再次體驗求函數解析式的思想.通過例題的教學,滲透函數的思想,數形結合思想和類比的思想等.

活動六歸納整理,整體認識

師:通過本節課的學習你有什么收獲?

生12:從知識上看,學習了數列的概念、分類方法、數列的表示,數列的本質和研究思路等.

從數學思想方法上看,有數形結合、分類討論、類比思想等數學思想方法.

設計意圖引導學生在新課結束后復盤反思,加深對新概念的整體認識,進一步深化對新概念所在的知識體系的理解和掌握.通過課堂小結,梳理學習的知識,提煉研究問題的方法,在引導學生加深對數列概念理解的同時,進而領會獲得數學概念的基本方法,讓學生不僅很好的“學會”,而且做到“會學”.

4 教學反思

作為大概念背景下的章節起始課,本節課在教學中以大量生活案例作為情境,讓學生體驗數列概念的背景,不斷地類比函數的概念及研究過程.整節課是在學生與已有知識的不斷對比中層層深化,整個教學過程一氣呵成,自然流暢. 借助教師創設的教學情境場,結合學生已有的知識結構,抓住數學本質,將自身知識融會貫通、遷移應用,滲透知識的理解性學習和體系化構建,發展數學思維,最終提升數學綜合素養,獲得深度學習.

4.1 大概念教學更加注重概念產生的情境——大概念的“源”

新課標指出,學習是基于情境的.因此,創建有意義的“情境場”,可以建構學生已有的概念體系,有效鏈接學生內在的知識、技能和經驗.而數學教學的情境創設,可以是生活中具體事例、文學史料,也可以基于學生已有的知識結構創設問題情境,用問題串聯新舊知識.

本文研究的數列教材中是以劇場座位、彗星出現的年份、“一尺之棰”的剩余部分、各年枝干數、奧運金牌數等六個生活或史料中的案例作為情境引入數列概念,得到數列概念后又以堆放的鋼管數和工資為例辨析概念.本案例中的情境基于函數大概念,從學生已有的知識機構探究,類比函數提出的新問題,使學生產生了認知沖突,從而激發學生對數列的繼續研究.

基于大概念設計形成的情境,不拘泥于生活中的具體情景,可以從問題出發,結合具體的教學內容,再根據教學內容的大概念單元內的知識點以及各知識點之間的結構,從點到面,從特殊到一般,讓學生的思維在認知沖突中走向升華,這也是大概念教學設計的核心.

4.2 大概念教學更加注重學生的知識結構 ——大概念的“質”

學生的知識結構指的是學生的最近發展區,即學生已有的知識結構和思維方式.新概念的學習是在學生已有的知識結構上,新舊知識相互滲透重組的過程,因此,基于大概念下的問題設計和探究都要從學生已有的認知水平和經驗出發,引導學生經歷觀察和分析、猜測和驗證,積極、主動地參與課堂教學,不斷在活動中積累認知經驗,從而在新的情境中進行知識遷移,理解并掌握新概念,提高思維層次,提升數學素養.

本課教學中,學生在學習數列前,已學習了函數及其研究方法的知識體系,因此,在設計數列的教學過程中,引導學生類比函數,基于函數這個大概念,從按照數列的現實背景——數列的概念(定義、表示)——數列的性質——特殊數列——數列應用等方面去研究數列.

總之,要給學生一碗水,教師必須要有一桶水.授課前,教師必須要熟知學生的認知、理解課堂生成、讀懂學生“困惑”,才能更好地理解“學”與“教”的關系,這樣的課堂才會碰撞出更多精彩的知識生成,使教學更有實效,學生真正做到想學、愛學.