許國偉
【摘? 要】? 以拐角為背景的數學實際應用性問題,解法雖異曲同工,卻頗有新意,本文結合兩則典例賞析,以拓寬學生思維路徑,培養學生的“求同存異”思維.
【關鍵詞】? 高中數學;拐角;解題技巧
拐角,日常生活中隨處可見,于是以拐角為背景的數學實際應用性問題應運而生,解法雖異曲同工,卻頗有新意,體現了數學思維的“求同存異”.本文介紹兩例,與大家共賞.
例1? ?東水西調水利工程,把東部的水資源調配到西部缺水地區,充分解決了西部地區的用水問題,同時,也加快了我國西部地區的工農業發展.在輸水管道的鋪設過程中,有一段直線形水管的鋪設必須要經過一段平行峽谷,勘探人員在峽內恰好發現一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角,用測量儀器得到此橫截圓面的圓心為,半徑且為米,而運輸人員利用運輸工具按照水平橫向來移動直線形水管,無法回避這一圓弧的拐角,必須從寬度是米的峽谷中拐入寬度是米的另一個峽谷.示意圖如圖1,而位于峽谷懸崖壁上的兩個點與的連線段剛好與該圓弧的拐角相切,且點為(點,,在同一水平面內),若要使得直線形輸水管能夠順利地通過圓弧拐角,其長度不能超過______米.
解析? 設,其中,
延長OM,交AB于D,過B做SB垂線,交DO于G,延長ON,交AB于E,
過A做SA垂線,交NO于F,如圖2所示.
在Rt中,,,
則,即,
在中,,,
則,即,
在中, ,,
所以,
又,
所以,
所以=,
因為,
其中,當且僅當時,等號成立,
所以
= ,
當且僅當,即時等號成立,所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角,其長度不能超過75米.故答案為75.
點評? 本題本質上是平面幾何背景下的三角函數最值問題,解題的關鍵是根據題意,得到AB長度的表達式,難點在于需利用湊“1”法,將表達式化簡成齊次式,結合基本不等式求解,考查計算化簡的能力,屬中檔題.在解答過程中反復進行三角變換并應用基本不等式,體現了數學解題的靈活性,值得我們好好回味!
例2? 圖3是某一“”型水渠的俯視圖,水渠南北走向與東西走向的軸截面都是矩形,已知南北走向的渠道的寬度是4米,東西走向的渠道寬度是米(從拐角處,就是圖中兩點處開始).假如渠道內的水面始終一直保持無高度差的水平位置.
(1)在水平面內,一條直線過點A且與水渠的內壁相交于,兩點,若該直線與水渠的一邊的夾角是,請把線段的長度用自變量為的函數來表示;
(2)如果從南面順著水流漂來一根7m長筆直的竹竿,它始終漂在水平面上(粗細不計),試問:該竹竿可否從拐角處出發,不會被卡住,一直漂到東西走向的水渠中?請說明理由.
解析? (1),
,
所以,
即.
(2)設,,
由,
令,得,
且當,;
當,,
故在區間上遞減,在區間上遞增,
于是當時,函數取得極小值,該值也是最小值.
當時,,
,
所以,
故該竹竿能順利通過拐角處的最大長度是m.
因為,所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠.
點評? 本例的重點依然是建立三角函數式,求解過程與例1相比,求三角函數最值方法是利用導數來解決,體現了導數在三角函數最值問題中獨特的作用.
結語
上述兩個例題屬于同一種類型,都是體現了三角函數的最值問題在實際生活中的應用,而最終解決問題的方法不同,例1采用的是三角函數性質和基本不等式,而例2則采用的導數法,從兩個例子的解析可以看出,拐角問題最終都可以歸結為三角函數最值問題,但如何求最值,必須具體問題具體分析.