基于長記憶性特征的歐式回望期權模糊定價研究

□ 韋才敏 于 濤 王文華

（1.汕頭大學 數學系，廣東 汕頭 515063；2.大連理工大學 商學院，遼寧 盤錦 124221）

一、引 言

期權作為市場上一種常見的金融衍生品，具備套期保值和規避風險等功能，因此對其進行精確且合理的定價具有重要的理論與實踐意義。1973 年,Black 和Scholes[1]在假定股票價格滿足對數正態分布的基礎上，提出了著名的歐式期權定價模型, 奠定了期權定價研究的理論基礎。但是隨著經濟和金融業的快速發展，投資者的投資需求更加細化，傳統的歐式期權顯然已不能滿足實際金融市場的需求, 這就迫切要求對期權的種類進行改造與創新?；赝跈嗍且环N典型的對路徑依賴的奇異期權，其敲定價格取決于期權有效期內的原生資產價格，期權持有者選取最低（最高）的原生資產價格作為敲定價格, 并以此購入（售出）一定量的原生資產。由于回望期權可以使期權的持有者在行權期間獲得最大的可能收益，這也使得該類期權的價格會高于標準的歐式期權。近幾十年來，眾多學者對回望期權進行了大量研究[2-5]。

以往關于期權定價的研究大多是在Black-Scholes 模型上建立的，假定股票的對數收益率服從正態分布，使用幾何布朗運動描述股票價格的變化過程。然而，一系列實證研究發現：在實際的金融市場中，當前股票價格會對未來價格產生持續的影響，即股票價格會呈現出長程相關性和自相似性，具有“尖峰厚尾”的特征[6]。為了便于刻畫該特征，Mandelbrot[7]和Peters[8]將分形的概念引入到經濟系統中，提出了“分形市場假說”，使用Hurst 指數H 刻畫對數收益率的自相關性，對市場收益率的時間序列進行了研究。但是，分數布朗運動不具備鞅的良好性質，且會出現市場套利。因此，在描述股價變化時，單一地運用幾何布朗運動或分數布朗運動總會存在以上問題。于是，Shiryaev 等[9]提出了混合分數布朗運動的概念，即利用兩者的線性組合形式來刻畫股價的變化過程，從而避免了這兩類問題的出現。并且，Cheridito[10]證明了在Hurst 指數H∈ (0.75,1)的條件下，市場是無套利的，可以利用幾何布朗運動的鞅性對期權價格進行研究。Rao[11]用混合分數布朗運動刻畫股票價格的變化，給出了考慮長記憶性特征的亞式期權定價公式。Ahmadian[12]基于標準無套利的論點，研究了混合分數布朗運動下亞式彩虹期權的定價問題。尤左偉等[13]則建立了在混合分數布朗運動環境下可轉債的定價模型，利用風險中性定價原理得出了可轉債定價公式。趙明清等[14]研究了銀行存款再保險問題，推導出混合分數布朗運動下溢額再保險的定價公式，并通過實證分析驗證了模型的實用性。孫曉霞[15]等證明了在非Lipschitz 條件下, 由混合分數布朗運動驅動的隨機微分方程解的矩估計和連續性。

面對投資者的多種需求，僅考慮隨機性的定價模型已經不能滿足實際金融市場的發展。同時，金融市場經常會被一些模糊因素所影響，因此迫切需要在隨機和模糊環境下研究期權定價的相關問題。與隨機性不同的是，模糊性是用來描述當投資者不知道股票的確切收益時，對是否進行投資以及投資份額產生的不確定性。1965年，Zadeh[16]提出的模糊集理論成為刻畫金融市場模糊性的重要理論基礎。Wu[17]給出了模糊集理論在B-S 模型中的應用，建立了模糊環境下歐式期權的定價模型，得到了任意期權價格的置信度，使得投資者可以按照任何具有可接受的信任程度選擇期權的價格。Zhang 等[18]認為定價公式中輸入的數據會隨市場的波動而具有不確定性，因此在模糊環境下討論了期權的定價問題，推導出了幾何亞式期權的模糊價格公式，并使用插值搜索算法確定置信度，通過數值算例驗證了模型的合理性與實用性。秦學志等[19]研究了三角模糊數下歐式期權的定價問題，構建了基于三角模糊數的歐式期權模糊定價模型。為了更好地刻畫投資者對期權價格估計值的肯定、否定及猶豫程度，張茂軍等[20]首次將三角直覺模糊數引入歐式期權中，建立了基于三角直覺模糊數的二叉樹定價模型。明雷等[21]給出了三角直覺模糊數下Black-Scholes模型的期權解析式，推廣了Yoshida 的相關結論，并對模型的穩定性和靈敏性進行了分析。

綜上所述，本文結合已有文獻結論及其存在的不足之處，在B-S 模型的基礎上，考慮了金融市場存在的長記憶性特征和投資行為的猶豫性，建立了一種新的歐式回望期權定價模型。本文的學術貢獻主要體現在：首先，選取標的股票初始價格作為模糊變量，構建了混合分數布朗運動下，歐式回望看漲期權的模糊定價模型；其次，論證了期權的模糊價格關于模糊變量的單調性，并給出了不同情形下期權的價格截集，期權持有者可根據自身需求及對風險的承受能力，選擇合理的猶豫程度，補充了現有關于歐式回望期權定價文獻的不足；然后，通過理論推導與數值實驗，驗證了長記憶性指標Hurst 指數H 對期權價格的影響，并揭示出該影響與行權時間T 相關；最后，對模型中的各個參量進行了數值分析，給出了期權價格截集變化的經濟學解釋，對模型的可行性和合理性進行了驗證。

其余部分組織如下：第一節中，本文介紹了關于混合分數布朗運動和三角直覺模糊數的基礎知識，并將長記憶性和模糊性融入到傳統的歐式回望期權定價模型中，給出了期權的模糊定價公式，推導出了期權的價格截集及Hurst 指數H 對定價模型影響的相關定理；第二節中，本文進行了數值分析，對模型的長記憶性和其他參量對于期權價格截集的影響進行了檢驗，并對實驗結果進行了解釋，表明與理論推導一致；最后，第三節是本文的結論與展望。

二、混合分數布朗運動下歐式回望期權的模糊定價模型

定義1(混合分數布朗運動)[22]在一個完備的概率空間( Ω, F,P)中，定義混合分數布朗運動(α,β)與幾何布朗運動tB、分數布朗運動的線性關系如下，

（ii）對任意H＞0,(α,β)的增量是任意的和混合自相似的，；

（iii）當0.5＜H＜ 1時，(α,β)的增量是長程且正相關的。

定義2 ( 三角模糊數)[20]設實數集R上的模糊集= (a1,a,a2)，其隸屬度函數定義如下:

滿足如上定義的模糊數，即為三角模糊數。

定義3 （三角直覺模糊數）[20]=＜ (a1,a,a2);,＞為定義在實數集R 上的三角直覺模糊數( 圖1)，其隸屬和非隸屬函數定義分別為：

圖1 三角直覺模糊數

首先，給定具有σ- 流的完備概率空間( Ω,F,P)及對應的域流{Ft,t∈ [0,T]}，假設模糊變量為標的股票的初始價格，金融市場上的現金市場Mt和股票可以進行自由、連續的交易，允許買空賣空且市場無套利，期權到期日為時間T。

其中：μ、σ均為常數，表示股票收益率和波動率。

最后，現金市場Mt滿足：dM t=rM tdt,M0= 1 , 0≤t≤T,r表示無風險利率，不考慮支付交易費、稅收及紅利。

（i）利用Δ-對沖原理，形成投資組合[23]：∏ =V-ΔSt，適當選取份額Δ，使得Π 在(t,t+dt)是無風險的，即有dΠ=rΠdt,由公式得

從而（8）可簡化為：

（iii）歐式回望看漲期權在T 時刻的模糊收益為：

邊界條件為：

定理1 歐式回望看漲期權的模糊定價公式：

其中

證明：由以上的討論知回望看漲期權滿足如下條件

將(16)代入(15)后得到

令u(x,t) =eαx+β(T-t)·W(x,t),代入式(17)

令大括號中的式子恒為0，有

得

采用鏡像法求解，令

又因為 Φ(x) 滿足方程組

參照文獻[23]知方程(19)的解存在且唯一，由Poisson公式，該方程的解可表為，代回原變量(S,J,t) 及函數V 即得結果，證畢。

在得到歐式回望看漲期權的模糊定價公式后，為了進一步得到期權的價格截集，需引入相關概念：

對應α-截集與β- 截集的定義，股票模糊初始價格的兩類價格截集可表示如下:

α- 截 集：，β- 截 集 為：。

參照Yoshida[22] 的相關研究，令at=cSt，c表示模糊指標，則S1:=S t-at、S2:=S t+at。

記Δ=α(1 -uS～) - (1 -β)wS～，當Δ ＞ 0時，；當Δ ≤ 0時，。

定理3 （期權模糊價格對股票模糊初始價格的單調性判斷）歐式回望看漲期權的模糊價格是關于標的股票模糊初始價格的單調遞增函數。

將以上關系代入（20）有

由上式可得當θ取值較大時，可使≥0;以下繼續判定的正負性，

證畢。

定理4 兩類歐式回望看漲期權tV的價格截集：

（1） 當Δ ＞0 時，

其中。

（2） 當Δ ≤0 時，

定理3 證明了股票的模糊初始價格越高，期權的模糊價格也會越高，故在式(14)中將1I、I2依次替換并代入，得到并代入期權的模糊定價公式中，即為期權的價格截集，證明從略。

注1：當不考慮投資者的猶豫程度，即c= 0時，歐式回望看漲期權Vt的價格區間退化為一個數，I0=St。

這正是確定環境下，只考慮長記憶性特征的回望看漲期權的定價公式。

則平方后

注意到（29）各式中均含有T2HlnT-t2Hlnt,提取公因式即得結論，證畢。

注2：定理5 表明了T 的取值將會改變長記憶性指標H 對期權價格的影響。

三、數值實驗

在第二節中主要進行了理論推導，包括建立了混合分數布朗運動下歐式回望期權的模糊定價模型，給出了期權的價格截集及對模型的長記憶性特征進行了研究等。本節在此基礎上，將運用數值實驗的方法對上述結論進行檢驗，首先研究Hurst 指數H 對期權模糊價格的影響；然后對期權的價格截集運用控制變量法，分析了模型的穩健性，給出了對應的經濟學解釋。其中：期權價格截集的上限價格用I2表示，下限價格用I1表示。

(一)基準模型的參數數據

當Δ ＞ 0時的基準數據：股票初始價格S= 25，期權期限t= 1，T= 2，Hurst 指數H= 0.76，無風險利率r=0.10，股票波動率σ= 0.10，α-截集α=0.75，最低價格J= 23，最大隸屬度= 0.9，β- 截集β=0.2，最小非隸屬度= 0.05，模糊指標c=0.05；當Δ ≤ 0時結論類似。圖中虛線表示期權上限價格I2，實線表示期權下限價格I1。

(二)Hurst 指數H 對定價模型的影響

由定理5 知，在期權的模糊價格對H 求導后可提取公因式T2HlnT-t2Hlnt，這表明長記憶性對期權價格的影響會受到行權時間T 的作用。如圖2 和圖3 所示，本文在此理論基礎上選取了兩種不同的行權時間，可得出如下結論：當T＜1 時，期權的模糊價格隨H 的增大而減小，當T＞1 時，期權的模糊價格隨H 的增大而增大。

圖2 T =0.5時，期權價格對H 的偏導

圖3 T =1.45時，期權價格對H 的偏導

(三)靈敏性和穩健性分析

本節討論了歐式回望期權的定價模型中，各個因素對期權價格截集的影響，并給出相應的經濟學解釋。

圖4 和圖5 分別展現了無風險利率r和波動率σ對期權價格截集的影響。在證明期權的模糊價格關于初始價格S為單調遞增函數時，曾令θ的取值適當大，而這就要求無風險利率r的取值不宜過小、波動率σ的取值不宜過大。從圖中可知，期權的上下限價格隨無風險利率r、波動率σ的增大而增大。

圖4 無風險利率r 對期權價格的影響

圖5 波動率σ 對期權價格的影響

圖6 驗證了定理3 的結論，表明了歐式回望看漲期權的價格會隨初始股價S的增大而增大。圖7 反映了在回望看漲期權中，最低價格J對期權價格的影響。 由歐式回望看漲期權的收益函數可知，股票的最低價格越大，期權持有者的收益也就越小，期權價格也應適當減小。而這與圖7中期權價格是關于股票最低價格的單調遞減函數相一致。

圖6 初始價格S 對期權價格的影響

圖7 最低價格J 對期權價格的影響

從圖8 可以看出，可行度 對歐式回望看漲期權上下限價格的影響是相反的；意味著 越大，歐式回望看漲期權的定價區間越小，即越小。這滿足了不同投資者的需求，對于相對保守的投資者，他們可以使用較高的可行度，但最大收益會較低；而對于那些較為激進投資者來說，他們可能會有更多的收益，但同時也伴隨著更大的風險。圖9反映了最大隸屬度對期權價格的影響，隸屬度用來描述不確定量的隸屬程度，隨著最大隸屬度的增加，投資者的猶豫程度會減小，即變大，但不應過大，否則便失去了期權價格區間的估計作用；且當時，期權的上下限價格相等，故此時的取值也不應小于0.75。

圖8 可行度α 對期權價格的影響

圖9 最大隸屬度 sw～ 對期權價格的影響

圖10 反映了模糊指標c 對期權價格的影響，表明該參量對期權價格的影響為線性的。由于c=，c 越大，投資者承受風險的能力越高，可選擇進行投資的區間也應越大，在圖中表現為期權價格截集的區間長度I2-I1越大，因此投資者可根據自身需求進行合理的投資。

圖10 模糊指標c 對期權價格的影響

四、結論

歐式回望期權是一種典型的強路徑依賴期權，對其進行準確合理的定價是具有重要理論和實踐意義的。與已有文獻的不同之處在于，本文從隨機性和模糊性兩方面刻畫了金融市場存在的不確定性，并且運用混合分數布朗運動描述了股票價格的長記憶性特征，建立了基于三角直覺模糊數的歐式回望期權定價模型，該模型更具有普遍性和現實意義。取得的主要結論如下：一，假定股票的價格變化滿足混合分數布朗運動，并將標的股票的初始價格設為模糊變量，結合已有文獻推導出了歐式回望期權的模糊定價公式。二，論證了期權的模糊價格是關于標的股票模糊初始價格的單調遞增函數，并在此基礎上給出具體的期權價格截集公式。投資者可以根據自身需求，對可行度α及模糊指標c 進行適當的調節，確定期權價格區間。比如投資者可選擇較大的猶豫程度，相應的投資區間也會較大，風險和收益都會更高。三，研究了模型的長記憶性特征，從理論和數值實驗上證明了Hurst 指數H 對期權價格的影響將會受到行權時間T 的作用。四，對影響期權價格截集的其他參數，如：無風險利率、波動率和模糊指標等進行了數值實驗，將理論推導和實驗結果相結合，從經濟學的角度表述了不同參數對歐式回望看漲期權價格的影響。最后，在該領域還有很多問題可以進一步研究，例如金融市場中存在著一些突發狀況，會使股票價格發生大的上下跳躍，因此可以考慮在分數跳躍- 擴散過程上建立歐式回望期權和障礙期權的定價模型；同時模糊性的研究也可以拓展到其他金融衍生品等。