“三全育人”理念下“數學分析”教學案例

摘?要：本文以“數學分析”中的條件極值為例，在課堂教學設計過程中，引導學生以問題驅動的形式思考和分析問題，融入思政元素，將知識點與辯證思想聯系起來，踐行“三全育人”理念，提高學生分析問題和解決問題的能力，逐步培養學生理論聯系實際的能力。

關鍵詞：數學分析；三全育人；條件極值

A?Teaching?Case?of?Mathematical?Analysis?under

the?Concept?of?"Three?Wide?Education"

—Taking?the?Conditional?Extremum?as?an?Example

Lin?Wenxian

College?of?Mathematics?andStatistics，Hanshan?Normal?University?GuangdongChaozhou?521041

Abstract：Taking?the?condition?extremum?in?mathematical?analysis?as?an?example，in?the?process?of?classroom?teaching?design，this?paper?guides?students?to?think?and?analyze?problems?in?the?form?of?problemdriven，integrating?ideological?and?political?elements，to?link?knowledge?points?with?dialectic?thought，to?practice?the?idea?of?three?wide?education，to?improve?students'?ability?to?analyze?and?solve?problems，and?to?develop?students'?ability?to?combine?theory?with?practice.

Keywords：three?wide?education；mathematical?analysis；condition?extremum

為深入貫徹落實習近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神，落實立德樹人根本任務，圍繞“培養什么樣的人，如何培養人以及為誰培養人”的根本問題，充分發揮課堂教學主渠道育人作用，全面加強“課程思政”建設，全面提高課程育人質量，全面提升立德樹人成效，踐行“三全育人”教育模式.

“數學分析”是近代數學的基礎，是現代科學技術中應用最廣泛的一門學科；它是大學本科數學與應用數學專業學生必修的最重要的基礎課程，“數學分析”以學習時間長（三個學期）、知識抽象、邏輯性強為主要特征，它對于學生良好的數學素質的形成以及后續課程的學習起著至關重要的作用.因而，在傳授知識的同時，如何將“課程思政”融入“數學分析”這一抽象理論課程的教學環節之中，是擺在我們面前的難題.本文將以反常積分概念為案例，在教學內容的設計中進行一些探索，以期達到拋磚引玉的作用.

1?教學設計

1.1?教學背景

多元函數極值是多元函數微分學的重要組成部分，是一元函數極值的推廣.上一章已學習多元函數的極值問題，其極值點的搜索范圍是目標函數的定義域，這類問題稱為無條件極值，而在許多極值問題，其極值點的搜索范圍還受到各種不同附加條件的限制，這類問題稱為條件極值問題.條件極值在實際問題中應用非常廣泛，并且還能用來證明或建立不等式.

1.2?教學目標

1.2.1?知識目標

理解條件極值概念，掌握Lagrange乘數法的思想.

1.2.2?能力目標

通過本節課的學習，學生要進一步認識無條件極值與條件極值的關系，培養學生的化歸、類比和分析等數學思想，提高分析與解決實際問題的能力.

1.2.3?思政目標

將“思政元素”融入專業課堂，將多元函數極值問題比喻成人生的起伏，引導學生思考.一個國家、一個單位、一個部門以及一個人的一生，本質上都是在追求極大值和最大值.同學們在高中是優秀的，是所在班級的極大值或者最大值，但是當來到大學之后，是否還是極大值或者最大值呢？要想達到極大值或者最大值，就需要同學們付出辛勤的汗水，努力拼搏.同時，以后進入社會，也要明白天外有天，人外有人的道理.不要驕傲自滿，使學生建立良好的人生觀、價值觀、世界觀.

1.3?教學重點

掌握Lagrange乘數法，應用Lagrange乘數法計算條件極值.

1.4?教學難點

理解Lagrange乘數法的數學思想.

1.5?教學方法

問題驅動教學法，講授法.

1.6?教學過程

1.6.1?復習舊知

通過下面的曲面圖復習多元函數極值概念，并產生人生啟示：人生何嘗不像一張曲面，極大值在高峰處取得，極小值在低谷處取得.人生總會有起有落，現實生活中的“低谷”和“高峰”都是暫時的，在遭遇挫折處于“低谷”的時候不能悲觀絕望，因為“低谷”往往意味著一段低潮的結束和一個新生活的開始；而在獲得成功處于“高峰”的時候也不應驕傲自滿，要警惕“高峰”之后隨之而來的低潮.所以，要有不怕挫折勇往直前的意志和戒驕戒躁、謙虛進取的精神.

1.6.2?問題引入

要設計一個容積為V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高，使水箱的表面積最小.

設水箱的長、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy

水箱容積V=xyz.

這實際上是求函數S（x，y，z）在V=xyz限制下的最小值問題.我們將這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題.我們可以給條件極值一個具有實際意義的解釋：一個旅行者沿著一條指定的路線（約束條件）去登山（目標函數），該指定路線未必通過山的最高點，問怎樣求出該旅行者所能達到的最高點.

例1：求S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy在約束條件V=xyz之下的極值.

解：消元法：從條件式解出顯函數z=V/xy，代入目標函數后，轉而求解S=2vxy（1x+1y）+xy的普通極值問題.即：

F（x，y）=S（x，y，Vxy）=2vxy（1x+1y）+xy

然后由（Fx，Fy）=（0，0），求出穩定點x=y=32V，并有z=1232V.

最后判定在此穩定點上取得最小面積S=334V.

注：消元法啟示：將條件式作顯化處理代入目標函數后，將目標函數和約束條件方程濃縮到一個函數式，條件極值就成為無條件極值（把有約束條件變成無約束條件），用以前求普通極值的方法即可.

問題：如果無法將條件式作顯化處理時，例1的消元法就無法進行了.

我們要解決的問題：尋找一種不直接依賴消元而求解條件極值的方法.這就是拉格朗日（Lagrange）乘數法.

1.6.3?Lagrange乘數法探源

如果無法將條件式作顯化處理時，此法就無法進行了.必須研究不直接依賴消元而求解條件極值的方法.

問題：在約束條件φ（x，y）=0之下，欲求函數z=f（x，y）的極值.

首先，給條件極值一個具有實際意義的解釋：一個旅行者沿著一條指定的路線（約束條件）去登山（目標函數），該指定路線未必通過山的最高點，問怎樣求出該旅行者所能達到的最高點.（如圖）

接著，設由若由條件φ（x，y）=0確定了隱函數y=g（x），使得目標函數成為一元函數z=f（x，g（x））.如果y0=g（x0）且x0是z=f（x，g（x））的穩定點，則P0=（x0，y0）就是所要求的條件穩定點.

利用隱函數定理有dzdx=fx+fy·dydx=fx-fy·φxφy=0，從而，該問題的條件穩定點P0（x0，y0）滿足（fxφy-fyφx）|P0=0，這表明f的等高線z0=f（x，y）與曲線φ（x，y）=0在點P0（x0，y0）有公共切線.由此推知，存在比例常數λ0，滿足：

fx（x，y）+λφx（x，y）=0，fy（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0.

進而得到Lagrange函數為L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）.由此產生了一個重要思想：通過引入輔助函數L（x，y，λ），把條件極值轉化為關于這個輔助函數的普通極值問題，這就是Lagrange乘數法.

1.6.4?應用舉例

利用Lagrange乘數法求解例1.

例2：求S（x，y，z）=2（xz+yz）+xy在約束條件V=xyz之下的極值.

解：令Lagrange函數L=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V），并求解以下方程組：

Lx=2z+y+λyz=0Ly=2z+x+λxz=0Lz=2（x+y）+λxy=0Lλ=xyz-V=0

為消去λ，將前三式分別乘以x，y，z，則得：

2xz+xy=-λxyz2yz+xy=-λxyz2（x+y）z=-λxyz

兩兩相減后立即得出x=y=2z，再代入第四式，得x=y=32V，z=1232V，從而最小面積為S=334V.

例3：拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一個橢圓，求該橢圓到原點的最長和最短距離.

例4：求f（x，y，z）=xyz在條件1x+1y+1z=1r（x>0，y>0，z>0，r>0）下的極小值，并證明不等式：

31a+1b+1c-13abc，

其中a，b，c為任意正實數.

1.7?知識小結

（1）根據問題意義確定目標函數與條件組.

（2）作拉格朗日函數L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）.

（3）求拉格朗日函數的穩定點，這些穩定點就是可能的極值點.

（4）對每一個可能的條件極值點，據理說明它是否確實為條件極值點.如果已知某實際問題或根據條件確有極值，而該問題的拉格朗日函數又只有一個穩定點，且在定義域的邊界上（或逼近邊界時）不取得極值，則這個穩定點就是所求的條件極值點.否則，還需要采用無條件極值的充分條件來判定.

2?教學反思

2.1?思政元素

通過講解曲面圖像的人生啟示，培養學生認真、上進、拼搏的精神.同學們考入大學，容易松懈，以為自己可以自由地玩耍，有些同學消極對待學習.所以教師要經常鼓勵提醒這些同學，不要荒廢寶貴的大學時光，要努力學習，認真上進，不斷拓寬自己的知識結構，提高自己的能力，這樣進入社會才會有競爭力.同時，作為一名教師，教學多年，也很容易有倦怠感，所以也要提醒自己，學習如逆水行舟，不進則退，也要不斷提高自己的教學水平，緊跟時代潮流，這樣才能更好地完成教學任務.

2.2?教學思考

利用創設合適的問題情境，引入新課內容，以避免學生對內容的突兀感.

在Lagrange乘數法探究過程中，讓學生認識數學知識的“形成過程”，有利于學生進一步理解一個數學問題是怎樣提出來的，一個數學概念是怎樣形成的，一個數學結論是怎樣獲得和進行應用的，使學生認識到數學就來自我們身邊的現實世界，是認識和理解我們生活和工作中所遇到問題的有力武器，同時也使學生獲得了數學探究的切身體驗和能力.

注意運用幾何圖像的直觀性，幫助學生理解抽象的數學概念，特別是注意文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉換.

結語

在課程思政理念下，教師要把“德育”看作是教育的根本任務，更新觀念，深入挖掘，以數學學科知識為載體，發揮數學育人的特殊作用，促進學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀.在專業基礎課中，教師如何滲透課程思政？如何發現每個知識點的思政元素？如何提高學生學習知識的積極性？這是高校教師面臨的一個課題，任重而道遠，是一個值得深入思考和研究的終身課題.

參考文獻：

［1］華東師范大學數學科學學院.數學分析（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［2］林文賢.反例在數學分析教學中的作用［J］.高師理科學刊，2008，28（4）：9395.

［3］鐘煜妮，林文賢.分部積分法在重積分的應用［J］.高師理科學刊，2015，35（1）：11.

［4］林文賢.高師數學分析課程對學生數學素質的培養［J］.韓山師范學院學報，2005（3）：9295.

基金項目：廣東省一流課程《數學分析》建設項目（Z21011）；2021年度韓山師范學院教育教學改革項目（52?1104）；2022年度韓山師范學院質量工程建設項目（E22033）

作者簡介：林文賢（1966—?），男，漢族，廣東潮州人，本科，教授，從事數學分析的教學與研究。