遺忘因子遞推最小二乘法辨識鋰離子電池參數

趙 轉,曹以龍,杜君莉,史書懷*

(1. 鄭州電力高等?？茖W校電力工程學院,河南 鄭州 450000; 2. 上海電力大學電子與信息工程學院,上海 200438; 3. 國網河南省電力公司電力科學研究院,河南 鄭州 450000)

在鋰離子電池的測試和實際使用中,需要對荷電狀態(SOC)進行準確估計[1]。 鋰離子電池的等效電路模型是大多數SOC 估計算法的重要基礎,如擴展卡爾曼濾波、自適應擴展卡爾曼濾波等。

目前,電池等效電路模型主要包括內阻(Rint)模型[2]、新一代汽車合作伙伴計劃(PNGV)模型[3]、Thevenin 模型[4]和n階RC 等效電路模型[5]。 Rint 模型是由直流電源和內阻組成的內阻模型,結構簡單、不考慮電池的內部狀態,屬于一種理想的模型,一般只用于簡單的電路仿真。 考慮電容特性的PNGV 模型可準確反映放電過程,但對充電過程的反映不佳。n階RC 電路等效模型能反映電池內部參數與動態參數之間的關系,但模型的復雜度隨著階數的增加而增加,不利于實時在線計算。 等效電路模型通常選擇二階RC 模型,不僅精度和動態仿真特性良好,而且復雜度較低。

鋰離子電池內部有復雜的化學反應和物理結構,實際使用時,內部狀態會受到環境溫度、操作條件和電池老化程度等因素的影響[6]。 一些參數在電池等效模型中會隨著工作條件的變化而變化,因此,實時且準確地辨識電池等效參數模型中的參數很有必要。 遞推最小二乘(RLS)法[7]是常用的系統參數在線辨識方法,具有簡單穩定的特點,但隨著遞推過程中數據的增加,新數據的生成會受到舊數據的影響,導致較大的誤差。 為此,本文作者提出遺忘因子遞推最小二乘(FFRLS)法,RLS 中引入遺忘因子,來調整新舊數據的比例,使算法能更快地收斂到實際值。 建立二階RC 等效電路模型,應用FFRLS 在線辨識等效電路模型參數,通過動態應力測試實驗驗證FFRLS 算法的實時性和準確性。

1 鋰離子電池建模

1.1 等效電路模型

鋰離子電池的二階RC 等效電路模型如圖1 所示。

圖1 二階RC 等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

該模型由理想電壓源Uoc、歐姆電阻R0和兩個RC 并聯電路組成。Uoc表示電池的開路電壓;R0為電池內阻;R1和C1為電池電化學極化內阻和電容;R2和C2為濃度極化效應內阻和電容;UL為電池端電壓;I為輸入電流。

1.2 等效電路狀態方程

根據圖1 以及電路原理,該模型時域下的電氣特性方程見式(1)。

式(1)中:Uoc(SOC(t))表示開路電壓Uoc是SOC 的函數;t為時間。

式(1)寫成頻域下表達式,即式(2)。

式(2)中:E(s)表示端電壓與開路電壓的差值;s為復頻域下的變量。

將式(2)寫成傳函形式,如式(3)所示。

式(3)可整理為式(4)。

雙線性變換公式見式(5)。

式(5)中:T為采樣時間;z表示離散域。

令τ1=R1C1、τ2=R2C2,將式(5)代入式(4)中,得到式(6)。

式(6)中:k為變量;k1～k5為系數,如式(7)所示。

定義參數a、b、c、d、e,如式(8)所示。

將式(8)代入式(7)中,簡化為式(9)。

電池內阻和電容參數整理為式(10)。

2 電池參數辨識方法

2.1 遞推最小二乘(RLS)法

RLS 法是常用的系統參數辨識方法,以離散函數的平方準則為理論基礎,獲取辨識的參數。 基本原理見式(11)。

式(11)中:φ(t)為觀測數據矩陣;θ為參數矩陣。

RLS 算法的參數辨識如式(13)所示。

式(14)中:P(k)為協方差矩陣;K(k)為增益矩陣;e(k)為誤差;y為輸出變量;I為單位矩陣。

2.2 遺忘因子遞推最小二乘(FFRLS)法

FFRLS 算法是在RLS 算法的基礎上,在觀測數據矩陣和系統輸出向量中加入遺忘因子λ作為系數,如式(14)所示。當每個觀測值獲得新數據時,通過指數加權調整新舊數據的比例,然后進行加權平均,修正最終獲得的識別參數。 因此,當輸入變量發生變化時,隨著系統觀測數據的增加,FFRLS算法能夠更快速響應并獲得較好的辨識參數。

當λ=1 時,FFRLS 算法退化為RLS 算法,由于λ是常數,當在線辨識參數誤差很小時,引入λ反而會增大在線辨識參數誤差。 當在線辨識參數誤差很大時,則可以通過優化λ來加快在線辨識的收斂速度,從而減小誤差。 選擇合適的λ,不僅可以提高收斂速度,還可以減小誤差。

3 實驗驗證和分析

實驗用電池測試設備為BTS-60V100A 測試系統(深圳產)。 該設備可設定電壓電流的大小,以滿足不同充放電工況,為驗證實驗提供相關數據。 以IFP36130155-36Ah 型磷酸鐵鋰鋰離子電池(山東產)為研究對象,參數見表1。

表1 磷酸鐵鋰鋰離子電池參數Table 1 Parameters of lithium iron phosphate Li-ion battery

3.1 開路電壓(OCV)-SOC 曲線

OCV-SOC 曲線是鋰離子電池建模過程中的一個重要組成部分。 由于存在極化和遲滯效應,僅在電池充分靜置條件下,OCV 才與端電壓近似相等,因此OCV 為靜態參數。

根據間歇恒流充電和放電實驗數據,提取每次靜置結束時刻的SOC(SOC)和對應的OCV,對充放電OCV 平均值進行擬合,得到OCV-SOC 擬合結果,如式(15)所示。

為了減小遲滯特性產生的誤差,對充放電實驗中OCV平均值進行8 次多項式擬合,擬合曲線如圖2 所示。

圖2 OCV-SOC 擬合曲線Fig.2 Fitting curves of open circuit voltage (OCV)-state of charge(SOC)

3.2 動態工況測試

動態工況實驗(DST)可模擬電池在實際道路工況下的隨機充放電工況,該工況是以美國聯邦城市道路工況為基礎簡化而來的。 實驗以SOC=100%為開始,在一個周期內,以不同電流(-12 A、-9 A、0 A、9 A、12 A 和18 A 等)對電池進行充放電,循環若干個周期,以SOC=0 為結束,模擬電池電量被耗盡的整個周期。 電壓電流的曲線如圖3 所示,其中,電流大于0,定義為電池放電,電流小于0,定義為給電池充電。

圖3 DST 實驗時的輸入電流與端電壓測量曲線Fig.3 Measurement curves of input current and terminal voltage under dynamic stress test (DST) experiment

從圖3 可知,大約存在6 個周期可放空電量。

3.3 電池參數辨識結果

為了驗證所提參數辨識方法的有效性,首先在離線狀態下對電池參數結果進行辨識,以此為基準,與在線辨識方法進行比較,檢驗在線辨識方法的準確性。 離線參數辨識的結果如圖4 所示。 所采用的離線辨識方法為傳統的電路微分求解方法,通過分段擬合的形式獲得不同SOC 值對應的電池參數。

圖4 離線參數辨識結果 Fig.4 Offline parameter identification results

從圖4 可知,電池內阻R0的值約為1 mΩ,電化學極化電阻R1和電容C1的值分別約為3 mΩ 和1 000 F,濃差極化電阻R2和電容C2的值分別約為2 mΩ 和50 000 F。 離線辨識的參數結果為在線實時辨識方法提供了比較基準。

RLS 算法和FFRLS 算法在DST 條件下識別的參數曲線分別見圖5 和圖6。

圖5 RLS 算法辨識結果 Fig.5 Identification results of recursive least square (RLS) algorithm

圖5 和圖6 的結果均在離線參數值附近波動,體現了在線參數辨識算法的準確性。 對比圖5 和圖6 可知,RLS 算法識別的參數相對穩定,但對動態參數變化的識別能力不足。而FFRLS 算法識別的參數具有明顯的波動性,更準確地反映了動態工況下電流切換時電池內部發生復雜變化的特性。

為了更好地研究FFRLS 算法特性以及λ對端電壓均方根誤差的影響,λ取0.80～1.00,精度為0.02,記錄各個λ對應的端電壓均方根誤差,確定最優的λ取值范圍。 當λ=1.00 時,FFRLS 算法等效為RLS 算法。 不同λ下的端電壓均方根誤差見表2。

表2 不同λ 下的端電壓均方根誤差Table 2 Root mean square error of terminal voltage with different forgetting factors(λ)

從表2 可知,與RLS 算法相比,采用FFRLS 算法的端電壓均方根誤差較小。 隨著λ的加入,當λ從1.00 逐漸減小時,端電壓均方根誤差也隨之減小,直至λ=0.84 時,端電壓均方根誤差反而增大,表明λ在一定區間范圍內具有正向優勢,符合理論說法,λ的值不能過大或過小。 根據表2 的數值可知,當λ=0.86～0.94 時,電池模型精度達到最佳范圍。

4 結論

本文作者分析了鋰離子電池的二階RC 等效電路模型,研究了基于RLS 算法和FFRLS 算法的等效電路模型參數在線識別算法。 通過DST 實驗驗證了充放電情況下等效電路模型參數識別的正確性,并對不同λ下模型參數得到的預測端電壓與實際端電壓進行了比較,選擇合適的λ。 實驗結果表明,與RLS 算法相比,FFRLS 算法具有更精確的參數識別能力。 此外,通過對比不同λ下的端電壓均方根誤差可知,λ=0.86～0.94 為最佳范圍。