滾動軸承徑向游隙可靠性設計

李軍星，寧世杰，邱 明

（1. 河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003； 2. 高端軸承河南省協同創新中心，河南 洛陽 471003）

滾動軸承是一種精密機械元件，在機械行業應用廣泛。其性能和可靠性會直接影響機械設備的工作性能、壽命及運行安全。影響滾動軸承壽命和可靠性的一個關鍵因素是其徑向游隙：若徑向游隙過小，會使軸承的摩擦力矩增大，進而產生摩擦熱，易引發軸承發熱而損壞；若徑向游隙過大，則會造成設備在運行過程中振動較大，從而導致軸承的使用壽命縮短。以往大多是根據軸承徑向游隙公差帶或者工程經驗來確定軸承徑向游隙的合理區間，導致誤差非常大。因此，滾動軸承徑向游隙的可靠性設計一直是機械設計領域研究的重點和難點。

已有很多學者開展了滾動軸承徑向游隙優化設計研究。如：李皓川等[1]在極變換的基礎上提出了一種選點的方法，結合稀疏響應面，對滾動軸承工作游隙極限狀態函數進行擬合，并基于有限元方法計算出工作游隙；鄭牧等[2]對軸承安裝后的徑向游隙減小量進行了分析和計算，推導了軸承的原始徑向游隙；邱明等[3-4]分析了軸承徑向游隙的變化對軸承剛度及疲勞壽命的影響，指出徑向游隙是影響軸承力學性能的關鍵指標；沈宇涵等[5]分析了圓柱滾子軸承徑向游隙對徑向剛度的影響；胡北等[6]考慮了軸承溫升、徑向載荷等因素的影響，分析并計算了軸承徑向游隙。然而，以上研究大多是通過修正經驗公式或仿真分析來確定滾動軸承徑向游隙的合理范圍，缺乏對滾動軸承整個部件可靠性的考慮。

針對產品的可靠性設計，應力-強度干涉模型在工程實際中已得到廣泛應用。如：Zhang等[7]研究了應力分布與強度分布之間的關系，引入條件可靠度的概念，建立了在單應力和多應力作用下的系統可靠性模型；Ali等[8]討論了形狀參數不同時應力和強度分別服從廣義Weibull分布以及對數正態分布時的應力-強度干涉模型，并對系統可靠性進行了評估；Wang等[9]建立了在應力和強度服從一定分布時可靠度的極大似然估計模型，并確定了可靠度置信區間；楊曉蔚[10]運用應力-強度干涉理論，在軸承壽命分布為Weibull分布的前提下，建立了評估可靠壽命的Weibull失效概率密度函數表達式和可靠度函數表達式；張先超等[11]推導了基于應力-強度干涉理論的可靠度計算公式，并提出了當應力和強度分別同時服從單參數和雙參數指數分布時的可靠度估計方法；伊梟劍等[12]提出了基于應力-強度干涉模型的可靠性設計方法，將火工品感度參數和外界刺激參數引入應力-強度干涉模型，來評估火工品的可靠性。

本文提出了一種基于應力-強度干涉模型的滾動軸承可靠性設計方法。首先，將軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙看作隨機變量，構建軸承二維隨機干涉模型；其次，針對工程中常用的軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙分布模型，推導了滾動軸承可靠性評估解析式和徑向游隙置信區間；最后，結合工程實例及現行國家標準，驗證本文方法的有效性和適用性。

1 滾動軸承徑向游隙可靠性設計模型

研究發現，滾動軸承游隙與軸承的多種失效模式密切相關，是影響軸承可靠性的重要因素[13]。根據大量試驗可知，由于在生產過程中加工、裝配等因素的影響，軸承原始徑向游隙呈隨機分布，而造成軸承失效的失效徑向游隙也因工作環境的影響而呈隨機分布。因此，本文引入應力-強度干涉模型。此處應力和強度的概念是廣義的，應力指影響零件性能和功能的各種環境因素，強度指零件抵抗應力的因素。軸承的原始徑向游隙會影響軸承所受應力的分布，而失效徑向游隙是軸承抵抗應力所導致的，因而，將原始徑向游隙X看作應力因素，失效徑向游隙Y看作強度因素，則軸承的可靠度R可以定義為[14]：

式中：P為概率值，f(x)為應力的概率密度函數，g(y)為強度的概率密度函數。

在給定軸承徑向游隙X時，可通過式(1)對軸承進行可靠性評估。

此外，由于工程中更關注軸承原始徑向游隙的設計，則根據式(1)，可以設計出在給定可靠度R下軸承原始徑向游隙XR：

同時，考慮到軸承原始徑向游隙的估計精確程度取決于樣本容量的大小，僅用點估計是不夠的，因此給出軸承原始徑向游隙的置信區間：

式中：下標l和u分別表示各參數值的下限與上限。

由此，可以對軸承的原始徑向游隙進行設計,使得該軸承的可靠性達到要求。

2 滾動軸承徑向游隙可靠性設計方法

軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙都是服從一定分布的隨機變量，可以通過試驗數據擬合得到，一般服從正態分布和對數正態分布的較多。本文分別討論軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙同時服從正態分布、對數正態分布、指數分布和Weibull分布（分別表示為正態分布-正態分布、對數正態分布-對數正態分布、指數分布-指數分布、Weibull 分布-Weibull 分布）時滾動軸承可靠性設計方法。

2.1 正態分布-正態分布

假設原始徑向游隙X服從正態分布，失效徑向游隙Y服從正態分布，其中μx、σx分別為X的均值和標準差，μy、σy分別為Y的均值和標準差，則X、Y的概率密度函數分別為：

令Z=Y-X，根據正態分布的加法定理可知，Z服從正態分布，且：

則式(1)可變換為：

令u=(z-μz)/σz，得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從正態分布時軸承的可靠度為：

式中：Φ(?)為標準正態分布函數。

根據式(1)可以得到在給定可靠度R下軸承的可靠度指標為：

因此，當軸承可靠度為R時可以設計出軸承原始徑向游隙：

在實際中，均值和方差是通過樣本統計分析獲得的，其精度由樣本容量決定，且僅用點估計是不夠的，因此進一步設計軸承原始徑向游隙的置信區間。

由于μx、μy、σx、σy也是隨機變量，根據隨機變量參數區間估計理論和區間數擴張原理，考慮了隨機變量參數估計區間后，式(8)可改寫為[15]：

由數理統計理論可知：

則在置信度為1-α下，μx的下限和上限為：

式中：Zα/2為標準正態分布的百分位點。

將式(13)代入式(8)，可得：

當樣本數量nx、ny足夠大時，可近似認為σx=Sx,σy=Sy，其中Sx、Sy分別為X、Y的樣本標準差。將Sx、Sy代入式(13)，可得軸承可靠度指標ZR的區間。

當樣本數量nx、ny不是很大時，(μy-μx)的下限和上限為：

式中：v為自由度。

取v為整數，則風險系數α′[15]為：

根據概率論與數理統計，可得：

進而可得：

將式(15)和(19)代入式(8)[15]，可得ZR的下限和上限為：

由式(8)、(9)、(11)、(20)可得當可靠度為R時μx的下限和上限為：

2.2 對數正態分布-對數正態分布

假設原始徑向游隙X服從對數正態分布，失效徑向游隙Y服從對數正態分布，其中μx、σx分別為X的對數均值和對數標準差，μy、σy分別為Y的對數均值和對數標準差，則X、Y的概率密度函數分別為：

根據式(1)可得：

式中：Z=lnY- lnX。

根據正態分布的加法定理可知，Z服從對數正態分布，且：

由于X和Y均服從對數正態分布，其對數形式服從正態分布，推導過程與2.1 節一致，這里不再贅述，只給出最終的原始徑向游隙估計區間。

由(21)式易知，當可靠度為R時μx的下限和上限為：

2.3 指數分布-指數分布

假設原始徑向游隙X服從指數分布E(μx)，失效徑向游隙Y服從指數分布E(μy)，其中μx、μy均為服從指數分布的一個參數，則X、Y的概率密度函數分別為：

在沒有給出μx和μy確切數值的情況下，需要根據樣本數據對R進行估計，這里采取極大似然估計法。根據極大似然估計的不變性[16]，可以得到μx、μy的 估 計 值，則 可 靠 度R的 估 計值為：

根據式(1)可得[10]：

則：

設x1,x1, …,xm和y1,y2, …,yn分別來自樣本總體X和Y，則μx和μy的函數分別為：

由文獻[17]可得μx和μy的極大似然估計分別為：

則：

對式(35)作變換，可以得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從指數分布時軸承的可靠性設計方法，表示為：

而對于服從指數分布參數的區間估計，可參考文獻[18]進行。

2.4 Weibull分布-Weibull分布

假設原始徑向游隙X服從Weibull 分布W(ηx,mx)，失 效 徑 向 游 隙Y服 從Weibull 分 布W(ηy,my)，其中ηx、ηy、mx、my分別為分布的比例參數和形狀參數，則X、Y的概率密度函數分別為：

式中：

式中：

將式(43)變換為：

將式(40)、(42)代入式(44)，可得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從Weibull分布時軸承的可靠性設計方法，表示為：

可以將Weibull 分布與指數分布進行變換，因此，對于服從Weibull分布參數的區間估計與指數分布類似，但前者更復雜，也可參考文獻[18]進行。

3 工程實例

為了驗證本文方法的有效性和適用性，以16004 深溝球軸承為例，進行其可靠性分析。軸承內圈直徑d=20 mm，外圈直徑D=42 mm，寬度w=8 mm。

采用軸承徑向游隙測量儀測試滾動軸承的徑向游隙。共采集10組，每組測試3次后取平均值。測試現場如圖1所示，測試結果如表1所示。

圖1 滾動軸承徑向游隙測試現場Fig.1 Test site of radial clearance of rolling bearing

表1 滾動軸承徑向游隙測試結果Table 1 Test results of radial clearance of rolling bearing 單位：μm

當樣本數據服從Weibull 分布時，參數估計的精度受樣本數量的影響較大。一般來說，當樣本數量較少時，參數估計很可能不準確，故分別做出原始徑向游隙和失效徑向游隙服從正態分布、對數正態分布、指數分布時的Q-Q圖，進行定性檢驗。原始徑向游隙和失效徑向游隙的Q-Q圖分別如圖2和圖3所示。由圖可知，原始徑向游隙和失效徑向游隙的數據同時服從正態分布時的擬合效果比其他分布的效果好。

圖2 滾動軸承原始徑向游隙的Q-Q圖Fig.2 Q-Q diagram of original radial clearance of rolling bearing

圖3 滾動軸承失效徑向游隙的Q-Q圖Fig.3 Q-Q diagram of failed radial clearance of rolling bearing

接下來采用非參數檢驗（單樣本柯爾莫戈洛夫-斯米諾夫檢驗）進行定量檢驗。假設樣本數據服從原假設，顯著性水平為0.05，當樣本呈顯著性即p＞0.05 時，認為原假設成立。檢驗結果如表2所示。

表2 滾動軸承徑向游隙非參數檢驗結果Table 2 Non-parametric test results of radial clearance of rolling bearing

由表2可知，原假設為正態分布和對數正態分布時，原始徑向游隙和失效徑向游隙樣本數據的p值均大于0.05，故接受原假設，認為原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從正態分布和對數正態分布。

當樣本數據均服從正態分布時，結合試驗數據，計算后可得：

進一步進行軸承徑向游隙可靠性設計。分別選取工程中常用的可靠度0.95和0.999，對軸承原始徑向游隙置信區間進行設計。

通過式(16)計算可得t分布中自由度v=16.877，取整后v=16。

當R=0.95 時，由式(17)可得α′=0.394 5。查表得tα/2(16) = 0.917 6。

同理，有：

將上述數據代入式(21)，可得R=0.95時軸承原始徑向游隙的置信區間為：

當R=0.999 時，由式(17)可得α′=0.055 78，查表得tα′/2(16) = 1.926 8。

同理，有：

將上述數據代入式(21)，可得R=0.999 時軸承原始徑向游隙的置信區間為：

當樣本數據均服從對數正態分布時，計算步驟與正態分布類似，計算過程不再贅述。

軸承可靠度為：

R=0.95時軸承原始徑向游隙的置信區間為：

R=0.999時軸承原始徑向游隙的置信區間為：

綜上可知：當樣本數據服從正態分布時，滾動軸承的可靠度為0.898 5；當樣本數據服從對數正態分布時，可靠度為0.903 2。不同分布下原始徑向游隙置信區間如表3所示。由圖2可知，樣本數據服從正態分布的擬合效果比對數正態分布好，結合表3可知樣本數據服從正態分布時算得的游隙置信區間更為可靠。

表3 不同樣本數據分布下滾動軸承原始徑向游隙置信區間Table 3 Confidence interval of original radial clearance of rolling bearing under different distributions of sample data

根據GB/T 4604—2006可知[19]，16004深溝球軸承徑向游隙的參考范圍為[5，20] μm，由此可知算得的徑向游隙符合國家標準。此外，采用本文方法可以設計出任意可靠度下的滾動軸承徑向游隙置信區間，且結果更加合理可靠。

4 結 論

1）提出了一種基于應力-強度干涉模型的軸承徑向游隙可靠性設計方法。將軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙看作隨機變量，構建了軸承二維隨機干涉模型，從而實現了滾動軸承徑向游隙的可靠設計。

2）針對工程中常用的服從正態分布、對數正態分布、指數分布和Weibull分布的徑向游隙樣本數據，分別推導了求解滾動軸承可靠性和徑向游隙置信區間的解析式，為滾動軸承可靠性設計和評估提供了理論依據。

3）將所求得的16004深溝球軸承徑向游隙置信區間與現行國家標準對比，結果驗證了本文方法的有效性和適用性。