利用多普勒效應測量小車運動加速度和滑動摩擦系數

張 瑜,陳曉平

1.虎山中學，廣東 梅州 514200

2.石門高級中學，廣東 佛山 528225

多普勒效應是指當聲源與觀察者之間存在相對速度時，接收頻率與源頻率比會發生改變，也稱為頻移。多普勒效應在日常生活中的應用非常廣泛，包括道路測速、醫學彩超、天體觀察等方面。不少學者對于多普勒效應的應用進行實驗研究，包括利用多普勒效應測量聲速、重力加速度、滑動摩擦力與相對速度的關系以及驗證牛頓第二定律［1－4］等。這些學者在進行實驗研究時，都是從接收頻率與速度的關系或者接收頻率與時間的關系對聲速、重力加速度、滑動摩擦力進行測量。隨著科技的進步和智能手機的普及，傳感器越來越廣泛地被應用到物理實驗中。

本文經過理論分析提出一種新的實驗方法，結合Spaichinger Schallanalysator 軟件，從頻移隨時間的變化出發，測量物體做勻加速直線運動的加速度和滑動摩擦系數。

1 一維聲學多普勒效應的簡介

多普勒效應中頻率發生變化是由于有效波速或波長發生了變化。當波源以速度vs靠近或遠離靜止的觀察者時，由于觀察者與介質相對靜止，波在介質中傳播的速度就是波相對于觀察者的速度v［5］，即有效波速不變，而有效波長為λ＇＝λ?vsT，于是觀察者聽到的頻率為：

2 實驗方案設計

2.1 實驗儀器介紹

小車，軌道，一部智能手機，藍牙音箱，iPad，麥克風，攝像機，實驗室溫度計，數字水平儀。

2.2 實驗軟件介紹

頻率發生器，Spaichinger Schallanalysator，Tracker，Origin，Excel。

2．2．1 頻率發生器軟件

頻率發生器是一款可以發出特定頻率聲波的軟件，其輸出的頻率范圍為1 Hz～22 000 Hz，包括次聲波、人耳聽覺范圍的聲波以及超聲波。頻率發生器可以發出特定頻率的聲波，經常被應用于聲學實驗，其中包括頻率是音調的主要影響因素演示實驗、共振實驗、聲學多普勒效應實驗等。

頻率發生器的操作界面如圖1 所示，界面簡潔，在使用的時候只要輸入目標頻率再點擊“開始”按鈕，就可以得到特定頻率的聲波，簡單便捷。

圖1 頻率發生器使用界面

2．2．2 Spaichinger Schallanalysator 軟件

Spaichinger Schallanalysator 是Markus Ziegler為物理聲學實驗專門設計開發的免費軟件，在iOS 系統可以免費下載使用。

用戶打開該軟件后，點擊“star”，可自主選擇0.186 s（點擊“Messung schnell”）或0.930 s（點擊“Messung langsam”）的采樣率（圖2），軟件會根據采樣率實時測量聲壓級、聲壓和頻率。以測量聲音的頻率為例，在測量的過程中屏幕會實時顯示聲音的頻率（圖3），測量結束后，點擊“stop”鍵，進入操作界面，點擊“Schallpegelwerte senden”鍵（圖4），可以輸出CSV 文件（圖5）。

圖2 采樣率選擇使用界面

圖3 頻率顯示界面

圖4 輸出CSV 文件使用界面

圖5 CSV 文件部分數據圖

2．2．3 Tracker 軟件

Tracker 軟件可以對物體運動的片段視頻逐幀進行分析，追蹤物體的運動軌跡，并輸出其在每個時刻的運動信息，圖6 為其軟件界面。

圖6 Tracker 軟件使用界面

Tracker 軟件有以下兩大優勢：①設置方式人性化且精確：根據實際尺度設置比例標度；可自由設置原點的位置；可根據需要對坐標系、定標尺以及定標桿的方向進行旋轉。②Tracker 軟件還提供了強大的數據采集和動態分析功能：可手動或自動跟蹤目標的運動軌跡；可定量分析質點在特定時刻的運動位移、運動速度、運動加速度等，輸出所需要的數據表格或圖像［6］。

2.3 實驗原理

當小車在傾斜角為θ 的斜面軌道上做勻加速直線運動時，其受力分析如圖7 所示。將重力沿著平行斜面和垂直斜面的方向進行分解：

圖7 小車在斜面軌道上的受力分析圖

Gx=mgsinθ

Gy=mgcosθ

f=μmgcosθ

小車在斜面上做勻加速直線運動的加速度為：

根據一維聲波多普勒效應

令X0=0，展開到一階：

小車在做勻加速直線運動的過程中，繪制頻率的變化量Δf（t）曲線，該曲線的斜率k1與加速度a 的關系

由此可以得到加速度的實驗值。繪制（2）式的圖像，該圖像的斜率k2就是滑動摩擦系數的理論值。

2.4 實驗內容

（1）將小車的運動視頻導入Tracker 軟件，分析小車的位移和速度隨時間的變化情況，得到小車運動加速度的實際值。

（2）當傾斜角度不同時，測量當聲源分別發出13 000 Hz 聲波時靠近靜止觀察者時頻移隨時間的變化，繪制Δf-t 圖像并進行擬合，通過斜率k1計算加速度，并與實際值進行比較。

（3）繪制（2）式的圖像并進行擬合，通過斜率k2計算滑動摩擦系數。

2.5 實驗步驟

（1）如圖8 和圖9 所示，將藍牙音箱固定在小車上，調節軌道呈合適的傾斜角，使小車在軌道上做勻加速直線運動，利用數字水平儀測量軌道的傾斜角θ。

圖8 聲源勻加速靠近觀察者實驗裝置示意圖

圖9 聲源勻加速靠近觀察者實驗裝置實物圖

（2）在軌道底端放置與藍牙音箱正對的麥克風，麥克風與運行Spaichinger Schallanalysator 軟件的iPad 連接，作為觀察者。

（3）調節好攝像機高度，方便攝像機把小車整個運動過程都錄下來，打開攝像機，使之呈錄制狀態。

（4）打開手機上的頻率發生器軟件，將小車與音箱通過藍牙連接，讓音箱發出13 000 Hz 的聲波。

（5）通過實驗室溫度計記錄室內溫度。

（6）讓小車從軌道頂端由靜止開始向軌道底端運動，釋放小車的同時打開iPad 的Spaichinger Schallanalysator 軟件開始測量聲音頻率。當小車運動到軌道底端的同時，關閉Spaichinger Schallanalysator 軟件，停止測量，關閉攝像機，停止錄制。

（7）改變軌道的傾斜角θ。

（8）重復（1）—（6）步驟。

3 實驗結果和分析

將視頻導入Tracker 軟件，得到小車在4 個不同傾斜角上做勻加速直線運動時位移隨時間變化的擬合曲線以及加速度實際值：

s1=0.033 6t2-0.061 5t+0.098 7（傾角θ=2.30°）

s2=0.102 7t2+0.053 6t+0.069 2（傾角θ=3.46°）

s3=0.228 5t2+0.005 2t+0.105 1（傾角θ=4.60°）

s4=0.352 0t2+0.026 8t+0.106 8（傾角θ=6.00°）

a1=0.067 2 m/s2（傾角θ=2.30°）

a2=0.205 4 m/s2（傾角θ=3.46°）

a3=0.457 0 m/s2（傾角θ=4.60°）

a4=0.704 0 m/s2（傾角θ=6.00°）

圖10 所示為小車在不同傾斜角軌道上運動時頻移隨時間變化圖像和擬合圖像。當傾斜角分別為2.30°，3.46°，4.60°，6.00°時，頻率隨時間擬合圖像的斜率依次為：2.615 7，7.916 0，16.993 1，26.286 5。軌道的傾斜角越大，小車運動的加速度越大；速度隨時間的變化越大，頻移隨時間的變化量也越大。這與理論一致。

圖10 聲源在不同傾斜角的軌道靠近觀察者時頻移隨時間變化圖像及擬合圖像

實驗在溫度為21 ℃時進行，聲波在空氣中的傳播速度為

當θ=3.46°時，將頻率隨時間變化的數據導出，并計算出每個時刻頻率的變化量，如表1 所示。將頻移隨時間變化曲線的斜率代入（4）式，得到小車在4 個軌道傾斜角上做勻加速直線運動的實驗值，并與理論值進行比較，如表2 所示。

表1 θ=3.46°時接收頻率隨時間的變化數據表

表2 加速度實驗值與理論值比較分析表

從表中可以得到，利用一維聲學多普勒效應可以測量小車運動的加速度，誤差不超過±3.4 %，且當傾斜角度越大，小車加速度越大，誤差越小。這是因為當小車運動速度越大，頻移越大，頻率的測量值更準確。

將加速度實驗值代入（2）式，得到表3。將以上數據繪制圖像并進行擬合，如圖11 所示，該直線是k2<0 的一次函數，與（2）式一致。該擬合直線的表達式為

表3 -cotθ 數據表

表3 -cotθ 數據表

傾斜角（θ/°）a gsinθ?cotθ 2.300.1724.90 3.460.3616.59 4.600.5812.43 6.000.699.52

圖11 -cotθ 圖像及擬合圖像

y=-0.034 5x+0.992 4

R2=0.969 2

根據理論，該擬合直線的斜率為小車在軌道上的滑動摩擦系數：μ=0.034 5。

4 誤差分析

實驗的誤差主要來自以下幾個方面：

（1）環境的噪音對觀測頻率產生影響，導致實驗值在理論值附近波動。

（2）一維多普勒效應要求波源與觀察者的連線以及二者速度矢量在同一直線上［5］，但是實驗中聲源與觀察者有相對運動，音箱的揚聲器與麥克風難以絕對做到在同一直線上。

（3）根據理論，實驗要求聲源做初速度為0的勻加速直線運動。在實際實驗時，小車有微小的初速度，帶來誤差。

5 結束語

本文采用了攝像機對小車在軌道上做勻加速直線運動的實驗進行錄像，運用了Tracker 軟件對錄制的視頻進行數據處理，在Origin 軟件中對測量數據進行分析，利用Spaichinger Schallanalysator 軟件導出頻率隨時間的變化，繪制頻移隨時間變化的圖像，結合圖像的斜率信息，測量了小車在軌道上做勻加速直線運動的加速度和滑動摩擦系數。