考慮土塞效應的半埋入式管樁水平振動動力阻抗解析解答

梁志孟，崔春義，許成順，王坤鵬，辛 宇

（1.大連海事大學土木工程系，遼寧 大連 116026；2.北京工業大學城市與工程安全減災省部共建教育部重點實驗室，北京 100124）

引言

半埋入樁作為一種常見的基礎形式，被廣泛應用于橋梁、碼頭以及高聳建筑等各類工程結構當中。近年來，對于完全埋入式樁基水平振動的研究較為豐富，而對于半埋入式樁基水平振動特性的研究相對較少［1-4］。因此，深入開展半埋入式樁基水平振動研究，對于相關工程設計與實踐具有十分重要的參考價值和指導作用。

在完全埋入式樁基水平振動研究方面，Gazetas 等［5］、El Naggar 等［6］和Mylonakis 等［7］早期將 樁側土簡化為一系列相互獨立的彈簧和阻尼器，探究了完全埋入地基土中的樁基水平振動動力響應問題。進一步地，劉東甲等［8］、胡安峰等［9-10］和雷文軍等［11］將樁身 簡化為Bernoulli-Euler梁和Timoshenko 梁模型，分別推導出了均質和層狀土中的樁基水平振動解析解答。王玨等［12-13］和梁發云等［14］則通過采用雙參數（Pasternak）地基模型綜合考慮了土體剪切效應對樁體水平振動的影響。在此基礎上，Gazetas 等［15］、劉林超 等［16］、高洪波 等［17］和韓紅霞等［18］采用Novak 平面應變理論，對不同地基條件下各類樁基的水平振動特性規律進行了探討。此外，Haldar 等［19］、Kaynia 等［20］、干鋼等［21］和劉林 超等［22］借助積分變換法和傳遞矩陣法，求解出了單樁水平振動解析解答。特別地，文獻［23-24］和沈紀蘋等［25］考慮樁芯土的作用，利用樁-土完全耦合條件推導出了管樁樁頂動力阻抗解析表達式。

在半埋入式樁基水平振動研究方面，任青等［26］基于Winkler地基模型，建立了水平、豎向荷載聯合作用下的半埋入實體單樁的水平振動分析模型。在此基礎上，閆啟方等［27］基于Novak 薄層法，利用分數導數黏彈性模型描述樁側土體的應力-應變關系，并借助傳遞矩陣法求解出了半埋入端承樁水平振動閉合式解析解答。進一步地，劉圓圓等［28］和楊紫健等［29］分別考慮地基土體縱向成層特性和飽和介質性，各自推導出了半埋入式實體樁水平振動對應解析解答。

上述半埋入式樁基水平振動的研究大多圍繞單層地基和實體樁工況展開。不難看出，隨著管樁在實際工程中的廣泛應用，進一步開展半埋入式管樁水平振動的相關研究十分必要［30-31］?；诖?，本文將基于Novak 平面應變理論，綜合考慮半埋入式管樁土塞效應的影響，建立層狀土中半埋入式管樁水平振動分析模型，通過引入勢函數法、分離變量法以及傳遞矩陣法，推導出層狀黏彈性土中半埋入式管樁樁頂水平阻抗解析解答。在此基礎上，通過參數化分析探討管樁埋入比、各層土體彈性模量和土塞長度對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響規律。

1 定解問題力學模型的建立

1.1 力學模型及基本假設

本文所建立的層狀土中半埋入式管樁水平振動力學模型如圖1 所示。其中，半埋入式管樁樁頂受水平簡諧荷載F0eiωt作用，F0為激振力幅值，i為虛數單位，管樁樁長為L，第i層段管樁的內徑和外徑分別為和，li為樁-土系統第i層段厚度。對于樁身埋入段的土塞部分（即Lp段樁身），同時具有樁側土、樁芯土塞對管樁的橫向作用力，分別為和。不同地，對于埋入段空心部分（即Lh段樁身），僅有樁側土對管樁的作用（即為零）；而對于未埋入段外露樁身部分（即Le段樁身），由于沒有地基土的約束，和均為零?；炯俣ㄈ缦拢?/p>

（1）半埋入式管樁等效為Bernoulli-Euler 梁，忽略樁體剪切變形，樁端采用固定支承。

（2）樁側和樁芯各層土體均為均質、各向同性黏彈性介質。

（3）樁-土系統振動為小變形，忽略土體的豎向位移。樁-土界面完全接觸，無脫開和滑移現象［23］。

1.2 定解問題描述

基于Novak 平面應變理論，第i層段樁側土體的控制方程可表示為：

類似地，第i層樁芯土塞部分的控制方程可表示為：

半埋入式管樁第i層段樁身水平振動的控制方程可表示為：

1.3 樁-土系統邊界條件

（Ⅰ）樁側土

樁-土完全接觸條件：

對于無限遠處，位移為零，則有：

（Ⅱ）樁芯土塞部分

當r0→0 時，有：

樁-土塞部分完全接觸條件：

（Ⅲ）管樁

樁頂邊界條件：

樁底邊界條件：

據黎永蘭的生前好友透露，黎永蘭和林雪川2012年認識之后，林雪川提出交往，但黎一直以閱歷、層次相差太大等為由拒絕。直到2013年，林雪川以“無恥的非法手段”逼迫黎永蘭和他確認了戀愛關系。

2 定解問題求解

2.1 樁側土振動方程的求解

對第i層段樁側土體引入勢函數，有：

式中φi和ψi表示第i層段樁側土體的位移勢函數。

將勢函數式（14）代入式（1）和（2）中，可得：

式中K1(·)為一階第二類變形Bessel 函數；Ai和Bi為待定系數。

進一步地，求解得到第i層段樁側土體的徑向和環向位移分別為：

式中K0(·)為零階第二類變形Bessel 函數。

將式（19）和（20）代入式（6）中，可得：

2.2 樁芯土塞部分振動方程的求解

同理，對第i層段管樁樁芯土塞引入勢函數，有：

進一步地，求解得到樁芯土塞徑向和環向位移分別為：

式中I0(·)為零階第一類變形Bessel 函數。

將式（29）和（30）代入式（9）中，可求得：

2.3 半埋入式管樁樁身振動方程的求解

將式（23）和（33）代入式（5）并整理可得：

基于此，可求得轉角、彎矩和剪力的表達式分別為：

進一步地，式（35）～（38）可整理為如下矩陣形式：

在局部坐標系下，層狀土中第i層段樁身上下兩端的水平位移、轉角、彎矩和剪力之間的關系可表示為：

根據樁段間連續條件，在整體坐標系下采用傳遞矩陣法可求得管樁樁底和樁頂的水平位移、轉角、彎矩和剪力之間的關系為：

式中T={TmTm-1…Ti…T2T1}。

由于管樁樁底為固定約束，進而將式（12）和（13）代入式（41）中，可得：

綜上，可進一步求得層狀土中半埋入式管樁樁頂水平阻抗KQU的表達式為：

式中Κr和Κi分別代表樁頂的水平動剛度和動阻尼。

3 算例分析

本文算例模型將基于前述層狀黏彈性土中半埋入式管樁水平振動力學模型和推導所得對應樁頂水平動力阻抗解析解答展開。其中，將地基土體沿縱向分為3層，如圖1所示，由地基底部自下而上分別為l1，l2和l3。前述解析解答推導過程中所采用的頻率為圓頻率ω，而在后續分析中采用頻率f=。此外，本文采用MATLAB 軟件對式（43）所得解進行計算。如無特殊說明，算例模型具體參數取值［24］如下：

圖1 層狀土中半埋入式管樁水平振動力學模型Fig.1 Dynamic model of horizontal vibration of pipe pile partially embedded in layered soil

3.1 解析解答合理性驗證

為了驗證本文所推導的層狀黏彈性土中半埋入式管樁水平振動動力阻抗解析解答的合理性，將本文解與已有相關解析解答進行退化對比驗證。具體地，令Le→0 m，Lh→0 m，m=1，m，將本文層狀土中半埋入式管樁水平振動解析模型退化至文獻［32］中所述黏彈性土中實體樁水平振動工況中，并與已有文獻解［32］進行對比。本文退化解與已有文獻解［32］在3 種不同樁-土彈性模量比條件下的對比情況如圖2 所示。由圖2 可見，本文推導所得的層狀黏性土中管樁樁頂水平阻抗退化解與已有文獻解［32］吻合良好。

圖2 本文退化解與已有文獻解［32］對比情況（Le→0 m，Lh→0 m，m=1→0 m）Fig.2 Comparisons of degenerated solution in this paper with existing solution in reference［ 32］（Le→0 m，Lh→0 m，m=1，→0 m）

3.2 半埋入式管樁樁頂水平阻抗影響因素分析

圖3 所示為埋入比變化對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響情況。其中，Le/L表示管樁埋入線以上部分長度與總樁長之比。由圖3 可見，在其他條件不變的情況下，埋入比變化對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響顯著。具體地，隨著埋入比的增大，樁頂水平動剛度和動阻尼幅值增大。

圖3 埋入比對樁頂水平阻抗的影響Fig.3 Influence of embedment ratio on the horizontal impedance of pile head

圖4 和5 所示分別為層狀樁周土中各層段土體彈性模量變化對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響情況。由圖4 可見，在其他條件不變的情況下，隨著表層土體彈性模量的增大，半埋入式管樁樁頂水平動剛度和動阻尼幅值亦增大。不同地，從圖5 中不難看出，樁周土中、下層土體彈性模量變化對半埋入式管樁樁頂水平動剛度和動阻尼的影響均可忽略。這表明樁周土中的表層土體相對于中、下層土體對半埋入式管樁樁頂水平振動特性的影響更為顯著。

圖4 表層土體彈性模量對樁頂水平阻抗的影響Fig.4 Influence of elastic modulus of surface soil layer on the horizontal impedance of pile head

圖6 所示為土塞高度Lp變化對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響情況。由圖6 可見，在其他條件不變的情況下，隨著土塞高度的減小，半埋入式管樁樁頂水平動剛度幅值減小，而樁頂水平動阻尼幅值隨土塞高度的減小而增大。

圖6 土塞高度對樁頂水平阻抗的影響Fig.6 Influence of soil plug height on the horizontal impedance of pile head

4 結論

本文基于Novak 平面應變理論，綜合考慮半埋入式管樁土塞效應的影響，建立了層狀黏彈性土中半埋入式管樁水平振動分析模型，推導出了層狀土中半埋入式管樁樁頂水平阻抗解析解答，并探討了管樁埋入比、各層土體彈性模量和土塞高度對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響規律，計算分析結果表明：

（1）埋入比變化對半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響顯著。具體地，隨著埋入比的增大，樁頂水平動剛度和動阻尼幅值增大。

（2）隨著表層土體彈性模量的增大，半埋入式管樁樁頂水平動剛度和動阻尼幅值均顯著增大，而樁周土中、下層土體的此種影響可忽略。

（3）隨著土塞高度的減小，半埋入式管樁樁頂水平動剛度幅值減小，而樁頂水平動阻尼幅值隨土塞高度的減小而增大。

（4）通過與已有解進行退化對比分析，驗證了本文推導所得的對應解析解答的合理性和精度，可為相關工程設計與實踐提供參考。