等邊三角形旋轉下的兩個優美恒等式及延申

安徽省壽縣第一中學 梁昌金 (郵編:232200)

1 兩個優美恒等式

問題1如圖1,將等邊三角形△ABC任意旋轉一個方向后得△DEF,AB與DE,DF交于點G,H,BC與DF,EF交于點M,N,CA與EF,DE交于點K,L,則

圖1

(1)GL2+HM2+NK2=KL2+GH2+MN2;

(2)GL+HM+NK=KL+GH+MN.

證明(1)由條件△ABC≌△DEF,

又S△ABC-S六邊形GHMNKL=S△AGL+S△BMH+S△CNK,

S△DEF-S六邊形GMLKIH=S△DGH+S△FMN+S△EKL,

所以S△AGL+S△BMH+S△CNK=S△DGH+S△FMN+S△EKL.

易知△AGL∽△DGH∽△BMH∽△FMN∽△CKN∽△EKL,

①

所以

從而GL2+HM2+NK2=KL2+GH2+MN2.

(2)設GL+HM+NK=x,KL+GH+MN=y,AB=DE=a.

因為△EKL∽△AGL,

因為△FMN∽△AGL,

因為△DGH∽△AGL,

②

由△EKL∽△CKN,△FMN∽△CKN,△DGH∽△CKN,同理得

③

由△EKL∽△BMH,△FMN∽△BMH,△DGH∽△BMH,同理得

④

由②③④得

所以x(3a-x)=y(3a-y),則(x-y)(x+y-3a)=0,

又x=GL+HM+NK<(AG+AL)+(BM+BH)+(CK+CN),所以

x+y<(AG+GH+BH)+(BM+MN+CN)+(CK+KL+AL)=3a,

所以x=y,即GL+HM+NK=KL+GH+MN.

2 兩個推論

條件同問題1,得到:

推論2GL·HM+HM·NK+NK·GL=KL·MN+MN·GH+GH·KL.

簡證由問題1,知GL2+HM2+NK2=KL2+MN2+GH2,GL+HM+NK=KL+MN+GH.

則(GL+HM+NK)2-(GL2+HM2+NK2)=(KL+MN+GH)2-(KL2+MN2+GH2),

整理即得GL·HM+HM·NK+NK·GL=KL·MN+MN·GH+GH·KL.

3 “褪去”特征,由等到不等

等邊三角形、全等是△ABC,△DEF的特征,“褪去”這個特征,筆者得到下面優美不等式.

問題2如圖2,已知I是△ABC的內心,AI,BI,CI分別交△ABC外接圓于點F,E,D,AB與DE,DF交于點G,H,BC與DF,EF交于點M,N,CA與EF,DE交于點K,L.

圖2

求證HG+LK+NM≥GL+KN+MH.

因此△AGL是等腰三角形,AI垂直平分GL,設AI和GL交于點P.

由△DQG∽△APG,得

所以HG=QG+QH

通過研討發現△DEF對比△ABC是一種遞增的三角形序列(面積增加、周長增加),這是否是問題2結論的本質?對于三角形重心、垂心、外心按相同的方式生成的△DEF是否有類似于問題2的結論,留給有興趣的讀者繼續研討.