傳統的概率計算方法融入全概率公式的研究

闞永志

(遼寧工業大學 理學院，遼寧 錦州 121001)

一、問題的提出與分析

“概率論與數理統計”這門數學課程在高等院校的所有數學課程中最靈活、應用最廣泛，在理論上具有一定的抽象性，學好它有助于提高學生的數學思維能力，使其更有效地奠定必要的數學基礎。學生在學習概率論時，普遍感到計算公式具有一定的靈活性、重復性以及計算上的繁瑣性，而且在解決實際問題時，由于對基本概念、基本理論及基本方法的理解不深或掌握不熟練，難以入手，這就使學生逐漸失去學習的興趣和信心。

在“概率論與數理統計”的教學中，概率的計算一直是非常重要的問題，在涉及比較復雜概率的計算時，全概率公式早已成為常用的、必不可少的有效計算工具，在概率計算中具有相當廣泛的應用。但由于全概率公式的抽象性，且很多學生對該公式的使用條件以及如何根據實際問題構造樣本空間的劃分還一直感到困惑，所以它也是概率計算方面的難點之一，學生對它更加難以理解和掌握。另外，大眾化的教育也使學生對基礎知識的掌握不扎實，因此，學生靈活應用基礎知識的能力欠缺，這也是教學中普遍存在的問題。

針對全概率公式的學習方法及應用已有很多的研究[1-7]，有些學者也對該公式進行了必要的推廣[8-11]。如有些文獻闡述了它在經濟領域及醫療診斷方面（如經濟決策、產品檢驗、傳染病的診斷）的應用，有些文獻闡述了它在求分布函數時的應用等。

但上述文獻研究和討論的都是全概率公式在哪些方面具有廣泛的應用，而本文闡述的是在同一概率計算的教學中，除了直接利用傳統的概率計算方法外，還要會使用全概率公式，以解決全概率公式應用的不足。在概率計算的不同方法上，讓學生進一步體會全概率公式另一方面的重要應用。這樣一來，概率論的教學方法會有一定程度的改進，學生對概率論的學習興趣也會逐漸提高。

有關定義及計算公式：

有限可加性[12]8若A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，則有

減法公式[12]8

乘法定理[12]16設P(A)＞0，則

定義[12]17設S為試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn是E的一組事件，若

（i）B1,B2,…,Bn兩兩互斥，即BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n；

（ii）B1∪B2∪…∪Bn=S，則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分。

定理[12]18設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1,B2,…,Bn為S的一個劃分，且P(Bi)＞0(i=1,2,…,n)，則有全概率公式

全概率公式是把事件A的概率分成有限個比較容易計算的概率之和。在具體分析問題的過程中，把Bi看成A發生的原因，A是結果，即由“原因”找“結果”。也就是說，一個結果A的發生總是與某些前提條件（或原因、因素或前一階段結果）Bi有聯系，那么在計算P(A)時，用Bi對A進行分解：，應用全概率公式計算P(A)，我們常稱這種方法為全集分解法。

基于篇幅所限，本文主要列舉幾個具體實例加以講解。

二、實例應用講解

（一）根據樣本空間的適當劃分融入全概率公式

例1[13]有一個問題，甲先答，答對的概率為0.4，如果甲答錯，由乙答，答對的概率為0.5，求問題由乙解答出的概率。

解析由題意分析，乙解答出問題需滿足“甲答錯，且問題由乙解答出”，所以，若設事件A={甲答對問題}，B={乙答對問題}，則P(AB)=0，且根據式（2），得所求的概率應是事件和B的積事件的概率P(B)=P(B)-P(AB)=P(B)，顯然，即為事件B的概率P(B)。

方法二 直接利用式（4）

上述兩種方法都是我們在概率計算的教學中使用的傳統方法，其中第二種方法比較簡便。

如果從下面一種思路來考慮，那么就有不同的解法，即考慮事件B的發生與事件A及都有關聯，此時可用A及對B進行分解：

B=B(A A)=BA BA；或者將該試驗的樣本空間構建為互斥事件A及，則A,A構成樣本空間的一個劃分，而事件B為該試驗的事件，從而就可應用全概率公式（5）求P(B)。下面給出具體解法：

方法三 由于P(A)=0.4，P(B|A)=0，P(B|)=0.5，故由式（5）可得

這樣就將全概率公式應用于概率計算的教學中，使學生不僅會用傳統的概率計算方法，而且也會用全概率公式。對于本例，雖然全概率公式不是最簡便的方法，但從中可領悟全概率公式使用的奧妙所在。

（二）抽簽模型中傳統的概率計算方法融入全概率公式

例2袋中有4 個白球，3 個黑球，從中無放回地取三次，每次取1 球，求第二次取到白球的概率。

解析顯然本例屬于比較簡單的抽簽模型中概率計算問題，也是常規題型，幾乎所有的有關概率論教材及參考書都有講解，且傳統的講解方法有多種，如利用有限可加性及古典概率計算公式等，結果都是4/7。

方法二 把無放回地取三次球作為隨機試驗，即從袋中任意取出3 個球為隨機試驗。由于共有A37種取法，每種取法為一基本事件，所以樣本空間包含的基本事件總數為A37。事件A={第二次取到白球}包含的基本事件總數為4×3×2+4×3×3+3×4×3+3×2×4=120。故依式（3），所求的概率為P(A)=120=47。

方法三 第二次取到白球應從4 個白球中任取1 個，共有4 種取法；其余兩次為從余下的6 個球中任取2 個，共有種取法。故依式（3），所求的概率為P(A)=。

方法四 假設試驗為不放回地一件一件取走，則樣本空間包含的基本事件總數為7!。事件A的發生等價于“在4 個白球中任取1 個放在第二個位置上，余下的6 個球隨意排在其余位置”，則A包含的基本事件總數為·6!。故依式（3），所求的概率為

。

除上述傳統的講解方法外，本文再介紹一種方法——應用全概率公式（5）。我們仍從樣本空間不同構建方法的角度去探討。

方法五 設事件A={第二次取到白球}，Bi={第一次和第三次取到的 2 個球中恰有i個白球}(i=0,1,2)。易知B0,B1,B2是樣本空間的一個劃分，且有

故由式（5），得

（三）求邊緣分布律時融入全概率公式

若某事件A依賴于某個離散型隨機變量X，或者說某事件A的發生與事件{X=xk}（k=1,2,…,n）都有關聯，則由式（5）得全概率公式

例3從數1,2,3,4 中任取1 個數，記為X，再從1,…,X中任取1 個數，記為Y，求P{Y=2}。

解析若能求得二維離散型隨機變量（X,Y）的聯合分布律，則很容易求得邊緣分布律中概率P{Y=2}，下面即關于求邊緣分布律教學中傳統的講解方法。

方法一 當i＜j時，P{X=i,Y=j}=0；當i≥j時，P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=1/4×1/i，即（X,Y）的分布律，見表1。

表1 （X,Y）的分布律

故P{Y=2}=0+1/8+1/12+1/16=13/48。

如果不僅考慮到Y的取值依賴于X，且能深一層想到事件{Y=2}，可做如下全集分解：

對于本例，因為方法二避免了聯合分布律的求解過程，所以應用全概率公式求邊緣分布律中概率的方法就更加簡便。這樣一來，學生對全概率公式的使用條件以及如何構造樣本空間的劃分自然就有了進一步的認識，這也有助于增強學生學習概率論的信心。

三、結束語

本文通過幾個具體實例說明全概率公式在解決實際問題中有著廣泛的應用，而且它在應用上非常靈活有效，能夠解決日常生活中很多難以解決的繁瑣問題。在應用時，需要將試驗的樣本空間進行恰當的劃分，將很復雜的問題化為若干個簡單事件的和，最后利用全概率公式就能得到所要的結果。全概率公式的靈活融入不僅能讓每位學生真正體會其內涵所在，而且也有助于激發學生學習的興趣。