C/SiC 復合材料結構件熱模態模型建模和修正方法

張昊冉，陳國平，2，何 歡，2

（1.南京航空航天大學航空航天結構力學及控制全國重點實驗室，江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學振動工程研究所，江蘇 南京 210016）

引言

隨著航空、航天等領域科學技術的高速發展，現有的高性能航空發動機渦輪進氣端溫度已經遠遠超過了高溫合金的安全使用溫度，因此必須開展新型耐高溫材料的研究設計，才能滿足航空發動機的要求。且新材料在滿足耐高溫的同時，還需要滿足高比模量、高比強度以及耐腐蝕、抗氧化等要求。滿足上述條件的C/SiC 復合材料將在未來廣泛應用于航空發動機熱端部件上［1-4］。C/SiC 復合材料在高溫環境下尤其是1000 ℃以上的工作條件下依然可以保持很高的強度，但由于其結構相對于高溫合金要復雜得多，表現出的力學性能也更為復雜。所以對于C/SiC 復合材料結構熱環境下的結構振動特性分析和動力學模型的精確建立是很有必要的。關于高溫環境下復合材料的有限元建模方法和優化方法，目前國內外學者已經做了大量研究［5-10］。張曉蕾等［5］建立了熱環境下某型復合材料結構飛行器結構動力學計算的有限元模型，結合常溫模態數據對有限元模型進行了優化，給出了較為合理的優化方法。楊浩［6］建立了C/SiC 典型結構件的有限元模型，采用彈簧單元模擬熱應力影響，修正了典型結構在常溫和高溫下的模態頻率。Battaglia 等［7］提出了一種基于振動數據識別任意形狀、不同邊界條件下正交各向異性板力學參數的方法，結合Rayleigh-Ritz 方法和粒子群優化方法來估計正交各向異性材料的彈性常數。

本文針對高超聲速飛行器尾噴C/SiC 復合材料結構進行了常溫、高溫的模態試驗。結合試驗數據對結構自由模態、固支模態以及溫度場進行修正，取得了良好的效果。通過修正結構中等效螺栓剛度以及彈簧單元剛度來模擬熱應力影響，采用經典響應面法和牛頓迭代法對模型相關系數進行擬合和尋優，結果表明，此方法有顯著的修正效果，修正后高溫環境模態頻率誤差不超過0.5%，能夠準確修正結構熱環境下的復合材料參數及邊界條件。

1 結構熱環境振動理論和有限元方法

對于結構熱環境振動問題，通常作出如下假設：熱環境對結構振動特性的影響是單向的，即將熱效應作為等效載荷作用于動力學方程。忽略由于結構振動引起的溫度變化，材料始終處于彈性范圍內，結構的應力-應變關系滿足廣義的胡克定律，結構的變形依舊是小變形，應變與位移關系中的二次微分項可以忽略不計。

熱環境下結構的應力、應變以及溫度三者關系在滿足上面三個基本假設的基礎上可以由杜哈梅-紐曼（Duhamel-Neuman）表達式給出：

式中βij為結構應變εkl=0 時測得的熱模量；cijkl為一個對稱張量；Θ表示結構的溫度變化量，Θ=ΔT=T-T0。

對于含有對稱面的各向異性材料，式（1）可簡化為：

根據單位體積的應變能表達式可以得到由于溫度變化產生的熱應力，此時結構的單位體積的應變能為：

式中σ為熱應力；ε為結構總應變；εT為結構溫度變化引起的初始應變。

式（4）可化為：

從式（6）中可以發現，由于溫度導致結構產生的熱應力對結構的影響體現在后三項。利用彈性系數矩陣的對稱性DT=D以及幾何方程，對式（6）在整個單元上進行積分可以得到單元應變能為：

由式（7）可以看到，在熱載荷引起的小變形下，幾何剛度矩陣可以不予考慮，因此熱載荷下的等效單元剛度矩陣可表示為：

在沒有除熱應力的其他初始預應力影響的情況下，單元初始剛度矩陣可寫為：

式中Gij為變形梯度張量；ST=diag[SSS]為當前溫度下的單元預應力矩陣，其中S為單元預應力在單方向上的分量。

根據單位體積的應變能表達式可以得到由于溫度變化產生的熱應力表達式，此時結構的動力學平衡方程為：

式中M表示質量矩陣；K=KT+Kσ，即為修正后的熱剛度矩陣。

式（10）的解可以假設為以下形式：

式中φ為熱環境下對應的振幅；ω為結構振動頻率；θ為該解對應的相位角。

將式（11）代入式（10）得到矩陣K和M的廣義特征值問題：

2 結構件熱模態試驗

陶瓷基復合材料的制備工藝采用化學氣相滲透法（CVI），化學氣相滲透工藝制備出的SiC 基體不僅具有良好的結晶性能、較高的強度和耐燒蝕等特點，且制備過程對碳纖維損傷小，因而制備出的陶瓷基復合材料性能更為優異。試驗件纖維選用T700 6K PANCF 纖維，纖維外觀為光滑圓柱體，橫斷面幾乎是完整的圓形。主要性能參數如下：密度：1.76 g/cm3；拉伸強度：≥3000 MPa；彈性模量：≥200 GPa；纖維單絲直徑：7.0 μm。預制體選用2D 針刺結構，采用一層T700 6K PANCF 無緯布與一層T700 12K PANCF 網胎交替鋪層，無緯布為0°/90°鋪層，1.X+2.Y方式連續針刺而成，如圖1 所示。

圖1 試驗件結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of structure of test piece

C/SiC 復合材料試驗件長400 mm、寬30 mm、厚4 mm，肋板長160 mm、高8 mm、厚4 mm，中間有一V 型缺口，寬8 mm、深6 mm。示意圖與實物圖如圖2 所示。

圖2 C/SiC 復合材料試驗件Fig.2 C/SiC composite material test piece

開展了常溫環境試驗件自由模態試驗以及常溫，400，800 和1200 ℃固支模態試驗。自由模態將試驗件用彈性繩吊裝后用錘擊法敲擊獲得，固支模態用激振器激勵獲得。采用高溫加熱爐進行溫度加載，加熱區域為C/SiC 復合材料試驗件中段，加熱時先將加熱爐兩端用堵頭封住，當溫度升高到指定溫度時利用設計的滑軌放入試驗件并固定，等溫度穩定后獲取結構振動特性。圖3 和4 為固支模態試驗示意圖，表1 和2 分別為自由模態試驗結果和固支模態試驗結果。

表1 常溫自由模態試驗結果Tab.1 Free modal test results at room temperature

表2 常溫和高溫固支模態試驗結果Tab.2 Results of fixed support modal test at room temperature and high temperature

圖3 模態試驗Fig.3 Modal test

圖4 試驗結構示意圖Fig.4 Schematic diagram of test structure

3 有限元模型的建立與修正

3.1 模型建立

本文在MSC.Patran 軟件中建立的C/SiC 熱模態試驗數值仿真模型如圖5 所示。為準確計入金屬夾持段剛度對試驗結構動態響應的影響，在整個數值模型中包括了金屬夾持段模型。螺栓采用beam單元和RB2 進行模擬，采用6 自由度彈簧單元模擬金屬夾持段與試驗件之間的連接剛度，金屬夾持段與剛性約束之間的連接采用同樣的處理方式。

圖5 C/SiC 試驗件及金屬夾持段模型Fig.5 C/SiC test piece and metal clamping segment model

3.2 模型修正

C/SiC 試驗件由快速CVI（化學氣相滲積法）制備而成，其結構尺寸以及內部纖維分布存在一定分散性；常溫和高溫環境下復合材料的力學性能試驗結果表明復合材料的力學性能具有較大分散性［11-12］。固支約束在高溫環境下由于材料熱膨脹系數的不同會在結構內部產生熱應力。材料內部結構和力學性能的分散性以及熱應力都會影響結構的動力學特性。所以本文按照由簡單到復雜的順序，以常溫自由模態、常溫固支模態和高溫固支模態的修正順序對材料的力學性能、熱學性能、結構尺寸以及固支邊界約束剛度進行修正。模型修正總體思路：首先通過模態頻率對結構參數的靈敏度進行分析，確定主要的頻率影響參數；然后擬合頻率與影響參數的關系；最后結合優化算法獲取最優解，完成模型修正。當有溫度作用時，首先通過實驗實測溫度場對計算溫度場進行修正，再對模態數據進行修正。修正計算流程如圖6 所示。

圖6 模型修正計算流程Fig.6 Calculation process of model modification

影響C/SiC 試驗件自由模態頻率的參數主要有材料拉伸模量、剪切模量和泊松比等。以常溫下自由狀態的模型為研究對象對參數進行靈敏度分析，其中關于靈敏度的表達式如下：

式中Se為靈敏度矩陣；Δf為頻率殘差向量；Δp為修正參數攝動量百分比。

將上述修正參數攝動量取為5%，分別計算前三階頻率對各參數的靈敏度，表3 為參數值單位百分比變化引起的前三階頻率變化。由表3 可知，材料X，Y方向拉伸模量、面內剪切模量以及試驗件厚度對前三階彎曲自由模態頻率的影響較大，將其作為自由模態模型修正的優化參數，材料拉伸、剪切模量取值范圍通過材料制備時測得的參數值確定，如表4所示。

表3 各參數前三階自由模態頻率靈敏度（單位：Hz）Tab.3 The first three order free modal frequency sensitivity of each parameter（Unit：Hz）

表4 自由模態修正參數取值范圍Tab.4 Value range of free modal correction parameters

修正參數的優化表達式為：

式中F為目標函數；αi為權重系數為模態試驗頻率；fi為模型計算頻率；i為模態階數；X為優化參數；XU，XL分別為優化參數的上/下限。

本文采用經典響應法建立計算頻率、優化參數以及試驗頻率之間的關系，通過牛頓迭代法進行迭代修正，由優化表達式（14）得到修正結果。

牛頓迭代法基于二階泰勒級數展開求解優化目標函數F（x）的二次近似駐點，迭代表達式可定義為：

式中Ak為優化目標函數泰勒級數二次項系數；gk表示目標函數在k處的梯度。

3.3 常溫自由模態修正

基于復材試件自由模態試驗數據，采用3.2 節所述方法，得到計算頻率和X，Y方向拉伸模量、面內剪切模量和試驗件厚度的關系，并計算得到各數據點擬合誤差如圖7 所示，擬合相關系數如表5 所示。優化表達式中的權重系數分別取α1=α2=α3=，對X，Y方向的拉伸模量、面內剪切模量和厚度進行修正。修正前后頻率、模態頻率誤差和修正參數分別如表6，7 和8 所示。

表5 自由模態前三階計算頻率擬合相關系數Tab.5 Correlation coefficients fitting of first three order calculation frequencies of free modal

表6 修正前后自由邊界模型模態頻率結果Tab.6 The modal frequency results of the free boundary model before and after modification

表7 修正前后自由邊界模型模態頻率誤差Tab.7 The modal frequency error of the free boundary model before and after modification

表8 修正前后模型參數Tab.8 Model parameters before and after modification

圖7 自由模態前三階計算頻率擬合數據誤差Fig.7 The first three orders of free modal calculation frequency fitting data error

采用全局近似模型建立前三階自由模態頻率與X，Y方向拉伸模量、面內剪切模量和試驗件厚度的函數關系后，通過牛頓迭代法尋找函數二次近似駐點，確定尋優方向并進行迭代得到使優化目標函數達到最小值的結果，迭代過程中的誤差收斂結果如圖8 所示，自由模態修正誤差在10 次迭代內收斂于1×10-7，滿足誤差收斂精度要求。

圖8 自由模態優化目標函數值收斂曲線Fig.8 Convergence curve of free modal optimization objective function value

模態振型的相關性通常用振型的MAC 矩陣表征，表達式如下：

式中Φi與Φj分別為振型矩陣的第i階與j階向量。修正后自由模態振型與試驗振型的MAC值（5個測點）如表9 所示，表明經過修正后前三階模態振型相關性較好，修正后的模型接近真實模型。

表9 修正后自由模態振型與試驗振型的MAC 值Tab.9 The MAC values of the modified free mode shape and the test mode shape

對比修正前后模態頻率和MAC值發現前兩階模態的修正結果較好，由表7 可知修正前后頻率誤差減小，第一階頻率誤差由10.62 Hz 下降到0.02 Hz，下降了6.09%；第二階頻率誤差由39.97 Hz 下降到4.48 Hz，下降了9.57%；而第三階頻率誤差由67.66 Hz 下降到21.53 Hz，下降了5.94%。修正后第三階自由模態頻率仍存在2.74%的誤差，分析原因可能有：自由模態試驗本身存在誤差，吊裝后敲擊時彈性繩發生晃動，采集數據時實驗室有噪聲影響等都會影響試驗結果；由于試驗件為二維編制結構，內部纖維分布存在一定分散性，導致其力學性能非均勻，使得某一階模態產生偏差。

3.4 常溫固支模態修正

兩端固支模型固支點選在外側8 個螺栓處。C/SiC 試件修正后常溫彈性模量已由3.3 節給出，固支模型修正主要考慮螺栓連接剛度以及復合材料試驗件與金屬夾持段連接處Bush 單元剛度的影響，通過修正簡化螺栓模型中梁單元材料的彈性模量改變螺栓連接剛度；通過修正簡化螺栓模型梁單元彈性模量以及Bush 單元剛度以達到修正模態的目的。

參數優化的取值范圍如表10 所示。

表10 固支模態參數優化取值范圍Tab.10 Optimal range of fixed support modal parameters

計算頻率和修正參數的函數關系如圖9 所示?；诠讨B試驗數據，采用3.2 節的方法，優化表達式中的權重系數分別取α1=α3=0.5，對簡化螺栓模型中梁單元材料的彈性模量以及Bush 單元剛度進行修正。

圖9 常溫固支模態等效梁單元彈性模量以及Bush 單元連接剛度關系Fig.9 Relations of elastic modulus of equivalent beam element with fixed support modal at normal temperature and connection stiffness of Bush element

迭代過程中的優化目標函數值收斂結果如圖10 所示。修正前后固支邊界模型頻率結果、頻率誤差和模型參數分別如表11，12 和13 所示。修正后固支邊界計算振型與常溫實測振型（3 個測點）的MAC值如表14所示。

表11 修正前后固支邊界模態頻率結果Tab.11 The modal frequency results of the fixed support boundary before and after modification

表12 修正前后固支邊界模態頻率誤差Tab.12 The modal frequency error of the fixed support boundary before and after modification

表13 修正前后模型參數Tab.13 Model parameters before and after modification

表14 修正后固支邊界計算振型與常溫實測振型的MAC 值Tab.14 The MAC values of the calculated vibration mode of the modified fixed boundary and the measured vibration mode at room temperature

圖10 常溫固支模態優化目標函數值收斂曲線Fig.10 Convergence curve of optimization objective function value of fixed support modal at room temperature

對比修正前后模態頻率和振型MAC值發現第一、三階模態的修正結果較好，修正前后頻率誤差減小。由表12 可知，第一階頻率誤差由2.32 Hz 下降到2.05 Hz，下降了0.19%；第三階頻率誤差由2.58 Hz 下降到0.75 Hz，下降了0.75%。

3.5 高溫固支模態修正

高溫環境固支邊界模型的修正主要考慮彈性模量隨溫度變化的影響以及熱應力的影響。由于2D-C/SiC 復合材料在高溫過程中發生腐蝕氧化，表面CVD 涂層中的微裂紋以及氣相沉積法產生的內部缺陷使得氧化性氣體能夠擴散至材料內部，在高溫環境發生振動時對內部C 纖維造成損傷，導致復合材料強度和彈性模量下降，影響結構模態。而由于試驗加熱區域只有C/SiC 復合材料試件中間部分，導致復材試件產生熱變形，主要熱變形方向為沿試件長度方向，使得在固支約束端產生熱應力，對結構模態產生影響。

高溫固支邊界模型修正思路為：首先在有限元模型中施加與試驗加載相同的溫度，通過修正材料熱傳導系數以及和空氣的熱對流系數使得仿真溫度場與實測溫度場對應；再通過對復合材料試驗件和金屬過渡段內側連接處等效螺栓連接剛度、C/SiC復合材料X，Y方向彈性模量進行修正，使計算頻率與實測頻率對應，達到修正模態的目的。

經過對仿真溫度場的修正，三種溫度加載情況下三個測點溫度計算值與實測值相差不超過2.3%，結果表明修正后溫度場與試驗實際溫度場近似相等，在有限元模型中用修正后溫度場代替真實溫度場進行加載。

基于固支模態試驗數據，采用3.2 節的方法，優化表達式中的權重系數分別取α1=α3=0.5，對復合材料試驗件和金屬過渡段內側連接處等效螺栓連接剛度、C/SiC 復合材料X，Y方向彈性模量進行修正。修正前后固支邊界高溫模態頻率結果、頻率誤差和模型參數分別如表15，16 和17 所示。擬合誤差如圖11 所示。修正迭代收斂曲線如圖12 所示。

表15 修正前后固支邊界高溫模態頻率結果Tab.15 High temperature modal frequency results of the fixed support boundary before and after modification

表16 修正前后固支邊界高溫模態頻率誤差Tab.16 High temperature modal frequency error of the fixed support boundary before and after modification

表17 修正前后模型參數Tab.17 Model parameters before and after modification

圖11 高溫固支第一、三階彎曲模態計算頻率擬合數據誤差Fig.11 Errors of calculation frequency fitting data of the first and third order bending modals of fixed support at high temperature

由于高溫試驗傳感器測點無法布置在高溫區（C/SiC 復合材料試件），只在金屬夾持段布置測點，無法測出結構完整振型，故高溫修正后不計算修正后的MAC值。

對比修正前后固支邊界高溫模態頻率結果發現，修正前后兩階模態頻率誤差均減小。隨著加載溫度升高，復合材料試件X，Y方向拉伸模量下降，等效螺栓剛度增大。修正后不同溫度加載情況下第一、三階固支模態頻率誤差都在0.5%以內。

4 結論

本文建立了考慮溫度效應的C/SiC 復合材料結構的動力學有限元模型，提出了基于多層級思想的C/SiC 復合材料結構模型修正方法，以C/SiC 力學、熱學性能參數以及等效螺栓連接剛度為修正變量，開展了模型修正。主要結論如下：

（1）在考慮溫度效應的C/SiC 復合材料結構動力學有限元模型中，用梁單元和RB2 模擬金屬夾持段螺栓連接，通過修正等效螺栓剛度可以有效模擬熱應力影響。

（2）采用經典響應面法和牛頓迭代法對模型相關系數進行擬合和尋優，使有限元模型計算的模態頻率與試驗測得的模態頻率結果相吻合，結果表明，此方法有顯著的修正效果，修正后高溫環境模態頻率誤差不超過0.5%，能夠準確修正結構熱環境下的復合材料參數及邊界條件。