基于二元相關的器件級可靠性建模與剩余壽命預測研究

景博 焦曉璇 胡家興 黃以鋒 孟向臻

（1 空軍工程大學航空工程學院，西安 710038；2 空軍航空大學，長春 130000）

0 引言

器件作為部件及設備的主要組成部分，特別是關鍵核心器件，例如CPU、電源模塊等，其可靠性及健康狀態對設備功能完好性及任務可靠性具有重大影響[1-3]。一些器件在服役過程中，受到復雜應力的影響，通常表現出多方面的退化，例如結構裂紋擴展、電流增大、接觸溫度升高等[4-6]。不同性能參數之間相互影響、相互關聯，基于單一性能退化的可靠性建?；蚝雎孕阅軈抵g的相關關系，通常具有片面性，不能全面地評估器件的狀態和退化。

當前，針對二元性能退化參數的聯合建模方法主要有共同因子、相關系數和Copula 函數三種。其中共同因子和相關系數主要針對兩性能參數之間的線性相關關系，能夠推導出聯合模型的具體數學表達式。而Copula 函數可以描述兩性能參數之間的非線性相關性，并且對性能參數的邊緣分布沒有具體的要求，因此得到了大量的應用與研究[7-9]。Wang 等[10,11]提出了兩元Wiener 過程退化模型，通過時間尺度轉換將退化過程線性化，并利用FrankCopula 函數描述兩性能參數之間的相關性。Zhang 等[12]利用FrankCopula 函數聯合退化數據和壽命數據對衛星鋰電池的壽命進行了評估。Chen 等[13]提出了利用FrankCopula 函數描述Wiener 過程和IG 過程作為邊緣分布的模型。Peng等[14]提出了利用高斯Copula 函數連接兩IG 過程的二元模型，并應用于重型機床。周源等[15]利用多個Copula 函數描述了繼電器接觸電阻和釋放電壓之間的關聯，比較了不同Copula 函數的效果。目前，大部分的研究主要集中在特定類型的二元模型，例如Wiener 過程與Frank Copula 函數，應用具有局限性。

本文在分析了眾多研究后，綜合各自的特點和優點，提出基于Copula 函數的二元性能退化聯合建模的流程和方法，將聯合建模分解為邊緣退化模型選擇與確定和性能參數之間關聯性的構建兩部分。同時，基于卡爾曼濾波方法，提出二元性能退化的剩余壽命預測方法，并結合焊點失效試驗數據進行可靠性建模和剩余壽命預測。

1 模型的建立與推導

1.1 基于Copula 函數的多性能參數可靠性建模

由于性能參數特點的不同，性能參數可能服從不同的隨機過程。當前隨機過程的主要形式有Wiener 過程、Gamma 過程和IG 過程。根據是否考慮隨機效應和測量誤差又可分為固定效應、考慮隨機效應和考慮隨機效應與誤差的模型。假定y ij(t)表示第i個樣本的第j個性能參數在t時刻的測量值，i=1,2,…N，j=1,2,…M，每個樣本的測量點數為K。令

根據隨機過程的定義可知，可通過增量Δy ij(t k)=t ij(t k) -t ij(t k-1)確定退化模型類型。因此多元的基于Copula 函數可靠性模型可以表示為

其中C(·)為Copula 函數，代表各性能參數的聯合分布，F j(Δy ij(tk))為性能參數的邊緣分布，θ cop和分別為Copula 函數參數和邊緣分布參數。邊緣退化模型為Wiener 過程，Gamma 過程和IG 過程，可表示為

當邊緣退化模型確定后，便可推導出相應的邊緣分布函數。在式（2）中通常利用幾種常用的Copula 函數構建性能參數之間的相關性，例如阿基米德Copula 函數。而單個性能參數的邊緣退化模型則可為式（3）中的任一隨機過程模型。其中ΔΛj(tk|γj)=Λj(tk|γj) -Λj(t k-1|γj)表示時間間隔的非線性轉換，用于處理性能退化過程的非線性問題，常用的形式有冪函數和對數等?；诖?，便可對二元性能參數的退化過程進行描述。假如一個二元退化的邊緣退化模型互不相同，分別為Wiener過程和Gamma 過程，則該模型可以表示為

其中，δ為Copula 函數系數。性能參數1 的退化模型為Wiener過程，a1,β1為漂移參數和擴散參數。性能參數2 的退化模型為Gamma 過程，a2,β2分別為形狀參數和尺度參數。γ1,γ2分別為兩個退化模型的時間尺度轉換系數。

1.2 二元相關的可靠性建模

在多性能參數的系統中，當性能參數之間不相互獨立，其系統可靠性由性能參數的聯合分布決定。Copula 函數只需要通過性能參數的邊緣分布便能構建聯合分布，因此引入Copula 函數可以直接、靈活地建立系統聯合分布函數。

假設有M個性能參數的退化系統在時刻t的性能參數為Y(t)=(Y1(t),Y2(t),…Y M(t))T，邊緣可靠度為R(t)=(R1(t),R2(t),…RM(t))T，M≥ 2，則系統的可靠度滿足以下兩個特點

1）串聯系統

2）并聯系統

針對二元系統，其可靠度為

1）串聯系統

2）并聯系統

2 二元相關系統建模方法及流程

根據上面的推導可知，二元相關系統的可靠性建模主要包括邊緣退化建模與聯合分布構建。當利用式（2）建立系統聯合分布函數時，其對數似然函數為

由于似然函數較為復雜，難以利用最大似然估計直接估計參數。然而，對數似然函數中的兩個主要部分相互分離，因此可分別對兩部分的參數進行估計。二元系統的可靠性建?？煞譃槿剑?）邊緣分布參數估計與模型選擇；2）Copula 函數的參數估計與選擇；3）系統模型的構建與評估。主要流程如圖1 所示。

圖1 二元系統可靠性建模流程Fig.1 Binary system reliability modeling process

選擇合適的邊緣分布對系統的可靠性建模至關重要，由于隨機過程模型能夠較好地描述多種不確定性，并且可結合相關物理模型，因此從幾種常用的隨機過程模型中選擇合適的邊緣退化模型。樣本值的概率積分變化是Copula 參數估計中的重點和難點，需將樣本值從樣本空間映射到0到1 的均勻分布，通常利用邊緣分布概率函數作為概率積分變換函數[16]。

2.1 模型的選擇與確定

模型的選擇主要包括邊緣退化模型和Copula函數的選擇。為了更好地描述各性能參數的邊緣分布，從四種隨機過程模型中進行擇優選擇。1）考慮隨機效應和測量誤差的Wiener 過程（WNME）；2）考慮隨機效應的Wiener 過程（WNRom）；3）固定效應的Wiener 過程（WNFE）；4）Gamma 過程（Gam）。為了描述性能參數退化過程中的非線性，引入時間尺度轉換 Λ(t;γ)=tγ。由于線性過程為非線性的一種特例γ=1，因此備選的邊緣分布如表1 所示。

表1 備選邊緣分布模型Table 1 Alternative edge distribution model

2.2 貝葉斯推理

本節通過貝葉斯MCMC 方法實現邊緣分布參數和Copula 函數的參數估計。首先進行邊緣分布參數估計，根據貝葉斯定理，可知邊緣分布參數的后驗分布為

為了實現參數的推理，利用R 軟件中的R2OpenBUGS 調用Open BUGS 進行后驗分布推理及采樣，從而實現參數的估計。

2.3 可靠度計算

二元相關系統的可靠度計算較一元退化系統和獨立系統復雜。文獻[17-20]中都涉及到二元相關模型的可靠度計算，共有兩種計算方法。

1）利用邊緣退化模型在時刻t的可靠度R1(t)和R2(t)作為Copula 函數C(u,v)的輸入進行計算。

2）利用二元相關模型，結合蒙特卡洛方法，模擬仿真兩個性能參數的退化軌跡，并統計系統可靠度。文獻[20]中指出第一種方法的處理方式不正確，因為估計Copula 參數時，是利用增量的概率作為輸入而非退化的值。雖然Pan 等[17]指出在擴散系數較小時這種方法可作為一種近似，但是并非所有邊緣模型的擴散系統都較小，因此這種方法具有一定的局限性。本文主要利用蒙特卡洛的方法計算系統可靠度，主要有兩方面的考慮。（1）該方法適用性較廣，不受邊緣退化模型擴散系數的約束。（2）便于計算系統可靠度，可直接根據各性能參數或產品之間的連接關系（串聯或并聯）進行計算，特別是在多元的情況下。

基于蒙特卡洛的二元系統可靠性計算主要分三步

1）利用Copula 函數隨機生成[0,t]時間段內的樣本概率點，樣本點的個數一般取105。

2）利用Copula 產生的概率點，結合邊緣退化模型生成各性能參數樣本。

3）統計各性能參數未達到失效閾值的概率，并根據連接關系計算系統可靠度。例如，當兩性能參數為串聯時，計算兩性能參數同時未達到失效閾值的概率，如圖2 中所示兩失效閾值與坐標軸形成的矩形內樣本的概率，而非分別計算后再相乘。因為這兩性能參數之間具有相關性，分開計算時忽略了兩種性能之間的相關性。逐步分別計算不同時刻t的可靠度，便可得出二元相關系統隨時間變化的可靠度曲線。如圖3 所示為二元系統的實時可靠度計算流程。

圖2 蒙特卡洛計算可靠度—串聯計算方法Fig.2 Monte Carlo reliability calculation-series calculation

圖3 二元系統實時可靠度計算流程Fig.3 Real time reliability calculation process for binary systems

2.4 剩余壽命預測

假設產品在時刻t k未發生失效，則第i(i=1,2)個性能參數的歷史退化數據為Yi,1:k=(Y i(t1),Yi(t2),…,Yi(tk))T，則Yi(t k+l)-Yi(tk)與Yi(t)具有相同的形式，即當X i(t)為Wiener 過程時，Y i(t k+l) -Yi(tk)依舊為Wiener 過程；當Yi(t)為Gamma 過程時，Yi(t k+l) -Yi(t k)依舊為Gamma 過程。

當Yi(t)為Wiener 過程時，

當Yi(t)為Gamma 過程時，

即隨機過程Wi(l)首次達到閾值Dk=DYi(t k)的時間。此時，二元相關系統的剩余壽命預測與初始時刻的壽命估計類似，利用更新后的實時邊緣退化模型，結合系統Copula 函數計算實時可靠度曲線，再利用實時可靠度曲線估計剩余壽命。

退化模型更新時，如果邊緣退化模型為Wiener 過程，可利用卡爾曼濾波算法結合狀態空間模型根據監測數據對退化模型進行更新。如果邊緣退化模型Gamma 過程，則利用貝葉斯方法進行更新。更新過程中，利用離線建立的退化模型作為初始條件或先驗信息。

在更新退化模型并計算系統實時可靠度曲線后，便可通過下式對系統的剩余壽命進行估計

3 芯片試驗數據應用

3.1 芯片可靠性建模

芯片作為電子設備的重要組成部分，其故障與失效將會導致整個電子設備功能故障。一個芯片通常由多個焊點結構組成，每個焊點結構的損傷都可能引發整個芯片的故障。為了評估芯片可靠性，試驗過程中對芯片高應力區的焊點進行了監測。芯片的高應力區通過有限元仿真確定。本節利用芯片高應力區內兩個焊點結構的充電時間數據進行芯片可靠性建模。首先對焊點數據進行平滑濾波，然后提取50%中位數作為特征量。試驗條件為恒溫75℃，正弦振動幅值為1g，頻率為300Hz。如圖4 所示分別為兩個焊點結構的一個樣本。而圖4(a)為焊點結構充電時間數據提取的特征量，樣本量N=4。圖4(b)為兩特征量增量的散點圖，它們之間的相關性參數τ=0.16，表明在建模過程中應該考慮它們之間的相關性。

以該兩焊點結構充電時間的特征量作為芯片的性能參數，建立芯片的二元相關可靠性模型。根據二元相關系統建模流程，采用二步法進行可靠性建模。首先，結合DIC 準則，分別選擇確定兩個特征量的最優邊緣退化模型，并利用MCMC算法估計模型參數。然后，從備選的Copula 連接函數中選擇合適Copula 函數，并估計其參數。最后，結合邊緣退化模型和Copula 函數建立二元相關可靠性模型。兩個特征量邊緣退化模型的估計結果如表2 所示。由于充電時間的特征量不服從Gamma 過程的性質，因此只從三個Wiener 過程中選擇邊緣退化模型。結果顯示，在三個邊緣退化模型中，WNME 模型的DIC 值最小，因此選擇WNME 作為兩個特征量的邊緣退化模型。如表3 所示為焊點結構兩個特征之間Copula 函數的估計結果。從表中可知，在五個備選Copula 中，FrankCopula 函數的DIC 值最小，因此確定其作為兩個特征量之間的相關性函數，這與圖5（b）中顯示的兩個特征量之間的相關特點相符。焊點結構兩個時段內特征量增量的等高線如圖6 所示，圖中顯示兩特征量增量之間的等高線形狀隨時間沒有發生變化，而相同時間內兩個特征量增量的幅值隨時間增大。

表3 焊點結構的Copula 函數參數估計結果Table 3 Parameter estimation results of Copula function for solder joint structure

圖6 兩特征量增量的等高線Fig.6 Contour lines with two feature increments

假定焊點結構兩個特征量的失效閾值為Df1=Df2=10ms，則根據邊緣退化模型與二元相關模型，可分別計算單個特征量及兩個特征量相聯合的可靠度函數。如圖7 所示為該芯片可靠函數，分別列出了單個特征量的可靠度函數、兩特征量相互獨立的可靠度函數以及基于Copula 函數的二元相可靠度函數。圖中顯示，同時考慮兩個特征量的芯片可靠度低于只考慮單個特征量的可靠度。另外，當認為兩特征量之間相互獨立時會低估芯片的可靠度，因此在建模過程中，應該考慮兩特征量之間的相關性。

3.2 芯片剩余壽命預測

通過對芯片進行二元相關性建?？芍?，兩個性能參數的邊緣退化模型都為WNME 模型。在剩余壽命預測的過程中，利用卡爾曼濾波結合狀態空間模型對邊緣模型中的參數進行更新。如圖8 所示為芯片的兩個性能參數退化過程，將利用該兩性能參數進行剩余壽命預測。

圖8 芯片的兩個性能參數Fig.8 Two performance parameters of the chip

令兩個性能參數的失效閾值分別為D1=7.6ms 和D2=7.7ms，如圖9 所示為兩個性能參數每間隔0.3h的剩余壽命預測結果。圖中顯示，兩個性能參數的剩余壽命預測值與真實值接近，具有較好的預測結果。

圖9 兩特征量的剩余壽命預測Fig.9 Residual life prediction of two characteristic quantities

另外，在邊緣退化模型根據實時監測參數更新后，聯合Copula 函數對芯片的實時可靠度進行估計，并預測剩余壽命，如圖10 所示為剩余壽命預測結果。在退化過程中，壽命預測值與真實值接近，在各個監測點略小于真實值，即低估真實壽命，但都具有較好的預測效果。同時圖中也列出了兩個性能參數獨立時的剩余壽命預測中，通過比較可以發現，考慮兩性能參數之間的相關關系時具有更好的預測效果。

圖10 芯片剩余壽命預測Fig.10 Prediction of chip remaining life

4 結論與展望

作為電子設備重要組成部分，器件可靠性對電子設備的功能完好性具有重大影響，特別是部分關鍵器件。本文以具有兩個性能參數的芯片為研究對象，在考慮兩性能參數之間相關性的基礎上，建立了基于隨機過程模型和Copula 函數的二元相關可靠性模型，明確了邊緣退化模型和Copula 函數的選擇與確定原則。同時，基于MCMC，提出了邊緣退化模型參數和Copula 函數參數估計方法，并結合實時監測數據，基于邊緣退化模型的在線更新，提出了二元相關的剩余壽命預測方法，主要結論如下

1）通過分別詳細分析和討論邊緣退化模型及Copula 函數失配對二元相關模型的影響，結果表明，Copula 函數失配導致的偏差較大，而邊緣退化模型只有在退化速率隨時間下降時才會導致較大的偏差。另外，也分析了DIC 準則用于邊緣退化模型和Copula 函數選擇與確定的有效性。結果顯示，DIC 準則能夠較好地用于邊緣模型和Copula 函數的選擇與確定，并且隨著樣本量越大，效果越好。

2）利用焊點結構的充電數據對本文提出的二元相關模型進行擬合及驗證，結果顯示，該二元相關可靠性模型能夠較好地描述兩特征量之間的相關性及其隨時間變化的特性。通過比較不同情況下器件可靠度函數可知，只考慮一種性能參數或認為兩種性能參數相互獨立都會導致器件可靠度估計時出現偏差。

3）利用一組芯片數據進行了剩余壽命預測分析，結果表明，基于Copula 函數的可靠性模型能夠較好地預測芯片在退化過程中的剩余壽命。與不考慮性能參數之間相關性時相比較，考慮相關性的聯合模型能更準確地預測焊點結構在各個監測點的剩余壽命。