基于裂紋誘導弦撓度的梁裂紋損傷識別

歐陽煜, 夏登科, 楚鵬輝

(上海大學力學與工程科學學院, 上海 200444)

起源于航空航天領域的結構健康檢測技術在20 世紀80 年代起逐步應用于土木工程領域,同時研究者對建筑結構的健康檢測開展了大量的理論與應用研究[1-3], 這些研究成果對保障結構安全運營具有十分重要的意義.目前, 梁中裂紋檢測和損傷識別方法大致可以分為局部檢測技術和整體檢測技術[4].根據損傷識別中施加于結構的荷載不同, 可將全局損傷識別方法劃分為基于靜力響應的損傷識別方法[5-8]、基于動力響應的損傷識別方法[9-12]以及基于動靜力響應的混合測試損傷識別[13-14].

隨著測試設備與技術的不斷更新和提高, 基于靜力響應的結構損傷識別方法逐漸成為運用廣泛的全局損傷識別方法, 具有測量精度高, 操作技術簡單, 成本低等優點[15-16].梁結構在服役中可能產生各類裂紋, 由于梁正截面強度不足或正應力過大, 將導致梁中產生橫向裂紋,如建筑結構的承重梁和PC 斜拉橋等.近年來在梁橫向裂紋損傷識別方面, 基于裂紋誘導弦撓度函數的識別方法得到了廣泛關注.Caddemi 等[16-17]將開裂紋等效為扭轉彈簧, 分別提出了梁中單/多裂紋損傷解析識別方法.Koo 等[18]和Sun 等[19]提出了懸臂型結構的裂紋損傷識別方法.而考慮軸力二階效應, 孟哲等[20]提出了懸臂梁支承及裂紋參數的識別方法.考慮裂紋縫隙效應, 汪德江等[21]和楊驍等[22]提出了梁中開閉裂紋損傷識別方法.基于裂紋誘導弦撓度函數的構造特征, 楊驍等[8,23]通過擬合分段線性函數, 提出了懸臂梁的裂紋損傷識別方法.

利用裂紋誘導弦撓度函數的構造特征, 本工作提出了基于撓度測量的任意邊界條件下Euler-Bernoulli 梁裂紋損傷的靜力識別方法.首先, 將裂紋等效為單向旋轉彈簧, 得到了任意邊界條件下裂紋Euler-Bernoulli 梁靜力彎曲撓度的解析通解; 然后, 證明了裂紋誘導弦撓度函數為分段三次多項式函數, 且分段函數的交點坐標即為裂紋位置, 分段函數交點處的斜率改變量與裂紋等效扭轉彈簧柔度有關, 并在此基礎上提出了利用最小二乘法擬合裂紋誘導弦撓度函數的裂紋損傷識別方法; 最后, 數值驗證了本工作提出的裂紋損傷識別方法的適用性和可靠性, 考察了撓度測量誤差、裂紋位置和深度等對損傷識別結果的影響.

1 裂紋Euler-Bernoulli 梁的靜力彎曲解析通解

如圖1 所示, 設長和高分別為L和h、抗彎剛度為(EI)0的Euler-Bernoulli 矩形截面梁承受橫向載荷q(x) 的作用, 且在x=xi(i= 1,2,··· ,N) 處存在深度為di的橫向開裂紋.將x=xi處的裂紋等效為剛度Ki的扭轉彈簧, 則裂紋梁的等效抗彎剛度[16-17,20]為

圖1 裂紋梁Fig.1 Cracked beam

式中:δ(x) 和H(x) 分別為Delta 函數和Heaviside 函數[8,17,21]; (EI)e為裂紋梁的等效抗彎剛度; 而裂紋的等效扭轉彈簧剛度[8,17,24]為

在橫向載荷q(x) 作用下Euler-Bernoulli 裂紋梁靜力彎曲撓度w(x) 滿足的控制方程為

而裂紋梁的彎矩和剪力分別為

引入如下無量綱量和參數,

則無量綱控制方程為

而無量綱彎矩m(ξ) 和剪力fS(ξ) 分別為

利用Heaviside 函數H(ξ) 和Delta 函數δ(ξ) 的性質, 可得控制方程式(7) 的通解為

式中:Ci(i=1,2,3,4) 為待定常數; 而Q[i](ξ) 定義為

從而, 無量綱彎矩m和剪力fS以及裂紋ξ=ξi(i=1,2,··· ,N) 處的彎矩mi分別為

通常, 由梁的4 個邊界條件可給出待定常數C1,C2,C3和C4滿足的線性代數方程

式中: [A]為4×4 矩陣;{C}={C1,C2,C3,C4}T; 而為常矢量.從而得到裂紋梁撓度w(x)的解析解.

2 Euler-Bernoulli 裂紋梁的裂紋誘導弦撓度

對于無裂紋的完整梁, 即fi= 0(i= 1,2,··· ,N), 由式(9) 及式(12) 可得無量綱撓度WI(ξ) 為

若梁在區間[ξa,ξb]?[0,1]中存在l條裂紋, 分別位于ξ=ξi(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l)處, 則區間[ξa,ξb]上的裂紋誘導弦撓度函數WC(ξ)[8,17-18,21]為

式中:WD(ξ) 為裂紋損傷誘導撓度, 定義為WD(ξ)=W(ξ)-WI(ξ).

可見, 裂紋誘導弦撓度函數WC(ξ) 是分段三次代數多項式函數.當區間[ξa,ξb]中不存在裂紋, 即fi= 0(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l) 時, 裂紋損傷誘導撓度WD(ξ) 和裂紋誘導弦撓度函數WC(ξ) 為三次光滑曲線; 當區間[ξa,ξb]中存在l條裂紋, 且mi /= 0(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l) 時, 裂紋誘導弦撓度函數WC(ξ) 為由l+1 條三次多項式函數組成的分段函數,且分段函數曲線的交點即為裂紋位置.同時,WC(ξ) 在裂紋ξ=ξi(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l)處, 裂紋誘導弦撓度WC(ξ) 斜率的改變量即橫截面轉角的增量為

可見, 若ξ=ξi裂紋處的彎矩mi /=0, 則ξ=ξi處裂紋的等效扭轉彈簧柔度fi為

進而, 由式(6) 得到裂紋深度di(i=i0+1,i0+2,··· ,i0+l).至此, 建立了開閉裂紋損傷識別的理論依據.

3 基于撓度的裂紋損傷識別方法

由于裂紋誘導弦撓度WC(ξ) 是由若干三次多項式函數組成的分段函數, 而每個分段的三次多項式至少需要確定4 個常數, 因此每個分段的三次代數多項式至少需4 個撓度測量值才能唯一確定.為識別區間[ξa,ξb]中的裂紋, 初步假定裂紋個數為l個, 將區間[ξa,ξb]分為m≥l+1 個測量子區間, 每個測量子區間內給定n≥4 個撓度測點.則如圖2 所示, 區間[ξa,ξb]的撓度測點數量共M=mn+1, 且記測量點ζr(r= 1,2,··· ,M) 處的撓度測量值為, 其中和分別為ζ1=ξa和ζM=ξb處的撓度測量值和

圖2 梁撓度測量點ζFig.2 Beam deflection measuring points ζ

在測量點ζr(r=1,2,··· ,M) 處測得撓度值后,由式(13)得到完整無裂紋梁在測點ζr處的撓度WIr, 進而由式(14) 可得到測量點ζr處誘導弦撓度的近似值.由此,尋求近似裂紋誘導弦撓度函數的問題歸結為依據測量數據點集合A==1,2,··· ,M}, 尋求最佳分段三次代數多項式函數的擬合.基于最佳分段線性函數的擬合方法[23,25], 建立最佳分段三次多項式函數的擬合, 具體算法如下.

Step 1: 給定擬合誤差ε>0, 令NL=1,ms=1,mk=4.

Step 2: 根據測量點數據Ams(ζms),Ams+1(ζms+1k(ζms+mk,WC(ms+mk)), 利用最小二乘法擬合三次函數(ξ)=aNLξ3+bNLξ2+cNLξ+dNL.

Step 3: 如果mk=M,輸出裂紋誘導弦撓度函數(ξ)=aNLξ3+bNLξ2+cNLξ+dNL,并且若NL>1, 計算函數

在區間[ζms-1,ζms]中的交點, 從而確定第NL-1 個裂紋的近似位置, 以及利用式(16) 得到該裂紋的近似等效扭轉彈簧柔度, 結束計算; 否則, 計算函數WNL(ξ) 在點ζ=ζmk+1處的函數值WCNL(ζmk+1), 并計算

然而，地方財力不足的現狀不能必然地導出消費稅收入分配機制改革的合理性。稅制變革應剖析其背后的理論依據。對此還有必要結合消費稅改革進程，探究消費稅收入分配機制調整的合理性，檢視消費稅收入分配機制調整與消費稅其他改革措施的關聯，以期能為理論研討與立法調整有所裨益。

Step 4: 如果?< ε, 即Amk+1(ζmk+1) 位于弦撓度函數WCNL(ξ) 上, 則令mk=mk+1, 并返回Step 2; 否則, 輸出弦撓度函數=aNLξ3+bNLξ2+cNLξ+dNL.

Step 5: 令NL=NL+1,ms=ms+mk,mk=4, 返回Step 2, 繼續執行.

在裂紋誘導弦撓度函數的擬合過程中, 由于撓度測量存在誤差e, 導致計算誤差ε確定較為困難.若ε取值不當, 可導致識別到虛假的裂紋, 或遺漏裂紋.所以, 為準確識別裂紋, 應盡可能控制撓度的測量誤差e.同時, 應進行初步的判斷, 盡量使每個識別區間[ξa,ξb]中只存在一條裂, 如通過逐步二分法識別區間[ξa,ξb], 使得識別區間最多只存在一條裂紋.

4 數值算例

接下來數值模擬本工作提出的梁中開裂紋損傷識別方法的有效性和可靠性.由于不可避免地存在撓度測量誤差, 因此為數值模擬測量撓度, 假定撓度測量值[8,20]近似為

式中:e為測量誤差;R() 為[-1,1]中的均勻分布隨機數.

為描述損傷參數識別精度, 定義裂紋i位置識別誤差eloc和等效扭轉彈簧柔度識別誤差ef分別為

式中:和分別為裂紋i識別的近似位置和裂紋等效扭轉彈簧近似柔度.

設固支Euler-Bernoulli 矩形截面裂紋梁長高比L/h=10, 且承受無量綱均布載荷Q0=1的作用, 區間ξ ∈[ξa,ξb]分為m= 5 個測量子區間, 每個測量區段撓度測點n=5, 故[ξa,ξb]上共有M=26 個撓度測量點, 且裂紋損傷參數識別數值算法中的計算誤差ε=0.01.

4.1 固支梁存在一個裂紋

圖3 當ξ1=0.5 時, 不同裂紋深度d/h 下固支裂紋梁的擬合裂紋誘導弦撓度WCFig.3 Fitted cracked-induced chord deflection WC of clamped cracked beam for different crack depth d/h when ξ1 =0.5

表1 給出了不同測量誤差e和不同裂紋深度d/h下識別的裂紋近似位置和裂紋等效旋轉彈簧近似柔度分別與其精確位置ξ1和精確裂紋等效扭轉彈簧柔度f1的識別誤差, 其中eloc和ef分別為裂紋識別近似位置和裂紋等效旋轉彈簧近似柔度的識別誤差.可見,裂紋越淺, 測量誤差越大, 識別精度越低; 裂紋位置的識別精度遠高于裂紋等效扭轉彈簧柔度識別精度; 隨著裂紋深度增加和測量誤差的減小, 裂紋位置的識別精度和裂紋等效扭轉彈簧柔度識別精度都逐漸提高, 且在測量誤差達到1%時, 裂紋等效扭轉彈簧柔度識別精度相對較差.

表1 當ξ1=0.5 時, 不同測量誤差e 下裂紋損傷參數的識別誤差Table 1 Identification errors of crack damage parameters for different measurement errors e when ξ1=0.5

4.2 固支梁存在兩個裂紋

下面考慮裂紋個數對裂紋損傷參數識別的影響.設固支梁在ξ1= 0.35 和ξ2= 0.6 處存在深度為d1=d2=d的裂紋, 其他條件同上.圖4 和5 分別給出了撓度測量誤差e分別為0.05%, 0.1%, 0.5%和1%, 裂紋深度d/h分別為0.10, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35 和0.40 時, 在測量區間[ξa,ξb]= [0,0.5]和[ξa,ξb]= [0.4,0.9]內的固支裂紋梁裂紋誘導弦撓度曲線.可見, 在保證裂紋識別區間內僅有一個裂紋的前提下, 裂紋個數不影響裂紋梁誘導弦撓度函數的性質.

圖4 當ξ1=0.35 時, 不同裂紋深度d/h 下固支裂紋梁的擬合裂紋誘導弦撓度WCFig.4 Fitted cracked-induced chord deflection WC of clamped cracked beam for different crack depth d/h when ξ1 =0.35

圖5 當ξ2=0.6 時, 不同裂紋深度d/h 下固支裂紋梁的擬合裂紋誘導弦撓度WCFig.5 Fitted cracked-induced chord deflection WC of clamped cracked beam for different crack depth d/h when ξ2=0.6

表2 和3 分別給出了不同測量誤差e和不同裂紋深度d/h下識別的裂紋近似位置和裂紋等效旋轉彈簧近似柔度分別與其精確位置ξ1,ξ2和精確裂紋等效扭轉彈簧柔度f1,f2的識別誤差.對比表1 可知, 在保證裂紋識別區間內僅有一個裂紋的前提下, 裂紋個數對開裂紋參數的識別精度影響有限.

表2 當ξ1 =0.35 時, 不同測量誤差e 下裂紋損傷參數的識別誤差Table 2 Identification errors of crack damage parameters for different measurement errors e when ξ1 =0.35

同時, 數值模擬結果表明, 在識別區間內僅有一個裂紋的前提下, 裂紋識別區間[ξa,ξb]的選取不影響誘導弦撓度曲線的性質, 即裂紋誘導弦撓度曲線為分段三次多項式函數, 只影響其大小, 并且對裂紋位置及等效扭轉彈簧柔度的識別結果影響有限.可見, 本工作提出的開裂紋損傷識別方法具有較好的魯棒性.

5 結 論

本工作提出了基于裂紋誘導弦撓度的Euler-Bernoulli 梁橫向裂紋靜力損傷識別方法.首先, 將裂紋等效為線性扭轉彈簧, 利用Delta 函數和Heaviside 函數, 得到了任意邊界條件下裂紋Euler-Bernoulli 梁靜力彎曲撓度的解析通解; 然后, 推導出裂紋誘導弦撓度的表達式, 發現裂紋誘導弦撓度函數為分段三次多項式函數, 并基于裂紋誘導弦撓度函數的性質, 利用最小二乘法擬合裂紋誘導弦撓度函數, 提出了基于撓度測量的裂紋位置和裂紋等效扭轉彈簧柔度的數值識別方法; 最后, 數值驗證了本工作提出的裂紋損傷識別方法的適用性和可靠性, 考察了撓度測量誤差、裂紋位置和深度等對損傷識別結果的影響, 得到如下結論.

(1) 基于裂紋誘導弦撓度函數的裂紋位置和裂紋損傷程度識別方法避免了基于有限元的裂紋識別方法的非線性方程組的求解, 且裂紋數量及裂紋識別區間的選取對裂紋損傷識別結果的影響有限, 具有較強的魯棒性.

(2) 當區間只含有一條裂紋時, 誘導弦撓度函數曲線由兩段三次多項式函數曲線構成, 裂紋位置為兩段曲線交點橫坐標, 且裂紋處裂紋誘導弦撓度斜率改變量隨著裂紋深度的增加而增大.

(3) 裂紋位置的識別精度高于裂紋等效扭轉彈簧柔度的識別精度.同時, 為控制識別誤差,應嚴格控制測量精度.

(4) 對于連續梁, 裂紋誘導弦撓度仍為分段三次多項式形式, 因此本工作提出的方法適用于連續梁的裂紋損傷識別.