基于間歇事件觸發牽制控制的多智能體系統的有界性

朱潤玉，劉 磊

（河海大學 理學院，江蘇 南京 213022）

隨著信息科學技術的快速發展，多智能體系統已經獲得了廣泛的關注，其被用于各種領域，包括群集[1]、編隊[2]和優化[3]。多智能體系統的穩定性研究被眾多科研工作者所青睞[4-8]。

大多數多智能體系統穩定性研究關注的是漸近穩定性。注意到漸近穩定性是在無窮時間區間上的穩定性，但在很多實際系統中，有限時間穩定性比漸近穩定性更實用。文獻[9]首次提出了有限時間穩定性，隨后，文獻[10]擴展到了有限時間有界性。對于帶有外部擾動的系統，當初始狀態被限制在一個有界范圍內，系統狀態在固定時間區間上不超過某個閾值，則稱該系統是有限時間有界的。在過去的十年里，有限時間有界性被應用于各類系統，包括網絡化控制系統[11]、時滯系統[12]和多智能體系統[6]。

在實際系統中，由于一些限制，例如網絡攻擊和傳感器故障，智能體之間也許會通信失敗。相應地，學者們提出了間歇控制。間歇控制將時間分割為工作和休息周期，其中休息周期用于故障恢復。間歇控制避免了控制器的連續運行，延長了控制器的使用壽命。最近，曹進德院士及其合作者深入地研究了間歇控制[4，7，13-14]。注意到智能體的數量也許是龐大的，在這種情況下，控制每個智能體是很困難的，自然地，學者們使用了牽制控制[15-20]，使得僅對一部分智能體施加控制。

隨著數字控制技術的快速發展，事件觸發控制被廣泛應用于各類系統，包括復雜網絡[16-17]和多智能體系統[5，21-22]。在事件觸發機制中，預先給定的觸發條件決定了控制器的更新時刻，這就減少了控制器的更新次數。

在過去的幾十年里，學者們將事件觸發控制與其他控制策略整合到一起，形成了一些新穎的混雜控制策略。部分學者研究了基于間歇控制、事件觸發控制和牽制控制的混雜控制[16-18]，其中，文獻[16]中的牽制集合避免了快速切換，文獻[17－18]研究了間歇事件觸發控制。然而，這3 條文獻僅考慮了無窮時間穩定性或者漸近穩定性，并且沒有考慮系統受到外部擾動的情況。

受上述文獻的啟發，本文將利用間歇事件觸發牽制控制，研究多智能體系統的有限時間有界性。本文將主要解決以下兩個問題：1）設計合適的間歇事件觸發牽制控制機制；2）建立多智能體系統的有限時間有界性判據。

1 預備知識和問題描述

在本文中，使用了無向連通通信拓撲G=（V，E）。E={1，2，…，N}表示節點集合；E ?V × V 表示邊集合。鄰接矩陣為A=（aij）N×N，其中aii=0。如果（j，i）∈E，那么aij=aji=1，否則aij=0。拉普拉斯矩陣為L=（lij）N×N。如果i≠j，那么lij=-aij，否則lii=∑jaij。

定義1[20]設條件：1）對于Dt中的任意一個節點i，對i 施加控制；2）對于任意一個不在Dt中的節點j，對j 未施加控制。若上述兩條件成立，則稱集合Dt為在t 時刻的牽制節點集合。

考慮如下的多智能體系統，i=1，…，N，

其中：f：R+× Rn→Rn；xi（t）∈Rn和wi（t）∈Rn分別是節點i 的狀態矢量和外部擾動。設計間歇事件觸發牽制控制

其中：k1>0 是控制增益；對任意的i=1，2，…，bi>0；對任意的k=0，1，…，[kT，kT+ρ）是滿足ρ≤T的工作區間，[kT+ρ，（k+1）T）是休息區間。系統（1）可被寫為

假設1對任意的xi∈Rn，i=1，2，存在一個常數α >0 使得

此外，假設f（t，0）=0。

2 有限時間有界性分析

這就表明對于任意的t∈[kT，kT+ρ），有

對于任意的t∈[kT，kT+ρ），令Lyapunov 函數為

對于t∈[kT+ρ，（k+1）T），令Lyapunov 函數為

接下來需證明對任意的t，

事實上，當t∈[kT，kT+ρ）時，

利用基本不等式和F 的定義，計算可得

利用式（14）和（15）可得

注意到

利用事件觸發條件（4）可得

將式（17）和（18）代入式（16）可得

利用條件（6）可得

對于任意的t∈[kT+ρ，（k+1）T），利用條件（7）可得

根據式（20）和（19），式（13）成立。

根據條件（9）和（10）有V1（kT）≤μ2V2（（kT）-）和V2（（k -1）T+ρ）≤μ1V1（（（k -1）T+ρ）-）。當t∈[kT，kT+ρ）時，

多次迭代后可得

當t∈[kT+ρ，（k+1）T）時，

注意到

證明完畢。

注1考慮如下的事件觸發機制：

其中φi∈（0，1]，信號ζi（t）滿足ζi（t）=ζi（0）exp{-γit}，ζi（0）>0，γi>0。

由于ζi（t）>0，則相比于事件觸發機制（4），事件觸發機制（26）減少了觸發次數。令則有如下定理。

定理2在條件（6）—（11）和

證明：當t∈[kT，kT+ρ），令Lyapunov 函數為

當t∈[kT+ρ，（k+1）T）時，令Lyapunov 函數為W（t）=W2（t）=V2（t）。

當t∈[kT，kT+ρ）時，類似于定理1，可推導得

其中

由事件觸發條件（26）可得

將式（30）和（29）代入式（28）再利用式（27）可得

類似于定理1，可證得系統（3）是關于（c1，c2，，Tf，d）有限時間有界的。證明完畢。

3 數值仿真

下面通過一個數值例子說明本文方法的有效性?？紤]一個帶有6 個節點的多智能體系統，其通信拓撲滿足

其余連接權重都為0。對任意的i，假設bi=1，f（xi（t），t）=0.2xi（t）-0.1sin（xi（t）），擾動滿足wi（t）=0.2cos（xi（t）），初始條件滿足（x1（0），x2（0），…，x6（0））T=（-2，4，6，-1，1，2）T，Tf=5，T=1。經過簡單計算可得α=0.3，d=0.2，c1=62。令R=P1=P2=I。的軌跡和狀態變化分別如圖1 和圖2所示。顯然，狀態軌跡是發散的。為了使條件（6）—（10）成立，選擇參數c2=75。經過計算可得k1≥3.069 8，選擇k1=4。牽制節點的變化為{3，2，1}→{3，2，6}→{3，2，1}→…。圖3 展示了受控系統在觸發機制（4）下的狀態變化。選擇固定節點集合{1，2，3}和控制增益k1=4，圖4展示了受控系統的狀態變化。對i=1，…，6，選取γi=3，ζi（0）=1，φi=2，圖5 展示了受控系統在觸發機制（26）下的狀態變化。

圖1 未受控系統的xTx 軌跡Fig.1 The trajectory of xTx for uncontrolled system

圖2 未受控系統的狀態變化Fig.2 The state of uncontrolled system

圖3 事件觸發機制（4）下受控系統的狀態變化Fig.3 The state of controlled system under event-triggered mechanism（4）

圖4 帶有固定牽制節點集的受控系統的狀態變化Fig.4 The state of controlled system with fixed pinning nodes net

圖5 事件觸發機制（26）下受控系統的狀態變化Fig.5 The state of controlled system under event-triggered mechanism（26）

比較圖3 和圖4，表明了間歇事件觸發牽制控制策略比單一的間歇牽制控制策略更有效。比較圖3 和圖5，表明了事件觸發牽制機制（4）和（26）都可以達到一致性效果。然而，事件觸發機制（4）下的觸發次數為401，事件觸發機制（26）下的觸發次數為201，這就說明事件觸發機制（26）有效減少了觸發次數。

4 結論

本文通過間歇事件觸發牽制控制，解決了受擾動的多智能體系統的有限時間有界性問題。首先，設計了兩個間歇事件觸發牽制控制機制；隨后，建立了有限時間有界性判據；最后，通過一個數值例子驗證了所提方法的有效性。