求解逆混合變分不等式問題的動力系統方法

羅馨緣,張 歡,馮世強

(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637009)

變分不等式對于研究經濟、管理和工程中出現的各種網絡均衡問題具有重要作用。變分不等式的一個重要推廣就是混合變分不等式(MVI),這一不等式由Lescarret[1]和Browder[2]提出,相繼被眾多學者研究應用。2002年,Konnov和Volostkaya[3]考慮了一般經濟均衡問題和寡占均衡問題,這又被表述為混合變分不等式問題。隨后,Wu和Huang[4-6]在Banach空間引入一種新的廣義f-投影算子用來解決混合變分不等式問題。2006年,He等[7]首次提出了逆變分不等式,并將逆變分不等式應用于經濟學中的市場均衡問題[8]。此外,在交通、電信網絡問題中的一些規范問題也可以用逆變分不等式來解釋[9-10]。He和Liu[11]提出了一種新的基于投影的求解逆變分不等式問題的方法,其中映射F在約束集上是余強制的。逆變分不等式的一個重要有用的推廣稱為逆混合變分不等式(IMVI)。2013年,Li等[12]在Hilbert空間背景下引入一個新的逆混合變分不等式,構造一個涉及廣義f-投影算子的求解逆混合變分不等式的迭代算法。

本文目的有2個:首先在強單調和Lipschitz連續性的假設條件下,根據廣義f-投影算子性質,研究了具有某種壓縮映射的逆混合變分不等式問題解存在唯一的充分條件。進一步地,通過考慮一個動力系統來求解逆混合變分不等式問題,并且證明在強單調和Lipschitz連續性的條件下該動力系統均衡點是全局指數穩定性。

1 預備知識和基本概念

〈x′-Ax,x〉+g(x′)-g(Ax)≥0, ?x′∈M,

(1)

式中:ri domM∩ri domg≠?,QIMVI(A,g)的解集表示為Sol(A,g),這里ri表示相對內部,dom表示有效域。

(2)

(3)

若ri domF1∩…∩ri domFm≠?,則(3)式中的反包含關系成立。

2 解的存在性和唯一性

(4)

其中arg min表示使目標函數取最小值時的變量值,由于yG(x,y)在n上是凸的,則對于每一個x∈M和λ>0,(4)式是一個強凸問題,因此它有唯一解。 因而φλ是良定的且在M上只有一個值。

證明充分性:令Ax*=φλ(x*),則Ax*是(4)式的一個解,Ax*∈M且由引理1和引理2可得0∈λ?G(x*,Ax*)+Ax*-Ax*+NM(Ax*),即0∈λ?G(x*,Ax*)+NM(Ax*)。 所以,存在z∈?G(x*,Ax*),使得0∈λz+NM(Ax*)。 因此,由法錐的定義可知,對任意的y∈M,〈-λz,y-Ax*〉≤0,即

〈z,y-Ax*〉≥0,?y∈M。

(5)

又由于z∈?G(x*,Ax*),則對任意的y∈M,

G(x*,y)-G(x*,Ax*)≥〈z,y-Ax*〉。

(6)

又由G(x*,Ax*)=0,結合(5)式、(6)式得G(x*,y)≥〈z,y-Ax*〉≥0。因此,對于任意的y∈M,G(x*,y)≥0,即x*是QIMVI(A,g)的一個解,x*∈Sol(A,g)。

必要性:設x*∈Sol(A,g),令y*=φλ(x*),則y*是(4)式的一個解,所以由引理2可以得到0∈λ?G(x*,y*)+y*-Ax*+NM(y*),則存在s∈?G(x*,y*),使得0∈λs+y*-Ax*+NM(y*)。又因為s∈?G(x*,y*),則對y*∈M,G(x*,Ax*)-G(x*,y*)≥〈s,Ax*-y*〉。且由法錐的定義可知,對任意的y∈M,有〈Ax*-y*-λs,y-y*〉≤0。 又因為Ax*∈M,則在上式中令y=Ax*可以得到‖Ax*-y*‖2-〈λs,Ax*-y*〉≤0,即‖Ax*-y*‖2≤λG(x*,Ax*)-λG(x*,y*)=-λG(x*,y*)。 又因為x*∈Sol(A,g),所以Ax*∈M,G(x*,y*)≥0,則‖Ax*-y*‖2≤0。 且‖Ax*-y*‖2≥0,所以‖Ax*-y*‖=0,因此Ax*=y*=φλ(x*)。

備注1考慮G(x,y)=〈y-Ax,x〉+g(y)-g(Ax),其中Ax∈domg,則(4)式變為

定理2令A∶H→H是L-Lipschitz連續和γ-強單調,且存在λ>0,使得

則τ是帶壓縮系數的壓縮映射,從而逆混合變分不等式問題QIMVI(A,g)有唯一解。

證明對任意的x,y∈H有

≤‖x-y-(Ax-Ay)‖+‖Ax-Ay-λ(x-y)‖。

(7)

又因為A是關于系數γ強單調的,則

〈x-y,Ax-Ay〉≥γ‖x-y‖2,

(8)

且A是關于L的Lipschitz連續,則

‖Ax-Ay‖≤L‖x-y‖,

(9)

所以由(8)(9)式可得

‖x-y-(Ax-Ay)‖2=‖x-y‖2-2〈x-y,Ax-Ay〉+‖Ax-Ay‖2

≤‖x-y‖2-2γ‖x-y‖2+L2‖x-y‖2

=(1-2γ+L2)‖x-y‖2。

(10)

同理可得

‖Ax-Ay-λ(x-y)‖2=‖Ax-Ay‖2-2λ〈Ax-Ay,x-y〉+λ2‖x-y‖2

≤L2‖x-y‖2-2λγ‖x-y‖2+λ2‖x-y‖2

=(L2-2λγ+λ2)‖x-y‖2。

(11)

3 動力系統

回顧以往的一般動力系統均衡點穩定性的概念

(12)

‖x(t)-x*‖≤μ‖x(0)-x*‖e-ηt,?t≥0。

(13)

此外,稱x*是全局指數穩定,如果(13)式對(12)式的所有解x(t)都成立。

因此,為了求解逆混合變分不等式問題QIMVI(A,g),考慮如下形式的動力系統

(14)

式中:β>0,Ax(t)∈domg。

若定理2的條件都滿足,則逆混合變分不等式有唯一解。由定理1和定理2及動力系統(14)的定義形式可知,x*是它的唯一均衡點。

〈y-Ax*,x*〉+g(y)-g(Ax*)≥0,

因此

〈y-Ax*,λx*〉+λg(y)-λg(Ax*)≥0。

(15)

由引理3(ii)可知,對?z∈M有〈y-Ax(t)+λx(t),z-y〉+λg(z)-λg(y)≥0,

令z=Ax*∈M代入上式不等式中則

〈y-Ax(t)+λx(t),Ax*-y〉+λg(Ax*)-λg(y)≥0。

(16)

所以由(15)(16)式相加可得〈y-Ax*,λx*-λx(t)-y+Ax(t)〉≥0,等價于〈Ax(t)-Ax*+y-Ax(t),Ax(t)-y-λ(x(t)-x*)〉≥0。因此,

λ〈y-Ax(t),x(t)-x*〉≤-‖Ax(t)-y‖2-λ〈Ax(t)-Ax*,x(t)-x*〉+〈Ax(t)-Ax*,Ax(t)-y〉。

又因為A是關于γ-強單調和L-Lipschitz連續,然后由Cauchy-Schwarz不等式可得

λ〈y-Ax(t),x(t)-x*〉≤-‖Ax(t)-y‖2-γλ‖x(t)-x*‖2+〈Ax(t)-Ax*,Ax(t)-y〉

≤-‖Ax(t)-y‖2-γλ‖x(t)-x*‖2+‖Ax(t)-Ax*‖‖Ax(t)-y‖

≤-‖Ax(t)-y‖2-γλ‖x(t)-x*‖2+L‖x(t)-x*‖‖Ax(t)-y‖

所以

(17)